（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布单元质检

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1、单元质检十计数原理、概率、随机变量及其分布(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.中秋节放假,甲回老家过节的概率为13,乙、丙回老家过节的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为()A.5960B.35C.12D.160答案B解析“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A,B,C,则P(A)=13,P(B)=14,P(C)=15,所以P(A)=23,P(B)=34,P(C)=45,由题意知,A,B,C相互独立.所以三人都不回老家过节的概率P(A

2、BC)=P(A)P(B)P(C)=25.故至少有一人回老家过节的概率P=1-25=35.2.设X为随机变量,且X:Bn,13,若随机变量X的方差D(X)=43,则P(X=2)=()A.4729B.16C.20243D.80243答案D解析由题意知随机变量X满足二项分布,所以D(x)=npq=n1323=29n=43,n=6.所以P(X=2)=C62132234=80243.故选D.3.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案C解析正方体六个面的对角线共有12条,则有C122=66(对),而相对的两个面中的对角线其夹角都不

3、是60,则共有3C42=18(对),而其余的都符合题意,因此满足条件的对角线共有66-18=48(对).4.从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三位数个数为()A.12B.18C.24D.30答案B解析根据题意,要求奇数位上必须是奇数的三位数,则这个三位数的百位、个位上为奇数,分2步进行分析:在1,3,5三个奇数中任选2个,安排在三位数的个位和百位上,有C32A22=6(种)情况,在剩余的3个数字中任选1个,将其安排在三位数的十位上,有C31=3(种)情况,则奇数位上必须是奇数的三位数有63=18(个).故选B.5.在6盒酸奶中,有2盒已经过了

4、保质期,从中任取2盒,则取到的酸奶中有已过保质期酸奶的概率为()A.13B.23C.35D.115答案C解析所求概率为1-C42C62=1-615=35,选C.6.x+1xn展开式中所有奇数项系数之和为1 024,则展开式中各项系数的最大值是()A.790B.680C.462D.330答案C解析由题意可得2n-1=1024,解得n=11.则展开式中各项系数的最大值是C115或C116,则C115=111098754321=462.故选C.7.由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数,要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位,1与6必须相邻,则这样的七位数的个数是()A.300B.33

5、8C.600D.768答案D解析当1在首位时,6只有一种排法,7有四种排法,余下四个数共有A44种排法,共有14A44=96种排法;当1在个位时,同样共有96种排法;当1既不在首位也不在个位时,先把1和6排好,有4A22种排法,再排7有3种排法,余下四数共有A44种排法,共有4A223A44=576种排法.综上,共有192+576=768种排法.故选D.8.一袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,去除后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时终止,用X表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量X的数学期望E(X)是()A.115B.125C.135D.1

6、45答案A解析由题意可知X的可能取值为2,3,P(X=3)=2514+2514=15,P(X=2)=1-P(X=3)=45,E(X)=452+153=115.故随机变量X的数学期望E(X)是115,应选A.9.在(1+x3)(1-x)8的展开式中,x5的系数是()A.-28B.-84C.28D.84答案A10.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B解析先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33A43=144(种),再剔除小品类节目相邻的情况,共有A33A22A2

7、2=24(种),于是符合题意的排法共有144-24=120(种).二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.用1,2,3,4,5,6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有个;其中1,3,5三个数字互不相邻的六位数有个.答案720144解析用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字六位数共有A66=720(个);将1,3,5三个数字插入到2,4,6三个数字排列后所形成的4个空中的3个,故有A33A43=144(个).12.若(x2-2x-3)n的展开式中所有项的系数之和为256,则n=,含x2项的系数是(用数字作答).答案4108解析(x

8、2-2x-3)n的展开式中所有项的系数之和为256,4n=256.n=4,(x2-2x-3)n=(x2-2x-3)4=(x-3)4(x+1)4.x2项的系数是C42(-3)2+C42(-3)4+C41(-3)3C41=108.13.若随机变量的分布列如下表所示:-101Pa14a2则E()=,D(2-1)=.答案14114解析由题意可知a+14+a2=1,解得a=-32(舍去)或a=12,则E()=-112+012+114=-14.由方差的计算性质得D(2-1)=4D()=4(E(2)-E()2)=434-116=114.14.从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中,不放回地每摸出2个球为

