北师大数学初一上行程问题专题分类整理带部分答案

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1、行程问题一、弄清行程问题中根本的量与它们之间的关系。行程问题中有三个根本量：速度、时间、路程。这三个量之间的关系是：路程时间速度 ：速度路程/时间 时间 路程/速度 二、行程问题常见类型1、一般相遇问题。2、追及急问题。3顺逆水航行问题。4、跑道上的相遇追急问题三、行程问题中的等量关系所谓等量关系就是意义一样的量能用等量连接的关系。假设路程，那么应找时间的等量关系与速度的等量关系；假设速度，那么应找时间的等量关系与路程的等量关系；假设时间，那么找路程的等量关系与速度的等量关系。在航行问题中还有两个固定的等量关系，就是：顺水速度静水速度水流速度逆水速度静水速度水流速度【通讯员问题】牢牢把握住关键

2、隐含条件时间相等。【火车过桥问题】桥长车长=路程速度过桥时间=路程【火车错车或超车问题】A车长B车长=路程速度与错车时间=错车路程速度差超车时间=超车路程【流水行船】船速：在静水中的速度水速：河流中水流淌的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度相遇问题1、甲乙两人在一条长400 米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟跑360米，乙的速度是每分钟跑240米。两人同时同地同向跑，几秒后两人第一次相遇？分析：此题属于环形跑道上的追及问题，两人同时同地同向而行，第一次相遇时，速度快者比速度慢者恰好多跑一圈，即等量关系为：甲走的路程-乙走的路程=4002.为了迎接2021年北京奥

3、运会，小区提倡大家熬炼身体，聪聪与明明兄弟两人确定每天早起跑步，明明每秒跑4米，聪聪每秒跑6米，假如他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？分析：用线段图表示为：聪聪x秒跑的路程： 明明x秒跑的路程：用符号语言表示为即列方程： 3.甲乙两人在环形跑道上练习跑步。环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲的速度是乙的4/3倍。假设甲、乙两人在跑道上相距8米处同时相向动身，经过几秒两人相遇？假设甲在乙前8米处同时同向动身，那么经过多长时间两人首次相遇？分析：此题甲乙两人的速度均已告知，因此我们只能在时间中找等量关系，在路程中找等量关系。第问是一个在环形跑道上的相遇问题。由于两人反向同

4、时动身，最终相遇。故相遇时两人跑的时间是相等。得到第一个等量关系：甲时间乙时间 由于两人动身时相距8米，所以当两人第一次相遇时，共跑了4008米。故可以得到第二个路程的等量关系 甲路程乙路程4008 设x秒后两人相遇，那么相遇时乙跑了6x米，甲跑了6 x米，代入第二个等量关系中可得方程 6x6x4008第二问是一个环形跑道上的追急问题。因两人同时动身，故当甲追上乙时，两人用时一样。可得第一个时间等量关系 甲时间乙时间由于两人同向动身时相距8米，且速度较快的甲在前，故当两人第一次相遇时甲必需比乙多跑4008米，可得第二个行程的等量关系甲路程=乙路程+400-8设X秒后甲及乙首次相遇，此时甲跑了6

5、x米，乙跑了6x米，代入第二个等量关系可得方程：6x6x40084.两块手表走时一快一慢，快表每9小时比标准表快3分钟，慢表每7小时比标准表慢3分钟。如今把快表指示时间调成是8:15，慢表指示时间调成8:31，那么两表第一次指示的一样时刻是_:_；答案：5：225.在一圈300米的跑道上，甲、乙、丙3人同时从起跑线动身，按同一方向跑步，甲的速度是6千米/小时，乙的速度是千米/小时，丙的速度是3.6千米/小时，_分钟后3人跑到一起，_小时后三人同时回到动身点；分析：我们留意到，3人跑到一起的意思是快者比慢者跑的路程差应是300的整数倍；假如都同时回到动身点，那么每人跑的路程都是300的整数倍。同

