2022年教案与圆有关的位置关系

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1、名师精编优秀教案与圆有关的位置关系重点、难点：1.重点：（1）点与圆、直线与圆位置关系的判断。（2）三角形外接圆的性质。（3）切线的识别及切线性质的应用。（4）切线长定理。（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。（6）两圆相交、相切的性质和判定。（7）圆和圆的位置关系。2.难点：（1）直线与圆相切的性质和判定。（2）切线的判定方法：切线的性质。（3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。两圆相交，可作公共弦。两圆相切，可作公切线。有半圆，可作整圆；有直径，可作直径所对

2、的圆周角。圆与圆要心连心，即作连心线。【知识纵览】1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（d）、圆的半径（r）之间有着紧密的联系。也就是说：点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：图形（点与圆）的位置关系数量（d 与 r）的大小关系点在圆内d r 点在圆上d r 点在圆外d r 2.直线与圆的位置关系的性质与判定设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交图形精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 21 页名师精编优秀教案公

3、共点个数0 1 2 数量关系dr dr dr 3.三角形内心与外心的区别图形名称确定方法性质外心（三角形外接圆的圆心）三角 形三边垂直平分线的交点OA OBOC；外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角 形三个内角的平分线的交点 OD OE OF；OA、OB、OC 分别平分 BAC、ABC、ACB 4.两圆的位置关系、数量关系及识别方法设两圆的半径分别为R 和 r，圆心距（圆心间的距离）为d。位置关系图形公共点个数R、r 与 d 的关系外离0 dRr外切1 dRr相交2 RrdRr内切1 dRr精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 21 页名师精编优秀教案内含0 dRr上

4、表中，两圆内含时，如果d0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。【典型例题】例 1.O 的半径为2.5，动点 P到定点 O 的距离为2，动点 Q 到 P 点距离为 1。问：P 点、Q 点和 O 是什么位置关系？为什么？解：PO22.5 P 点在 O 内部Q 点和 O 点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。当 Q 点在 OP 延长线上时，则Q 点和 O 点距离最大，最大距离为213。当 Q 点在 OP 上时，则Q 点和 O 点距离最小，最小距离为211。当 Q 点处在Q1点和Q2点时，则QO2 5.，如上图所示。综上所述，Q 点既可能在 O 上，也可能在O 外，或在 O 内。例 2.在平面直角坐标

5、系xOy 中，当以点O（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求其半径 r 的取值范围。（1）与坐标轴有惟一交点。（2）与坐标轴有两个交点。（3）与坐标轴有三个交点。（4）与坐标轴有四个交点。解：如下图，由题意，圆心O到 x 轴的距离dx3，到 y 轴的距离dy4。精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 21 页名师精编优秀教案（1）O与坐标轴有惟一公共点只可能与x 轴有惟一公共点rdx3（2）由条件知，O与 x 轴相交，但与y 轴无公共点34r（3）O与坐标轴有三个交点 O与 x 轴必相交且与y 轴必有公共点若 O与 y 轴有惟一公共点，则r4 若 O与 y 轴有两个公共点，则其中一个

6、公共点必为原点，故r5。所求 r 的值为 r4 或 r5（4）O与坐标轴有四个交点 O与两坐标轴都相交，且不过原点 r4 且 r5 例 3.如图所示，已知：AB 是 O 的直径，BC 是 O 的切线，切点为B。OC 平行于弦AD，试说明：DC 是 O 的切线。解：连结 OD 因为 OA OD，所以 1 2 又因为 AD OC，所以 1 3，2 4 因此 3 4 而 OB OD，OC 公共，于是将OBC 沿 OC 翻折可与 ODC 重合所以 ODC OBC 又 BC 是 O 的切线，所以OBC 90精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 21 页名师精编优秀教案从而 ODC90，OD DC

