2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 11 第11讲 函数模型及其应用新题培优练 文（含解析）新人教A版

第11讲 函数模型及其应用 基础题组练1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()解析：选D.因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合2某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：月份一月份二月份三月份四月份用气量/m3452535煤气费/元441419若五月份该家庭使用了22 m3的煤气，则其煤气费为()A12.5元B12元C11.5元 D11元解析：选A.由题意得C4.将(25，14)，(35，19)代入f(x)4B(xA)，得解得所以f(x)故当x22时，f(22)12.5.故选A.3成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处 B4千米处C3千米处 D2千米处解析：选A.设仓库应建在离车站x千米处因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m(m0)，则y1.当x10时，y12，所以m20.因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n0)，则y2nx.当x10时，y210n8，所以n.所以两项费用之和为yy1y228，当且仅当，即x5时取等号所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处故选A.4某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为PP0ekt(k，P0均为正的常数)如果在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.小时 B.小时C5小时 D10小时解析：选C.由题意，前5小时消除了90%的污染物因为PP0ekt，所以(190%)P0P0e5k，所以0.1e5k.设废气中污染物含量为1%所需过滤时间为t，由1% P0P0ekt，即0.01ekt，得ekt(0.1)2(e5k)2e10k，所以t10，所以排放前至少还需过滤t55(小时)故选C.5(2019河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系Ra(a为常数且a0)，广告效应为DaA.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为_(用常数a表示)解析：由题意得DaA，且A0，所以当，即A时，D最大答案：6.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中ab12，若要使S最大，则y_解析：由题意可得xy1 800，b2a，则yab33a3，S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)1 8083xy1 8083x1 8081 80821 8082401 568，当且仅当3x，即x40时取等号，所以当S取得最大值时，y45.答案：457声强级Y(单位：分贝)由公式Y10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)(1)平常人交谈时的声强约为106W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为106W/m2时，由公式Y10lg得Y10lg10lg 10660(分贝)(2)当Y0时，由公式Y10lg得10lg0.所以1，即I1012W/m2，则最低声强为1012W/m2.8“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年(1)当0x20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值解：(1)由题意得当0x4时，v2；当4x20时，设vaxb，显然vaxb在(4，20内是减函数，由已知得解得所以vx，故函数v(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)当0x4时，f(x)为增函数，故f(x)maxf(4)428；当4x20时，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5.所以当x10时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米综合题组练1某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利 B略有亏损C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损2(创新型)我们定义函数yx(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义yx(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如4.34，55；4.35，55.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)()A2x1 B2(x1)C2x D2x解析：选C.如x1时，应付费2元，此时2x14，2(x1)4，排除A，B；当x0.5时，付费为2元，此时2x1，排除D，故选C.3一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析：当t0时，ya；当t8时，yae8ba，故e8b.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一答案：164(应用型)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)解析：当0x20时，y(33xx2)x100x232x100；当x20时，y260100x160x.故y(xN*)当0x20时，yx232x100(x16)2156，x16时，ymax156.而当x20时，160x140，故x16时取得最大年利润答案：y(xN*)165某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(150.1x)万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)，所以每套丛书的供货价格为3032(元)，故书商所获得的总利润为5(10032)340(万元)(2)每套丛书售价定为x元时，由得0x150.设单套丛书的利润为P元，则Px(30)x30，因为0x0，所以P(150x)120，又(150x)221020，当且仅当150x，即x140时等号成立，所以Pmax20120100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元6(综合型)某厂有一个容量300吨的水塔，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量W(吨)与时间t(单位：小时，规定早晨六点时t0)的函数关系为W100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨若某天水塔原有水100吨，在供应同时打开进水管，问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出？解：设水塔进水量选择第n级，在t时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt吨，减去生活用水10t吨，再减去生产用水W100吨，即y10010nt10t100(0t16)若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0y300，即010010nt10t100300，所以1n1对一切t(0，16恒成立因为110，120.所以n，即n4.即进水量应选择4级- 6 -