6、时留意到此题的单位不统一，首先换算单位，然后利用求两个分数的最小公倍数的方法可以解决问题。解：1先换算单位：甲的速度是米/分钟；乙的速度是米/分钟；丙的速度是米/分钟。2设t分钟3人第一次跑到一起，那么3人跑的路程分别是米、米、米。路程差都是300的整数倍。而 ，所以第一次3人跑到一起的时间是分钟。3设k分钟3人同时回到起点，那么3人跑的路程分别是米、米、米。每个路程都是300的整数倍。而，所以3人同时回到起点的时间是105分钟。评注：求几个分数的最小公倍数的方法是：全部分子的最小公倍数作分子，全部分母的最大公约数作分母得到的分数。6.男、女两名运发动同时同向从环形跑道上A点动身跑步，每人每跑

7、完一圈后到达A点会马上调头跑下一圈。跑第一圈时，男运发动平均每秒跑5米，女运发动平均每秒跑3米。此后男运发动平均每秒跑3米，女运发动平均每秒跑2米。二人前两次相遇点相距88米按跑道上最短间隔 ，那么这条跑道长_米；解：因为第一圈时男运发动的速度是女运发动的倍，所以男运发动跑完第一圈后，女运发动刚刚跑到全长的位置。这时男运发动调头与女运发动以一样的速度相向而行，所以第一次相遇点在距A点全特长。下面探讨第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男运发动已经跑完第二圈，男运发动跑第二圈的速度及女运发动第一圈的速度一样，所以在男运发动跑完第二圈时，女运发动跑第二圈的时间恰好等于男运发动跑第一圈的时间，而女运

8、发动跑第二圈的速度是男运发动跑第一圈速度的，所以女运发动刚好跑到距A点的位置，此时男女运发动相向运动，男运发动的速度为3m/s，女运发动的速度为2m/s。这样第二次相遇点距A点。两次相遇点间的间隔 为总全长的。所以两点在跑道上的最短间隔 为全长的。而这段间隔 又为88米。所以88200米。7.某人骑摩托车以300米/分的速度从始发站沿公交线动身，在行驶2400米时，恰好有一辆公共汽车总始发站动身，公交速度500米/分，每站停靠3分钟，两站之间要行驶5分钟，那么一路上摩托车会及公共汽车遇见_次；解：摩托车及总站相距2400米的时候，遇见10次。8.A、B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A

9、、B两地同时动身，甲速度为每小时40千米，动身后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人接着沿各自方憧憬前骑。在他们相遇3分钟后，甲及迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙。假设甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速快2千米的车速，两人同时分别从A、B动身相向而行，那么甲、乙二人在C点相遇。那么丙的车速是每小时_米；解：乙原来车速是每小时105-40=20千米，乙加速后及甲在C相遇，CA间隔 是20=50千米，乙原来速度到C点时间是小时。甲、乙原来相遇地点及C点的间隔 是千米，丙走这22千米用的时间是小时。丙车速是每小时千米。9.如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y(千米)随时间x

10、(分)改变的图象.依据图象答复下列问题；图9(1)求竞赛开始多少分钟时，两人第一次相遇。(2)求这次竞赛全程是多少千米。(3)求竞赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.分析：此题将行程问题及正比例函数、一次函数有机地结合在一起，而其数据信息完全由图象给出，突出了数形结合的特点。解题的关键是从图象获得数据信息，建立起关于一次函数与二元一次方程组的数学模型，这种“审读获得信息建立数学模型说明、解决问题的方式是信息性问题的根本解题方式。追及问题1. 甲乙两人相距40千米，甲先动身1.5小时乙再动身，甲在后乙在前，二人同向而行，甲的速度是每小时8千米，乙的速度是每小时6千米，甲动身几小时后追上乙？分析：由

11、于甲乙二人相距40千米，同向而行，甲先动身1.5小时此时乙未动身，经过1.5小时后乙才动身与甲同向而行，后来甲追上了乙，所以有等量关系：甲走的路程-乙走的路程=两人原来的间隔 。假如设甲动身x小时后追上乙，那么乙运动的时间为x-1.5小时，所以甲走的路程为8x千米，乙走的路程为6x-1.5千米。2. 甲乙两人相距100米，甲在前每秒跑3米，乙在后每秒跑5米。两人同时动身，同向而行，几秒后乙能追上甲？分析：在这个直线型追及问题中，两人速度不同，跑的路程也不同，后面的人要追上前面的人，就要比前面的人多跑100米，而两人跑步所用的时间是一样的。所以有等量关系：乙走的路程-甲走的路程=100 解：设x

