2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示练习（含解析）新人教A版选修2-1

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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底a,b,c中基向量与基底e,f,g中基向量对应相等解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.答案:C2已知点A在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底i,j,k下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3

2、,2)解析:OA=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:A3在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()A.向量AB与点B的坐标相同B.向量AB与点A的坐标相同C.向量AB与向量OB的坐标相同D.向量AB与向量OB-OA的坐标相同答案:D4点A(-1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为()A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)解析:由点A在x轴投影知y=0,z=0,由点A在xOy平面投影知z=0.故选

3、B.答案:B5设i,j,k是空间的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别为,.答案:(2,-4,5)(1,2,-3)6已知a,b,c是空间的一个基底,下列向量可以与p=2a-b,q=a+b构成空间的另一个基底的是(填序号).2a-bca+c答案:7如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB=2CD,点O为空间任一点,设OA=a,OB=b,OC=c,则向量OD用a,b,c表示为.答案:12a-12b+c8如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求BD1的坐标.解:BD1=BD+DD1=BA+BC+DD1=-AB+

4、AD+DD1.以AB,AD,AA1为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则BD1=-AB+AD+DD1=-AB+AD+AA1=(-1,1,1).9已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA=e1,AB=e2,AP=e3,以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,求向量MN,DC的坐标.解:由题意得DC=AB=e2.PC=AC-AP=AB+AD-AP=e2-e1-e3,MN=MA+AP+PN=-12AB+AP+12PC=-12e2+e3+12(e2-e1-e3)=-12e1+12e3.MN=-12,0,12

5、,DC=(0,1,0).能力提升1设p:a,b,c是三个非零向量;q:a,b,c为空间的一个基底,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当非零向量a,b,c不共面时,a,b,c可以当基底,否则不能当基底.当a,b,c为基底时,一定有a,b,c为非零向量.答案:B2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M,B1D1的中点为N,若以DA,DC,DD1为单位正交基底,则MN的坐标为()A.12,0,12B.12,12,0C.0,12,12D.12,12,12解析:MN=DN-DM=DD1+D1N-DD1-D1M=D1N-D

6、1M=12D1B1-12D1A=12(D1A1+D1C1)-12(D1A1+D1D)=12DA+12DC-12DA+12DD1=12DC+12DD1,故MN=0,12,12.答案:C3如图,在空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N是BC的中点,MN=xa+yb+zc,则x,y,z的值为()A.12,-23,12B.-23,12,12C.12,12,-23D.23,23,-12答案:B4若向量MA,MB,MC的起点与终点M,A,B,C互不重合且无三点共线,且满足下列关系(O是空间任一点),则能使向量MA,MB,MC成为空间一个基底的关系是()A.OM

7、=13OA+13OB+13OCB.MAMB+MCC.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC解析:若MA,MB,MC为空间一组基底向量,则M,A,B,C四点不共面.A中M,A,B,C共面;B中MAMB+MC,但可能MA=MB+MC,M,A,B,C可能共面;D中四点显然共面.答案:C5如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底AB,AD,AA1下的坐标为(2,1,-3).若分别以DA,DC,DD1的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则向量a的空间直角坐标为()A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-

8、1,8,-9)解析:a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=8j-i-9k=(-1,8,-9).答案:D6设i,j,k是空间向量的单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的关系是.解析:ab=-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0,ab.答案:ab7已知在空间四边形ABCD中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则EF=_.解析:EF=EA+AB+BF,且EF=EC+CD+DF,两式相加,得2EF=(EA+EC)+AB+CD+(BF+DF).E为AC的中点,F为BD的中点,EA+EC=0,BF+DF=0.2E

9、F=AB+CD=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.EF=3a+3b-5c.答案:3a+3b-5c8已知向量p在基底a,b,c下的坐标是(2,3,-1),求p在基底a,a+b,a+b+c下的坐标.解:由已知得p=2a+3b-c.设p=xa+y(a+b)+z(a+b+c)=(x+y+z)a+(y+z)b+zc,则有x+y+z=2,y+z=3,z=-1,解得x=-1,y=4,z=-1,故p在基底a,a+b,a+b+c下的坐标为(-1,4,-1).9已知正方体ABCD-ABCD,点E是上底面ABCD的中心,求AE=xAD+yAB+zAA中x,y,z的值.解:AE=AA+AE=AA

10、+12AC=AA+12(AB+AD)=AA+12AB+12AD=12AD+12AB+AA.AE=xAD+yAB+zAA,x=12,y=12,z=1.10如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF平面B1AC.分析:设AB=a,AD=c,AA1=b,把向量EF,AB1和B1C分别用a,b,c表示出来,证明EFAB1=0,EFB1C=0即可.证明:设AB=a,AD=c,AA1=b,有|a|=|b|=|c|,ab=0,ac=0,bc=0.则EF=EB1+B1F=12(BB1+B1D1)=12(AA1+BD)=12(AA1+AD-AB)=12(-a+b+c),AB1=AB+BB1=AB+AA1=a+b.EFAB1=12(-a+b+c)(a+b)=12(|b|2-|a|2)=0.EFAB1,即EFAB1.同理EFB1C.AB1B1C=B1,EF平面B1AC.7