7、，故 DC 是 O 的切线例 4.如图所示，已知AB、AC 分别是 O 的直径和弦，D 为劣弧AC上一点，DEAB于点 H，交 O 于 E，交 AC 于点 F，P 为 ED 延长线上一点。（1）当 PCF 满足什么条件时，PC 与 O 相切，请说明理由；（2）当点 D 在劣弧AC上的什么位置时，才能使ADDEDF2。精析与解答：（1）如图所示，当PCF 为等腰三角形，PC PF时，PC 与 O 相切连结 OC，当 PCPF 时，PCF PFC DEAB，1 AFH 90 1 PFC90，即 1 PCF90又 OAOC，1 2 2 PCF 90，即 PC 与 O 相切于点C（2）当 D 为劣弧A

8、C中点时，ADDEDF2连结 AE，D 为AC中点，3 4 又 ADF EDA，ADF EDA ADEDDFDA，即ADDEDF2例 5.如下图，AB 是半圆 O 的直径，C 为半圆上一点，CD 切 O 于点 C，AD CD 于点 D，C 以 CD 为半径。精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 21 页名师精编优秀教案求证：AB 是 C 的切线。分析：要证 AB 是 C 的切线，就是要证点C 到 AB 的距离 CECD。即要证 ACD 和ACE 全等。证明：过点 C 作 CE AB 于点 E，连结 AC、BC、OC CD 是 O 的切线，AB 是 O 的直径CDOC，AC BC，ACD

9、ACOACOOCBACDOCBOCBBBBACACEBACACDBACE90909090在 ACD 和 ACE 中，CDACEAACDACEACAC90 ACD ACE CECD AB 是 C 的切线例 6.如下图，设 I 与 ABC 的三边 AB、BC、AC 分别相切于点F、D、E，连结 BI、CI、ED、FD。若 A60，则 BIC_，EDF_。分析：本题所求的两个角分别是I 的圆心角和圆周角。如果考虑用圆心角等性质来求。但条件不足，所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求。解：连结 IE、IF I 是 ABC 的内切圆精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 21 页名师精

10、编优秀教案，IBCABCICBACBBICIBCICB12121801801212180121801218018012120120（）（）（）ABCACBABCACBA I 分别切 AB、AC 于 F、E IF AB，IEAC AFI AEI 180 A EIF 180EIFAEDFEIF180180601201260例 7.如图所示，O 半径为 R，CD 为 O 直径，以D 为圆心。r 为半径的圆与O 相交于 A、B，BD 的延长线交D 于 E 点。求证：rRAE2证明：本题中的 O 经过 D 的圆心，是一种特殊相交，则连接AD。可知 AD 即为 O的弦，又为 D 的半径，两圆相交可作公共弦

11、，连接AB，对 R、r 进行选择，然后用三点定形找到共边型的相似三角形。连结 AD、AB、OA、AC ，AODCADEB22又 C B 精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 21 页名师精编优秀教案 AOD ADE AOD 与 ADE 都是等腰三角形且顶角相等它们的底角也相等，即ADO DAE AOD ADE ADAEAOAD（相似三角形对应边成比例）ADAOAE2即rRAE2例 8.已知：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC，B90，AB8cm，AD 24cm，BC26cm，AB 为 O 的直径，动点P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点Q

12、从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 3cm/s 速度运动。P、Q 分别从点A、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，求：（1）t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？等腰梯形？（2）当 t 分别为何值时，直线PQ 与 O 相切？相交？相离？精析与解答：（1）四边形PQCD 为平行四边形时，只要PDCQ 即可；四边形PQCD为等腰梯形时，则要PQCD，PD QC 当 QC PD 时，有324tt，解得 t6 当 t6s 时，四边形PQCD 为平行四边形过 P、D 分别作 BC 的垂线交BC 于 E、F（如图甲所示），则由等腰梯形的性质可知EFPD