12、秒后乙能追上甲 依据题意 得 5x-3x=100 x=50答：50秒后乙能追上甲3.小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度动身，5分后，小明的爸爸发觉他忘了带语文书。于是，爸爸马上以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。1爸爸追上小明用了多长时间？2追上小明时，间隔 学校还有多远？分析：用线段图表示为： 用符号语言表示为即列方程设：爸爸追上小明用了x分钟，那么可列方程为： 4.某校新生列队去学校实习基地熬炼，他们以每小时4千米的速度行进，走了 小时时，一学生回校取东西，他以每小时5千米的速度返回学校，取东西后又以同样速度追逐队伍，结果在

13、距学校实习基地1500米的地方追上队伍，求学校到实习基地的路程 分析：用线段图表示为：用符号语言表示为即列方程5.在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届盼望杯竞赛培训题)解：设甲的运动速度是 乙的运动速度是，丙的运动速度是设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有 甲比丙多运动一圈用时40秒，故有 可得到 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的间隔 甲、丙之间间隔 甲、乙之间间隔 30 10； 乙追上丙所用时间秒所以第110秒时，乙追上丙评注：相遇问题的

14、关系式是：路程与=速度与时间；追及问题的关系式是：追及路程=速度差时间。6.小明每天早上要在7：50之前赶到间隔 家1000米的学校去上学。小明以80米/分的速度动身，5分钟后小明的爸爸发觉他忘了带语文书。于是，爸爸马上以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追小明用了多长时间？分析：此题中小明的速度，爸爸的速度均已告知。因此速度之间不存在等量关系。我们只能在父子二人的时间与父子二人的路程上找等量关系。由于小明比爸爸早动身5分钟，且相遇时在同一个时刻，因此相遇时爸爸比小明少用5分钟，可得时间的等量关系：爸爸的时间5分钟小明的时间 当爸爸追上小明时，父子二人都是从家走到相遇的地点，

15、故爸爸行的路程及小明行的路程相等。得路程相等关系。 爸爸路程小明路程 假如爸爸追上小明用了x分钟，那么第一个相等关系得：小明用了x5分钟，带入第二个等量关系，可得方程 180x80x57.甲、乙两人同时同地同向动身，沿环行跑道匀速跑步，假如动身时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度马上进步，而乙的速度马上削减，并且乙第一次追上甲的地点及第二次追上甲的地点相距较短间隔 100米，那么这条环行跑道的周长是_米；ACB解：设甲原来的速度是1个单位，那么乙原来的速度是个单位，甲后来的速度是个单位，乙后来的速度是2个单位。设第一次甲跑了x圈时被乙追上，那么此时乙跑了(x+1)圈；被追上后

16、甲又跑了y圈再次被乙追上，那么乙又跑了(y+1)圈。利用两次甲乙跑的时间相等列方程：解得：如图，假设两人从A动身逆时针跑，那么第一次乙在B点追上甲，第二次在C点追上甲A、B、C是圆周的三等分点。因为B、C相距100米，所以环形跑道的周长为米。ACBBA8.某体育馆有两条周长分别为150米与250米的圆形跑道如图，甲、乙俩个运发动分别从两条跑道相距最远的两个端点A、B两点同时动身，当跑到两圆的交汇点C时，就会转入到另一个圆形跑道，且在小跑道上必需顺时针跑，在大跑道上必需逆时针跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙第5次及甲相遇时，所用时间是_秒。分析：此题假如按原来的图形思索，会是特别费事的事，须

17、要分段计算，然后找到周期，这样没有细心的计算是很难解决问题的。如今我们留意到在小圆上是顺时针，在大圆上是逆时针，假如这两个圆能“拧开就是一个在周长400米的大圆上的不同起点同时的追及问题，题目一下子变得特别简洁了。解：依据分析，甲在A处，乙在B处，相距200米同时同向而行，乙速较快，第一次追上甲要多跑200米，以后每追上一次乙都要比甲多跑400米，那么第五次乙追上甲时，比甲多跑4004+2001800米，须要的时间是1800541800秒。评注：当一个问题按试题指引的方向比较困难时，有时可以换一个角度得以使试题简化，而题目本身并没有本质上的改变，这是解决数学问题常常用到的“转化的数学思想。9.

