412圆的一般方程

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1、复复 习：习： (1) 圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。列方程的问题一般采用圆的标准方程。

2、 (3) 注意圆的平面几何知识的运用。注意圆的平面几何知识的运用。4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程将圆的标准方程将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2展开，得展开，得可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：时，当04) 1 (22FED；为半径的圆为圆心、，方程表示以24)22(22FEDED时，当04)2(22FED；，方程表示一个点)22(ED，、方程只有实数解22EyDx时，当04) 3(22FED，方程没有实数解.因而它不表示任何图形结结 论：论： 任何一个圆的方程都可以写成：反过来，反过来，比较圆的标准方程和圆

3、的一般方程：比较圆的标准方程和圆的一般方程：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而圆的一般方程和而圆的一般方程和 比较突出了方比较突出了方程形式上的特点：程形式上的特点： （1） x2 和和 y2 的系数相同且不为的系数相同且不为0 ，即，即A=C0；（2）没有）没有 xy 这样的二次项，即这样的二次项，即B=0 .（1） x2 和和 y2 的系数相同且不为的系数相同且不为 0 ，即，即A=C0；（2）没有）没有 xy 这样的二次项，即这样的二次项，即B=0 .（3） D2 + E2 - 4AF 00)(4)()(322 AFAEAD

4、）（表示圆表示圆二元二次方程二元二次方程解：解： (1) 点点(0，0)(2)以以(1，-2)为圆心，为圆心， 为半径的圆为半径的圆1122ba 为半径的圆为半径的圆例例1.(3)当当 时，以时，以(-a，0)为圆心，为圆心，220ab当当 时，表示时，表示(0，0)点点00=ab 且且解：解：设过设过O、A、B的圆方程为的圆方程为 02024020FEDFEDF则则 680EDF过过O、A、B的圆方程为的圆方程为:例例2.判断判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1)四点四点是否共圆，若共圆，求出圆的半径和圆心坐标是否共圆，若共圆，求出圆的半径和圆心坐标.AB.CyxO

5、.将将C(7，1)代入方程：代入方程：成立成立. O、A、B、 C 四点共圆，四点共圆，.5)34(，半径，半径，圆心圆心 AB解解2：设过设过O、A、B的圆的方程为：的圆的方程为：222)()(rbyax 则由则由O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)都在圆上得，都在圆上得，222)0()0(rba 222)1()1(rba 222)2()4(rba 得得 534rba由由得：得：01 ba由由得：得：093 ba过过O、A、B圆方程为圆方程为例例2.判断判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1)四点四点是否共圆，若共圆，求出圆的半径和圆心坐标是否共圆，若共圆，求出圆

6、的半径和圆心坐标.将将C(7，1)代入方程：代入方程：成立成立. O、A、B、 C 四点共圆，四点共圆，.CyxO.5)34(，半径，半径，圆心圆心 解解3：过过O、A、B的圆方程为的圆方程为.5| OCr半径半径由已知得，线段由已知得，线段 OA、OB 的中点坐标分别为的中点坐标分别为，、，)12()2121(QP斜率为：斜率为：.21121 OMOMkk， 线段线段 OA、OB 中垂线方程分别为中垂线方程分别为)21(21 xy)2(21 xy解方程组得：解方程组得：.34 yx，圆心圆心)34( C.25)3()4(22 yx例例2.判断判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1)四点四点是否共圆，若共圆，求出圆的半径和圆心坐标是否共圆，若共圆，求出圆的半径和圆心坐标.AB.CyxO.C说明：说明：一般地，求圆的方程有两种方法：一般地，求圆的方程有两种方法：（1） 待定系数法：待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，即设出圆的标准方程或一般方程，利用条件求系数利用条件求系数 .（2） 几何分析法：几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解即利用平面几何中的有关性质求解 .作业作业1. 导学精练蓝皮导学精练蓝皮+活页活页4.1.22. 预习预习4.2.1