13、，QE FC2，QC PD4 3244tt，解得 t7 当 t7 时得四边形PQCD 为等腰梯形精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 21 页名师精编优秀教案甲（2）讨论动直线PQ 与 O 的位置关系，关键是要抓住直线PQ 与 O 相切时的情况计算出 t 的值，加以分析推理可以得出PQ 与 O 相交、相离时t 的值。设运动 t s 时，直线PQ 与 O 相切于点G，过 P 作 PHBC，垂足为H（如图乙所示）乙PHAB，BHAP 即 PH8，HQ264t 由切线长定理，得：PQAPBQttt263262由勾股定理，得：PQPHHQ222即2628264222tt得3261602tt，解

14、得tt12238，t0 时，PQ 与 O 相交，当ts823时，Q 点运动到 B 点，P 点尚未运动到点D，但也停止运动，此时PQ 直线与 O 相交t23或 8s 时，直线PQ 与 O 相切；当023t或8823t时，直线PQ 与 O 相交；当238t时，直线PQ 与 O 相离。例 9.如图甲所示，施工工地的水平面上，有三根外径都是1 米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是多少？精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 21 页名师精编优秀教案甲精析与解答：如图乙所示，连结O OO O1312，乙设O1与O2外切于点A，则O AO O312在Rt O AO13中，O OO A

15、131112，O AO OO A31321232最高点 C 到水平面的距离CBO AAB32321例 10.如图所示，两等圆O1和O2相交于 A、B 两点，且两圆互过圆心，过B 作任一直线，分别交O1、O2于 C、D 两点，连结AC、AD。（1）试猜想 ACD 的形状，并给出说明。（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？说明你的结论成立的理由。（3）若O1，O2是两个不相等的圆，半径分别为R 和 r。那么（2）中的猜想还成精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 21 页名师精编优秀教案立吗？若成立，说明理由；若不成立，那么AC 和 AD 的长与两圆半径有什么

16、关系？说明理由。精析与解答：（1）ACD 为等边三角形理由：因为两圆是等圆，且互相过圆心，连结AOAOBOBOO O121212、则AOAOBOBOO O121212所以AO BAO B12120所以 ADB ACB 60所以 ACD 为等边三角形（2）ACD 为等腰三角形理由：因为两圆是等圆，连结AOAOBOBO1212、则AOAOBOBO1212所以AO BAO B12所以 ADB ACB 所以 ACD 为等腰三角形（3）不成立，此时ACADRr如图所示，分别作O1、O2的直径 AE 和 AF 分别交两圆于E、F 点，连结 CE、DF、AB，则 ACE ADF 90精选学习资料 -名师归纳

17、总结-第 11 页，共 21 页名师精编优秀教案，ABDABCABCAECABDAECABDAFDAECAFD180180 ACE ADF ACADAEAFRrRr22【模拟试题】（答题时间：80 分钟）一.选择题（每小题4 分，共 24 分）1.下列语句不正确的是（）A.过一点可以作无数个圆B.过两点可以作一个圆C.过任意三点都可以作一个圆D.过任意四个点不一定能作圆2.O 的直径是8cm，直径l和 O 相交，圆心 O 到直线l的距离是d，则 d 应满足（）A.dcm8B.48cmdcmC.04cmdcmD.dcm03.如图所示，P 是 O 外一点，自P 点向 O 引切线 PA，PB，切点为

18、A，B，CD 切 O于 E，交 PA，PB 于 C，D，若 PA20，则 PCD 的周长为（）A.20 B.30 C.3012D.40 4.设 ABC 的内切圆的半径为2，ABC 的周长为 4，则 ABC 的面积为（）A.2 B.4 C.6 D.8 5.两圆半径分别为5 和 3，d 为圆心距，当28d时，两圆的位置关系是（）A.外切B.内切C.外离D.相交6.如图所示，AB，AC 与 O 相切于点B，C，A50，点 P 是圆上异于B，C 的一动点，则 BPC 的度数是（）精选学习资料 -名师归纳总结-第 12 页，共 21 页名师精编优秀教案A.65B.115C.65或 115D.130和 5