18、某路公交线共有30站含始发站与终点站，车站间隔2.5千米，某人骑摩托车以300米/分的速度从始发站沿公交线动身，差100米到下一站时，公交总站开始发车，每2分钟一辆，公交速度500米/分，每站停靠3分钟，那么一路上摩托车会被公共汽车从后追上并超过_次；摩托车从始至终不停，公交车到终点即停解：摩托车及总站相距2400米的时候，第一辆车开始发车，它及摩托车超过9次，第二辆超过8次，第三辆超过2次，共计19次；队伍中的行程问题1.某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，马上返回排尾，速度为3米/秒。问来回共需多少时间？讲评：这一问题事实上分为两个过程：从排尾到排头的过程是

19、一个追及过程，相当于最终一个人追上最前面的人；从排头回到排尾的过程那么是一个相遇过程，相当于从排头走到及排尾的人相遇。解：在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进即排头速度为90米/分=1.5米/秒，那么排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒，那么追及者行驶的路程为3x米。由追及问题中的相等关系“追逐者的路程被追者的路程=原来相隔的路程，有： 3x1.5x=450 x=300 在相遇过程中，设相遇的时间为y秒，队伍与返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y米，返回者行驶的路程为3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程有： 3y+1.5y=450 y

20、=100故来回共需的时间为 x+y=300+100=400秒2.某行军总队以8千米/时的速度前进。队末的通信员以12千米/时的速度赶到排头送一封信，送到后马上返回队尾，共用时14.4分钟。求这支队伍的长度。分析：此题在通信员追上排头以前是一个追急问题。从排头回到排尾是一个相遇问题。我们应分着两种情形去考虑问题。由时间共用14.4分钟可得一个等量关系：通信员追上排头的时间 +通信员回到排尾的时间=14.4分钟再由两个固定关系 相遇路程/速度与=相遇时间 追急路程/速度差=追击时间 可得两个等量关系：相遇路程/8+12=相遇时间追急路程/12-8=追急时间 设队伍长x千米，那么追急时间为 小时，相

21、遇时间为 小时，代入第个等量关系中可得方程 + = . 总之，利用列方程来解决问题的方法是数学里面一个重要思想，就是方程思想。详细做法是从题中找出反映题中全部意义的全部等量关系，然后依据等量关系用字母代替未知数列出方程。路程刚好间问题路途上有坡坎等1.从甲地到乙地的马路，只有上坡路与下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需小时，问：甲、乙两地间的马路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)分析 此题用方程来解简洁自然。解 设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依据题意得方程组解

22、这个方程组有许多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特别(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数也恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采纳如下的解法：(1)+(2)得 (x+y)( +)=9+所以 x+y= (3)(1)-(2)得 (x-y)( -)=9-所以 x-y= (4)由(3)、(4)得 x=所以甲、乙两地间的马路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。2. 摄制组从A市到B市有一天的路程，方案上午比下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原方案的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，黄昏才停下来休息。

23、司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)分析：此题条件中只有路程，没有时间与速度，因此应当细致分析各段路程之间的关系。解：如图，设小镇为D，黄昏 汽车在E 休息 A D C E B 由， AD是AC的三分之一，也就是AD=DC 又由，EB=CE 两式相加得：AD+ EB=DE因为DE=400千米，所以AD+ EB=400=200千米，从而A、B两市相距400+200=600千米评注：行程问题常通过画行程示意图来扶植我们思索。3.小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸发觉小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小

24、明还有的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。这样，小明就比单独步行提早了5分钟到学校，小明从家到学校全部步行须要_分钟；解：小明走，及小明的爸爸走的时间一样，所以他们的速度比是：7：2，接下来假如小明步行，爸爸骑车都走的路程，那么小明就多用5分钟，设速度的一份为x，那么，所以小明的速度是，从家到学校的路程是1，所用时间是分钟。汽车发车问题1.公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发觉从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车。假如公共汽车及小宏行进的速度都是匀称的，那么x等于 分钟。(第六届迎春杯初赛试题)分析：此题包括了行程问题中的相遇及追及两种

