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1、计数应用题计数应用题梅州市曾宪梓中学 张永益知识基础知识基础l两个基本计数原理1)、分类计数原理（加法原理）、分类计数原理（加法原理）2)、分步计数原理（乘法原理）、分步计数原理（乘法原理）l排列数公式l组合数公式mnA =n(n-1)(n-2)(n-m+1)mnn(n-1)(n-2)(n-m+1)C =m！例例1：高二（：高二（6）班）班有有30名男生，名男生，20名女生，从名女生，从50名学生中名学生中选出选出3名男生名男生、2名名女生分别担任女生分别担任班长、副班长、学习委员、文艺委员、体育班长、副班长、学习委员、文艺委员、体育委员，共委员，共有多少种不同的选法有多少种不同的选法？解：完
2、成这件事可分3步进行：第二步：从20名女生中选2名女生；第一步：从30名男生中选3名男生；第三步：将选出的5名学生进行分工，即全排列；由分步计数原理，不同选法数为：32530205CCA =92， 568， 000思考思考（先选后排）变式变式1：将例：将例1中选出来的中选出来的5名学生分别委任为班长、学委、文委、体委名学生分别委任为班长、学委、文委、体委这这4个职位，每个职位至少个职位，每个职位至少1人，共有人，共有多少种不同多少种不同的安排方法？的安排方法？分析：与例1不同的是：职位只有4个，即某一职位要安排两人。第二步： 将4组同学分配到4个职位，即全排列 ；解：第一步： 将5名同学分成4
3、组 (2人，1人，1人， 1人） ；由分步计数原理，不同安排方法数为：2454C A =240这是一个元素分配问题，且元素个数多于分配这是一个元素分配问题，且元素个数多于分配对象，解决这类问题一般对象，解决这类问题一般是：是：先分组后分配先分组后分配思考思考有无其他解法？算出的答案一致吗？有无其他解法？算出的答案一致吗？变式变式2：将将6个个优秀团员名额优秀团员名额分配到分配到1、2、3班班3个班级，各班至少个班级，各班至少1个个名额名额，共有，共有多少种不同分法？多少种不同分法？方法一：先分组后分配先分组后分配。先将6个名额分成3组，再把3组名额分给3个班级。有以下3类分组方式：2）、(1个
4、，2个，3个）1）、(1个，1个，4个）3）、(2个，2个，2个）由分类计数原理，不同分法总数是：1333C +A +1=3+6+1=10方法二：隔板法在6名优秀团员中间的5个位置中插入两个隔板，将名额分成三组，依次分给1、2、3班，共有不同分配方法：25C =1（0 种）同为元素分配问题，与变式1有何不同？例例2 2： 2 2名女生、名女生、4 4名男生排成一排，问：名男生排成一排，问：（1 1）两名女生相邻的不同排法共有多少种？）两名女生相邻的不同排法共有多少种？（2 2）两名女生不相邻的不同排法共有多少种）两名女生不相邻的不同排法共有多少种？解解（1）将）将2名女生名女生看作一个元素看作
5、一个元素，与，与4名男生共名男生共5个元素排列，不同排法共：个元素排列，不同排法共：2525A A =240种分析：因两女生不能分析：因两女生不能相邻，可将女生逐一插入男生之间。相邻，可将女生逐一插入男生之间。第一第一步：将步：将4 4名男生排成一排名男生排成一排；第二步：第二步：在在男生之间及两端男生之间及两端5 5个位置中选出个位置中选出2 2个位置排个位置排2 2名女生。名女生。捆绑法（2）分析：两分析：两名女生排法只有名女生排法只有相邻相邻与与不不相邻相邻 2 2种情况种情况，可由可由6 6人全人全排列排列数减去数减去女生相邻的排列女生相邻的排列数得，数得，66共有A -240=480
6、种排法。插空法插空法间接法间接法4245所 以 共 AA480种 排 法 。思考思考题题(2)有无其他解法？有无其他解法？例例2： 2名女生、名女生、4名男生排成一排，问：名男生排成一排，问：（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（3）方法）方法1；完成这件事情可以分两步，；完成这件事情可以分两步，第一步：选第一步：选2个位置排个位置排2名女生名女生 ；第二步：排第二步：排4名男生。名男生。（特殊需求的元素优先排好）44A26C由分步计数原理，不同排法总数是：2464C A =36066A720=3602
7、2方法方法2；女生甲在乙的左边或右边的排列数相同（等可能），所以女生甲在左；女生甲在乙的左边或右边的排列数相同（等可能），所以女生甲在左边的不同排法数是：边的不同排法数是：从从09这这10个整数中选出个整数中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于个不同的数字组成五位数，其中大于13000的的共有多少个？共有多少个？解：解：方法方法1：先分类后分步，特殊元素优先满足，：先分类后分步，特殊元素优先满足，43988A +7A =26544方法方法2：（间接法）由所有五位数减去不大于：（间接法）由所有五位数减去不大于13,000的五位数得的五位数得43989A -2A =26544万位是1，千位0或2
8、，个十百位由余下8个数中任选3个排列万位大于1万位是1，千位大于3巩固训练巩固训练4 4、对于较难直接解决的问题则可用、对于较难直接解决的问题则可用“间接法间接法” ” ；作业：课本28页 练习 第1 、2、3、5题计数应用题计数应用题种类繁多，我们在解题时要把握以下几方面：种类繁多，我们在解题时要把握以下几方面：1 1、解排列、组合综合题一般是、解排列、组合综合题一般是“先选元素后排列先选元素后排列”；5、特殊问题有特别的解题策略，如：、特殊问题有特别的解题策略，如：“捆绑法捆绑法”、“插空法插空法”、 “隔板法隔板法” 。课堂小结课堂小结3 3、排队问题中有、排队问题中有特殊需求特殊需求的元素，一般要的元素，一般要优先优先排好；排好； 2 2、元素分配问题中要注意：元素是否相同？事件是否与顺序有关？、元素分配问题中要注意：元素是否相同？事件是否与顺序有关？
14计数应用题(永益)