19、0二.填空题（每小题2 分，共 12 分）7.如图所示，AB是 O 的直径，AB AC，AC 是 O 的切线，A 是切点，则B_。8.如图所示，PA，PB 是 O 的切线，A，B 为切点，AC 是 O 的直径，P30，则CAB _。9.ABC 的内切圆 O 与 AC，AB，BC 分别相切于点D，E，F，且 AB 4，BC8，AC 6，则 AE _，BF_，CD _。10.如图所示，已知O 是 ABC 的内切圆，与AB，BC，CA 分别相切于点D，E，F，B50，C40，则 DOF_，DEF _。精选学习资料 -名师归纳总结-第 13 页，共 21 页名师精编优秀教案11.O 的半径为3cm，若

20、 O与 O 外切时，圆心距为10cm，则 O与 O 内切时，圆心距为 _cm。12.如图所示，已知Rt ABC 中，C 90，ACBC21，若以 C 为圆心，CB为半径的圆交AB 于 P，则 AP_。三.综合题（每小题6 分，共 24 分）13.如图所示，AB 是 O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，且 DB BO，过点 A 作弦 AC，使 CAB 30，连结DC，DC 是 O 的切线吗？为什么？14.如图所示，AC 为 O 的直径，PA，PB 是 O 的切线，OP 交 AB 于点 E，交AB于点F，CAB 30，AC 8cm。求：（1）APB 的度数；（2）OP 的长；（3）PE 的长

21、；（4）ABP 的面积。15.如图所示，O 为 ABC 的内切圆，连结OB，OC。（1）当 B80，C30时，求 BOC；（2）当 A70时，求 BOC；精选学习资料 -名师归纳总结-第 14 页，共 21 页名师精编优秀教案（3）当 A时，求 BOC。16.如图所示，AB 是 O 的直径，BE 是 O 的切线，切点为B，点 C 为射线 BE 上一动点（点 C 与点 B 不重合），且弦 AD 平行于 OC。（1）求证 CD 是 O 的切线；（2）设 O 的半径为r，试问：当动点 C 在射线 BE 上运动到什么位置时，有ADr2？证明你的结论。四.开放与交流（共10 分）17.如图所示，在直角坐

22、标系内，以点M（2，0）为圆心，3 为半径作 M。（1）分别画出当kb41，；当kb22，；当kb315，.时的图形，并判断直线ykxb与 M 的位置关系；（2）试判断直线与M 相交和 k，b 的取值是否有关，请说明理由，得出结论。精选学习资料 -名师归纳总结-第 15 页，共 21 页名师精编优秀教案五.思考与探究（每小题6 分，共 12 分）18.如图所示，AB 是半圆 O 的直径，点 M 是半径 OA 的中点，点 P 在线段 AM 上运动（不与点 M 重合），点 Q 在半圆O 上运动，且总保持PQPO，过点 Q 作半圆O 的切线交BA的延长线于点C。（1）QPA60时，请你对QCP 的形

23、状作出猜想，并给予证明；（2）当 QPAB 时，QCP 的形状是 _三角形；（3）由（1），（2）得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段 AM 上运动到任何位置时，QCP 一定是 _三角形。19.如下图（1）所示，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P为切点。（1）判断 AP 与 BP 的关系，并说明理由；（2）当弦 AB 向上平移分别与小圆交于点C，D 时，如下图（2）所示，判断AC 与 BD的关系，并说明理由。六.回顾与预测（第2023 小题各 3 分，第 24 小题 6 分，共 18 分）20.（2003南京）阅读下面材料，然后回答问题。对于平面图形A，如果存在一

24、个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖。对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖。例如：如下图所示，图（1）中的三角形被一个圆所覆盖，图（2）中的四边形被两个圆所覆盖。精选学习资料 -名师归纳总结-第 16 页，共 21 页名师精编优秀教案（1）边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 _cm；（2）边长为 1 cm 的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r 的最小值是 _ cm；（3）长为 2cm，宽为 1cm 的矩形