25、状况。假设设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，那么当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车及小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过分钟及小宏相遇。由此可列出两个方程。解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，依据题意得 两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5评注：行程问题常分为同向运动与相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便扶植我们直观、形象地理解题意。有河流的行程问题1 有编号为、的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2

26、、v3千米，且满意v1 v2 v3 v 0，其中v为河流的水流速度。它们在河流上进展追逐赛，规那么如下： (1) 3条赛艇在同一起跑线上同时动身，逆流而上，在动身的同时，有一浮标顺流而下； (2) 经过1小时，、号赛艇同时掉头，追逐浮标，谁先追上谁为冠军。在整个竞赛期间各艇的速度保持不变，那么竞赛的冠军 解：经过1小时，、号赛艇同时掉头，掉头时，各艇及浮标的间隔 为： S i=(vi-v)1+v1= vi 1(i=1、2、3) 第i号赛艇追上浮标的时间为：(小时)由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。2

27、.一货轮航行于A、B两个码头之间，水流速度为3km/小时，顺水需2.5小时，逆水需3小时，求两码头之间的间隔 。分析：此题是一个航行问题，由于顺水所需时间，逆水所需时间均已告知，所以我们只找速度等量关系，路程等量关系，而其速度的两个等量关系时固有的，即：顺水速度=静水速度+水速、逆水速度=静水速度-水速。对此提来讲就是顺水速度=静水速度+3；逆水速度=静水速度-3.路程关系是比较明显的，即：顺水路程=逆水路程我们用来列方程，那就是须要顺水时间、顺水速度、逆水时间、逆水速度，两个时间，只要放出静水速度为xkm/h,由、就可以分别列出表示出顺水速度=x+3km/h,逆水速度=x+3km/h,代入可

28、得方程：2.5x+3=3(x-3)我们看到设出来的未知数不是题中要问的，这就是间接设元。假设设出来的未知数正好是题中所要求的，那就是干脆设元。好多题都是间接设元比较简洁。此题假设是干脆设元会比较难。3.一艘船在一条河里5个小时来回2次，第一小时比第二小时多行4千米，水速为2千米小时，那么第三小时船行了_千米；解：首先推断出开始是顺流。在第1小时与第2小时这两个相等的时间内，速差是4，路程差也是4，那么得到第1小时正好是走一个顺流的长度。由于第1个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第4小时确定是逆水。详细行驶状况如图。再者，第2小时与第3小时逆行的路程都是4，那么它们顺行的路程也必需相等，故第3

29、小时的最终时刻到全长的中点。44最终，比较第3小时与第3小时行驶的状况：设全长为2a千米，船在静水中的速度为每小时x千米。解得a10千米。4.一架飞机带的燃料最多用6小时，顺风去，每小时1500公里，逆风回，每小时1200公里，飞机最多飞出_小时返回；解：我们知道去时顺风，每小时1500公里，也就是去时每走1公里用小时，回来时逆风，每小时1200公里，也就是回来时每走1公里用小时。这样，每公里的路程来回共须要小时。燃料最多能用6小时，所以飞机最多可飞行=4000(公里)顺风时飞行4000公里须要40001500=小时。所以最多飞出小时。火车问题1.一列火车匀速前进，从开进入300米长的隧道到完

30、全驶出隧道共用了20秒，隧道顶部一盏固定的聚关灯照耀火车10秒，这列火车的长度是多少？分析：此题的关键是把题意理解清晰。“开始进入隧道到完全驶出隧道的意思是火车进入隧道到火车完全分开隧道。此过程火车行驶的路程应为隧道的长度及火车长度的与。故可得第一个等量关系 火车路程=火车长度+300 “聚光灯照耀火车10秒的意思是火车以它的速度10秒行进的路程是火车的长度。故可得第二个等量关系火车长度=火车速度10 设该火车的速度为x米/秒，那么由得火车长度为10x米。代入第一个等量关系中，可得方程20x=10x+300时钟问题1.早上8点多的时候上课铃响了，这时小明看了一下手表。过了大约1小时下课铃响了，