9、一次试验,直到摸出的球中有红球时试验结束.则第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是;若记试验次数为X,则X的数学期望E(X)=.答案126542解析第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是C31C61C92=12.试验次数X的可能取值为1,2,3,4.所以P(X=1)=C31C61+C32C92=712,P(X=2)=C62C92(C31C41+C32)C72=2584,P(X=3)=C62C92C42C72(C31C21+C32)C52=328,P(X=4)=C62C92C42C72C22C52=184.所以E(X)=7121+25842+3283+1844=6542.15.在2x+a

10、x25的展开式中x-4的系数为320,则实数a=.答案2解析因为展开式的通项公式Tr+1=C5r(2x)5-rax2r=25-rarC5rx5-r-2r,令5-3r=-4r=3,则25-3a3C53=320,即a3=8a=2.16.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案36解析先考虑产品A与B相邻,把A、B作为一个元素有A44种摆法,而A、B可交换位置,所以有2A44=48种摆法,又当A、B相邻又满足A、C相邻时,有2A33=12种摆法,故满足条件的摆法有48-12=36种.17.编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4

11、的四个不同的盒子中,每个盒子放一个球,则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为.答案1724解析按题意,所有的放法数为A44=24,满足条件的放法分两种情况讨论.(1)恰好有一个是编号相同的,我们可以从4个数字中任取一个数字,有4种取法,不妨设1号小球放入1号盒子中,此时2,3,4号小球不能对应到2,3,4号盒子,先考虑2号小球,有2种放法,此时3,4号小球的放法已确定,由分步乘法计数原理知共有42=8种不同的放法;(2)编号各不相同,此时,先考虑1号小球放到2,3,4号盒子中的一个,共3种方式,不妨设放到2号盒子.现在考虑2号小球,若2号小球放到1号盒子,则3,4号小球的放法已确定,

12、此时有1种放法,若2号小球放到3,4号盒子中的一个,此时有2种选择,不妨设对应到3号盒子,此时,3,4号小球的放法已确定.此时由乘法和加法原理知共有3(1+21)=9种放法.综上,由分类加法计数原理知,共有17种满足条件的放法,由古典概型概率公式知,所求概率为1724.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1

13、的概率.解(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3个,则所求事件的概率为315=15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9个.包括A1

14、但不包括B1的事件所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个,则所求事件的概率为29.19.(15分)某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛,经过初赛,复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分,假设甲队中每人答对的概率均为34,乙队中3人答对的概率分别为45,34,23,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用表示乙队的总得分.(1)求的分布列和数学期望;(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.解(1)由题意知,的所有可能取值为0,10,20,30.P(=0)=151413=

15、160;P(=10)=451413+153413+151423=960=320;P(=20)=453413+451423+153423=2660=1330;P(=30)=453423=2460=25.的分布列为0102030P160320133025E()=0160+10320+201330+3025=1336.(2)用A表示“甲得30分乙得0分”,用B表示“甲得20分乙得10分”,且A,B互斥,又P(A)=343160=91280,P(B)=C3234214320=811280,甲、乙两队得分总和为30分且甲获胜的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=901280=9128.20.(15分

16、)某次数学测验共有10道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定:每选对1道题得5分,不选或选错得0分.某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对,其余4道题无法确定正确选项,但这4道题中有2道题能排除两个错误选项,另2道只能排除一个错误选项,于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答,且各题作答互不影响.(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率;(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.解(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A,选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B,则P(A)=12,P(B)=13.该考生选择题得

17、50分的概率为P(A)P(A)P(B)P(B)=122132=136.(2)该考生所得分数X=30,35,40,45,50,P(X=30)=1221-132=19,P(X=35)=C21122232+122C211323=13,P(X=40)=122232+C21122C211323+122132=1336,P(X=45)=C21122132+122C211323=16,P(X=50)=122132=136.该考生所得分数X的分布列为X3035404550P1913133616136所以E(X)=3019+3513+401336+4516+50136=1153.21.(15分)(2017课标高

18、考)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求

19、量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=25+7+490=0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6

20、300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200n710,所以M会入选最终的大名单.(2)M获胜场数Y的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=P(ABC)=1-341-231-12=124,P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=341-231-12+1-341-2312+1-34231-12=624,P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=34231-12+341-23121-342312=1124,P(X=3)=P(ABC)=342312=624,所以M获胜场数X的分布列为X0123P1246241124624数学期望为E(X)=0124+1624+21124+3624=2312.8