2022年辅导八：锐角三角函数知识点总结与典型例题

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1、名师总结优秀知识点锐角 三角函数知识点总结与训练1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在RtABC中，C为直角，则 A的锐角三角函数为(A可换成 B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(A为锐角)SinA=cosA tanA 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、0、30、45、60、90

2、特殊角的三角函数值(重要)三角函数030456090sin02122231 cos12322210tan0 331 3-5、正弦、余弦的增减性：当 090时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。6、正切的增减性：当 090时，tan随的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系：222cba；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsinco

3、sA90B90得由BA对边邻边斜边A C B bac精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 10 页名师总结优秀知识点仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做 坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做 坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东45（东北

4、方向），南偏东 45（东南方向），南偏西 45（西南方向），北偏西 45（西北方向）。:ihlhl精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 10 页名师总结优秀知识点类型一：直角三角形求值例 1已知 RtABC 中，,12,43tan,90BCAC求 AC、AB 和 cosB例 2已知：如图，O 的半径 OA16cm，OCAB 于 C 点，43sinAOC求：AB 及 OC 的长例 3.已知A是锐角，178sin A，求Acos，Atan的值对应训练：1在 RtABC 中，C90，若 BC 1，AB=5，则 tanA 的值为A55B2 55C12D2 精选学习资料 -名师归纳总结-第 3

5、页，共 10 页名师总结优秀知识点2在ABC 中，C=90，sinA=53，那么 tanA 的值等于（）.A35B.45C.34D.43类型二.利用角度转化求值：例 1已知：如图，Rt ABC 中，C90 D 是 AC 边上一点，DE AB 于 E 点DEAE12求：sinB、cosB、tanB例 2 如图，直径为10 的 A 经过点(0 5)C，和点(0 0)O，与 x 轴的正半轴交于点D，B是 y 轴右侧圆弧上一点，则cosOBC 的值为（）A12B32C35D45对应训练:3.如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径为32，2AC，则sin B的值是（）ADECBFA23B3

6、2C34D434.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC的值为 ()34433545类型三.化斜三角形为直角三角形例 1 如图，在 ABC 中，A=30，B=45，AC=23，求 AB 的长DCBAOyx第8题图精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 10 页名师总结优秀知识点例 2已知：如图，在ABC 中，BAC120，AB10，AC5求：sinABC 的值对应训练1 如图，在 RtABC 中，BAC=90，点 D 在 BC 边上，且 ABD 是等边三角形 若 AB=2，求 ABC 的周长（结果保留根号）2已知：如图，

7、ABC 中，AB9，BC 6，ABC 的面积等于9，求 sinB3.ABC 中，A=60，AB=6 cm，AC=4 cm，则 ABC 的面积是A.23cm2B.43cm2 C.63cm2D.12 cm2 类型四：利用网格构造直角三角形例 1 如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）A12B55C1010D2 55对应训练：精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 10 页名师总结优秀知识点1如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=_.2正方形网格中，AOB如图放置，则tanAOB的值是（）A5 5B.2 5 5C.12D.2 类型五:取特殊角三角函数

8、的值1）.计算：60tan45sin230cos22）计算：30cos245sin60tan2.3)计算：31+(2 1)033tan30 tan45 4)计算：030tan2345sin60cos2215)计算：tan45sin301cos60；类型六：解直角三角形的实际应用例 1如图，从热气球C 处测得地面A、B 两点的俯角分别是30、45，如果此时热气球C处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（）A200 米B200米C220米D100（）米例 2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠

9、在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点已知 BAC60，DAECBAA B O 精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 10 页名师总结优秀知识点45点 D 到地面的垂直距离m23DE，求点 B 到地面的垂直距离BC例 3 如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角 DCA=60，测得山顶 B 的仰角 DCB=30，求风力发电装置的高AB 的长对应训练:1.如图，为测量某物体AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为30，朝物体 AB 方向前进20米，到达点C，再次测得点A 的仰角为60，则物体 AB 的高度为（）A10米B

10、10 米C20米D米2如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45 方向，距离灯塔100 海里的 A 处，它 计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30方向上的 B 处.（1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200海里的O 处已知圆形暗礁区域的半径为50 海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 10 页名师总结优秀知识点类型七:三角函数与圆：例 1已知：如图，BC是O的直径，AC切O于点C，AB交O于点D，若ADDB2 3，AC 10，求 sinB的值例

11、2.已知：在 O 中,AB 是直径，CB 是 O 的切线，连接AC 与 O 交于点 D,(1)求证：AOD=2C(2)若 AD=8，tanC=34，求 O 的半径。对应训练:1.如图，DE 是 O 的直径，CE 与 O 相切，E 为切点.连接 CD 交 O 于点 B，在 EC 上取一个点 F，使 EF=BF.（1）求证:BF 是 O 的切线;（2）若54Ccos,DE=9，求 BF 的长2已知：如图，ABC内接于O，过点B作O的切线，交CA的延长线于点E，EBC2C求证：ABAC；若tan ABE21，（）求BCAB的值；（）求当AC2 时，AE的长DBOACCFDOBE精选学习资料 -名师归

12、纳总结-第 8 页，共 10 页名师总结优秀知识点复习题1.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC的值为 ()34433545图 4 图 5 图 6 2.如图5，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在1A处，已知3OA，1AB，则点1A的坐标是（）3.如图6，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点，若1tan5DBA，则AD的长为()A2 B2 C 1 D2 24.如图 8，Rt ABC中，90C,D是直角边AC上的点，且2ADDBa,15A，则BC边的长为5.如图 10，在矩形ABCD中，E、

13、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若4tan3AEH，四边形EFGH的周长为40，则矩形ABCD的面积为 _ 图 8 6.如图 12 所示，ABC中，ABAC，BDAC于D，6BC，12DCAD，则cosC_7.等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为_.8.等腰三角形的三边的长分别为1、1、3，那么它的底角为A.15B.30C.45D.609.ABC 中，A=60，AB=6 cm，AC=4 cm，则 ABC 的面积是A.23cm2 B.43cm2 C.63cm2D.12 cm2 图 10 图 12 ADECBF精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 10 页名

14、师总结优秀知识点10.在菱形 ABCD中，60ABC，AC=4,则 BD的长是（）8 3A、4 3B、2 3C、8D、11.如图，在 Rt ABC 中，C=90，AC=8，A 的平分线AD=3316求 B 的度数及边 BC、AB 的长.12.在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图 13 所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20 米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度（参考数值：tan31 53，sin31 21）13.在一次公路改造的工作中，工程计划由A点出发沿正西方向进行，在A点的南偏西60方向上有一所学校B，如图 14，占地是以B为中心方圆100m的圆形，当工程进行了200m后到达C处，此时B在C南偏西30的方向上，请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校图 13 图 14 DABC精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 10 页