31、这时小明又看了一下手表，觉察此时时针与分针的位置正好及上课铃响时对调，那么上课时间是_时_分。分析：8点多上课，下课是9点多，两次的时针应是在89及910之间，这样可以初步推断出上课时间是8：点45分到8：50，下课时间是9：40到9：45之间。再利用分针刚好针速度的关系即可转化成环形上的行程问题。解：有分析可以知道，分针与时针走的总路程是整个圆周，设分针速度为1，那么时针速度为，分针每小时走60个小格，设8刚好针的夹角为x格，9及分针的夹角为y格，依据时间一样列方程组：。所以上课的时间为40+=分钟。2.一只旧钟的分针与时针每65分钟(标准时间的65分钟重合一次,这只钟在标准时间的1天快或慢

32、_分钟；分析：我们标准钟每65标准分钟时针、分针重合一次。旧钟每65分钟重合一次。明显旧钟快。此题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度(每标准分钟旋转多少格)进而推算出旧钟的针24标准小时旋转多少格，它及标准钟的针用24标准小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。解：设旧钟分针每标准分钟走x格。那么，每走1格用标准分钟。如用复合单位表示：旧钟分针速度为x (格/标准分)。旧钟分针走60格时针走5格，时针速度总是分针的，所以旧钟时针速度为x (格/标准分)。每次重合耗用65标准分钟，而且两次重合之间分针赶超了时针60格，列方程：.标准时

33、间一天有60241440标准分，一天内旧钟分针走的格数为：6024。但是我们只须求出旧钟分针比标准钟分针多走了多少格，即减去1440个(标准钟的)格，所以有60246024(1)6024602410(旧钟格)这里确定要明白，这10只是旧钟上显示的多走的格数，也是旧钟的非标准分钟数，并非标准的分钟数。答：这只旧钟在标准时间一天内快10分钟。(按旧钟上的时间)3.一个特别的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为成差数列递增。如今可以设定指针第一秒转动的角度aa为整数，以及相邻两秒转动的角度差1度，假如指针在第一圈内曾经指向过180度的位置，那么a最小可以被设成_，这种状况下指针第一次恰好回到动

34、身点是从开始起第_秒。解：对于满意条件的a，即存在1个自然数n，使得a+(a+1)+(a+2)+(a+n-1)=180，即(2a+n-1)n=360。明显a越小时，2a+n-1及n的差越小。又2a+n-1及n的奇偶性不同，于是可推出n=15，a=5。故a最小可以被设成5。在这种状况下指针第一次恰好回到动身点时，即5+6+7+n=360kk是整数，n5，所以(n+5)(n-4)能被720整除。留意到n-4n+5(mod3)，所以n-4与n+5是3的倍数。又n+5及n-4的奇偶性不同，故有一个是16的倍数。且n+5及n-4中有1个是5的倍数。于是得出满意条件的最小的n是100。时间为96秒。流水行

35、船问题：1.某人乘坐观光游船沿河流方向从A港到B港前行。发觉每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船,每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过。A、B两港之间货船发出的间隔时间一样，且船在静水中的速度一样，均是水速的7倍。那么货船的发出间隔是_分钟；分析：对于直线上汽车及行人的迎面相遇与背后追及这个类型的问题是多见的，这里要留意顺水及逆水的不同。解：设货车在静水中的速度为6，那么水速为1，游船的速度为x，时间间隔为t，那么在追及的状况下的间隔为30(6+1)-(x+1)=(6+1)t，迎面相遇状况下的间隔为20(6-1)+(x+1)=(6-1)t，解得t720/29分钟。评注：这里要留意及路面上的状况

36、不同的是发车的时间间隔一样时候，在顺水及逆水的间隔路程就不同了，就是这样出错的。2.有一地区，从A到B为河流，从B到C为湖。正常状况下，A到B有水流，B到C为静水。有一人游泳，他从A游到B，再从B游到C用3小时；回来时，从C游到B，再从B到A用6小时。特别状况下，从A到B、从B到C水速一样，他从A到B，再到C用2.5小时，在在这种状况下，从C到B再到A用_小时；解：设BC为1份，AB为x份，那么AB占总体的，BC占总体的，依据特别状况下，从A到B、从B到C水速一样，他从A到B，再到C用2.5小时，速度一样，时间的比等于路程的比，得到关于时间的等式.这样得到其它两个条件的等式：而要求的算式是这样