25、被两个半径都为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 _ cm，这两个圆的圆心距是_ cm。21.（2004重庆）某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5 cm 的钢球，测得上面的一个钢球顶部高DC16 cm（钢管轴截面如下图所示），则钢管的内直径AD 长为 _ cm。22.（2004兰州）如下图所示，圆A 的半径为 r，圆 O 的半径为 4r，圆 A 从圆上所示位置出发绕圆O 作无滑动的滚动，要使圆A 的圆心返回到原来的位置，圆A 滚动的圈数是_。23.（2004海口）如下图所示，已知AOB 30，M 为 OB 边上一点，以M 为圆心，2 cm 为半径作 M，若

26、点 M 在 OB 边上运动，则当 OM_ cm 时，M 与 A 相切。24.（2004南京）如下图（1）所示，在矩形ABCD 中，AB 20 cm，BC4 cm，点 P从 A 开始沿折线A BCD 以 4 cm/s 的速度移动，点Q 从 C 开始沿 CD 边以 1 cm/s 的速度移动，如果P，Q 分别从 A，C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t（s）。（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形？精选学习资料 -名师归纳总结-第 17 页，共 21 页名师精编优秀教案（2）如下图（2）所示，如果 P 和 Q 的半径都是2 cm，那么 t 为何值时，P 和 O

27、外切？精选学习资料 -名师归纳总结-第 18 页，共 21 页名师精编优秀教案【试题答案】1.C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C 7.458.159.1；3；5 10.90；4511.4 12.3313.解：DC 是 O 的切线。理由是：如下图所示，连结CO CAB 30，COAO ACO30，COD60COBO，BCOB DB BO，DB OB BC COD 为直角三角形，OCD 90DC 是 O 的切线14.（1）APB 60（2）OP8 cm（3）PE6 cm（4）ScmABP123215.（1）125；（2）125；（3）BOC901216.（1）提示：如下图所示，欲证CD 是

28、 O 的切线。由于CD 与 O 的公共点是D，故只要连结OD，再证 ODDC 即可。精选学习资料 -名师归纳总结-第 19 页，共 21 页名师精编优秀教案（2）解：如上图所示，当BCr时，有ADr2这是因为：BC 是 O 的切线，OBC90又，BCrOB345AD OC，A 345又 OAOD，1 A45 AOD 90ADOAODrrr2222217.提示：（1）图略。相交；相交；相交。（2）略18.（1）解：QCP 是等边三角形。证明过程如下：连结 OQ，则 CQOQ PQPO，QPC60 POQ PQO30CCQPCQPC90306060 QPC 是等边三角形（2）等腰直角（3）等腰19

29、.解：（1）APBP 理由是：连结OP AB 切小 O 于点 P，OPAB 又 AB 是大圆的弦，APBP（2）AC BD 理由是：过点O 作 OGAB 于点 G 可知AGBGCGDG，AGCGBGDGACBD20.（1）22；（2）33；（3）22121.18 22.4 23.4 24.解：（1）由题意知，当AP DQ，APDQ，A90时，四边形APQD 为矩形此时，420tt，t4（s）精选学习资料 -名师归纳总结-第 20 页，共 21 页名师精编优秀教案 t 为 4 s 时，四边形APQD 为矩形（2）当 PQ4 时，P与 Q 外切如果点 P 在 AB 上运动，只有当四边形APQD 为

30、矩形时，PQ4，由（1）得 t4 s。如果点P在 BC 上运动，此时t5，则 CQ5，PQ CQ54，P 与 Q 外离。如果点 P 在 CD 上运动，且点P 在点 Q 的右侧，可得CQt，CPt424当CQCP4时，P与 Q 外切，此时ttts4244203，如果点 P 在 CD 上运动，且点 P 在点 Q 的左侧，当CPCQ4时，P 与 Q 外切。此时4244283ttts，点 P 从 A 开始沿折线ABCD 移动到 D 需要 11 s，点 Q 从 C 开始沿 CD 边移动到 D 需要 20 s，而28311当 t 为 4 s，203283ss，时，P与 Q 外切。精选学习资料 -名师归纳总结-第 21 页，共 21 页