37、知道在BC上逆水时的时间为，静水时所用时间为，顺水时所用时间为，所以在BC上逆水、静水、顺水时的速度比为：，由于三者是公差为水速的等差数列，所以得到等式：=+，.所以.答：在特别状况下，从C到B再到A用7.5小时。评注：此题的关系特别困难，把四个条件都用时辰表示出来，然后找寻在BC上的三种速度是一个等差数列。3.A地位于河流的上游，地位于河流的下游，每天早上，甲船从地、乙船从地同时动身相向而行。从12月1号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇地点及平常相比改变了1千米。由于天气的缘由，今日12月6号的水速变为平常的2倍，那么今日两船的相遇地点及12月2

38、号相比，将改变_千米；分析：对于流水行船问题，留意水速的影响，水中相遇时，速度的与不变；解：设开始甲船在静水中中速度为V甲，乙船在静水中速度为V乙，水速为V水，相遇时间为t。1开始时相遇时间为tt1.5=，依据两次相遇点相距1千米，甲两次的路程差为1千米，列方程，tV水=3，从而千米；评注：从题目结论可以看出，路程的改变及甲、乙速度无关，只及水速的改变有关；1. 司机每天按规定时间开车从工厂到厂长家接厂长。一天厂长提早了1小时出门，沿路先步行，而司机晚动身了4分钟，途中接到厂长，结果厂长早到厂8分钟，那么开车速度及厂长步行速度的比是_；分析：此题给的是时间的关系。要知道，一样的路程下，路程比等

39、于时间的反比。解：司机晚动身4分钟，又早到8分钟，那么相当于少用4+8=12分钟时间接厂长到厂，又知道司机来回的时间是相等的，故司机去的时候少用1226分钟。而司机这6分钟走的路程是厂长步行的路程，厂长走这段路的时间应当是早动身的1小时加上司机遇到厂长时少用的6分钟，共66分钟。依据分析，一样的路程状况下，司机的速度及厂长步行的速度比是66：611：1。评注：不要认为司机6分钟的路程是厂长1小时的路程，而是要加上司机去的时候少用的6分钟，想一想，为什么？2. 甲、乙两人分别从A、B两地同时动身，4小时后在某处相遇；假如甲每小时多走1.5千米，而乙比甲提早24分钟动身，那么相遇时仍在此处。假如甲

40、比乙晚48分钟动身，乙每小时少走2.5千米，也能在此相遇，那么A、B两地之间的相距_千米；分析：此题的关键是三次相遇的地点一样，然后考虑各自的时间与速度的改变。解：假设甲乙4小时相遇在C处，当甲每小时多行1.5千米时，要走一样的路程，那么时间就少用小时，实际所用时间是40.43.6小时，那么甲原来的速度是千米/小时；当乙每小时少走2.5千米，那么走一样的路程要多用小时，实际所用的时间是4+0.84.8小时，那么乙原来的速度是千米/小时。所以A、B两地的间隔 是13.5+154114千米。解法二：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时，那么甲乙的路程分别是4x千米、4y千米。那么所以A

41、、B两地的间隔 是13.5+154114千米。评注：这里留意到乙多走的24分钟，相当于甲少走了24分钟，速度增加，时间削减，路程不变的状况。3. 猫跑5步的路程及狗跑3步的路程一样。猫跑7步的路程及兔跑5步的路程一样。而猫跑3步的时间及狗跑5步的时间一样。猫跑5步的时间及兔跑7步的时间一样。猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道,同时同向同地动身。当它们动身后第1次相遇时各跑了_、_、_米；分析：从所给的路程与时间的关系得到它们三者的速度比是很重要的，猫跑一步的时间为，跑5步的时间是，同样得到狗跑3步的时间是，这时路程一样，速度比是时间的反比，为9：25，同样求猫及兔子的速度比。解：由题意,猫及狗的速度之比为925,猫及兔的速度之比为2549。设单位时间内猫跑1米,那么狗跑米,兔跑米。狗追上猫一圈需300；兔追上猫一圈需300。猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是的整数倍,又是整数倍。及的最小公倍数等于两个分数中,分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即8437.5。上式说明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第1次相遇。此时,猫跑了8437.5米,狗跑了8437.523437.5(米),兔跑了8437.516537.5(米)。评注：留意三者的速度比，然后求出第一次相遇的时间是解题的关键，同时要会求两个分数的最大公约数。