量子力学+周世勋全套课件

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1、目 录第一章第一章 量子力学的诞生量子力学的诞生 第二章第二章 波函数和波函数和 Schrodinger Schrodinger 方程方程 第三章第三章 一维定态问题一维定态问题 第四章第四章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 第五章第五章 态和力学量表象态和力学量表象 第六章第六章 近似方法近似方法 第七章第七章 量子跃迁量子跃迁 第八章第八章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子 附录附录 科学家传略科学家传略 NoImage第一章第一章 量子力学的诞生量子力学的诞生 1 1 经典物理学的困难经典物理学的困难 n2 2 量子论的诞生量子论的诞生 n3 3 实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象

2、性NoImage1 1 经典物理学的困难经典物理学的困难n( (一）经典物理学的成功一）经典物理学的成功 n1919世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面： n(1)(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论，学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论，取得有益的结果。取得有益的结果。18971897年汤姆森发现了电子，这个发现表明年汤姆森发现了电子，这个发现表

3、明电子的行为类似于一个牛顿粒子。电子的行为类似于一个牛顿粒子。 n(2)(2) 光的波动性在光的波动性在18031803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦克斯韦在克斯韦在18641864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。性置于更加坚实的基础之上。NoImage（二）经典物理学的困难（二）经典物理学的困难n但是这些信念，在进入但是这些信念，在进入2020世纪以后，世纪以后，受到了冲击。经典理论在解释一些新受到了冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。的试验结果上遇到了严重的困难。

4、 n （1 1）黑体辐射问题）黑体辐射问题 n （2 2）光电效应）光电效应 n （3 3）氢原子光谱）氢原子光谱黑体：能吸收射到其上的全部辐黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。称为绝对黑体，简称黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔发黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。出的辐射就称为黑体辐射。实验发现：实验发现： 辐射热平衡状态辐射热平衡状态: : 处于某一温度处于某一温度 T T 下的腔下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到吸收的辐射能量相等时，辐射达到热

5、平衡热平衡状态状态。热平衡时，空腔辐射的能量密度，热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度与黑体的绝对温度 T T 有关有关而与黑体的而与黑体的形状形状和和材料材料无关无关。能量密度能量密度 (104 cm)0510Wien 线线能量密度能量密度 (104 cm)0510NoImageNoImageWien Wien 公式在短波部分与实验还相符合，公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。长波部分则明显不一致。1. Wien 1. Wien 公式公式 从热力学出发加上一些从热力学出发加上一些特殊的假设，

6、得到一个特殊的假设，得到一个分布公式：分布公式： 1. Wien 1. Wien 公式公式 Wien 线线能量密度能量密度 (104 cm)0510Wien Wien 公式在短波部分与实验还相符合，公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。长波部分则明显不一致。NoImage （2 2）光电效应）光电效应n光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有两个突出的特点：两个突出的特点：1.1.临界频率临界频率v v0 0 只有当光的频率大于某一定值只有当光的频率大于某一

7、定值v v0 0 时，时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的这一频率这一频率v v0 0称为临界频率。称为临界频率。2.2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少。强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度而与频率无关。于光的强度而与频率无关

8、。NoImage（3 3）原子光谱，原子结构）原子光谱，原子结构n 氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。发现了的。18851885年瑞士年瑞士巴尔末巴尔末发现紫外光附近的发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：是是光光速速。常常数数是是氢氢的的其其中中CRydbergmRnnCRHH,1009677576.1,5 ,4 ,31211722 mnnmCRH 2211 这就是著名的这就是著名的巴尔末公式巴尔末公式（BalmerBalmer）。以后又发现了一）。以后又发现了一系列线系，它们都

9、可以用下面公式表示：系列线系，它们都可以用下面公式表示： NoImage人们自然会提出如下三个问题：人们自然会提出如下三个问题：n1.1.原子线状光谱产生的机制是什么？原子线状光谱产生的机制是什么？ n2.2.光谱线的频率为什么有这样简单的规律？光谱线的频率为什么有这样简单的规律？ n3.3.光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们思考：思考： 怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。氢氢原原子子光光谱谱 谱谱系系 m m n n 区区域域 L Ly ym m

10、a an n 1 1 2 2, ,3 3, ,4 4, ,. . . . . . . 远远紫紫外外 B Ba al lm me er r 2 2 3 3, ,4 4, ,5 5, ,. . . . . . . 可可见见 P Pa as sc ch he en n 3 3 4 4, ,5 5, ,6 6, ,. . . . . . . 红红外外 B Br ra ac ck ke et tt t 4 4 5 5, ,6 6, ,7 7, ,. . . . . . . 远远红红外外 P Pf fu un nd d 5 5 6 6, ,7 7, ,8 8, ,. . . . . . . 超超远远红红外

11、外 mnnmCRH 2211 NoImage从前，希腊人有一种思想认为：从前，希腊人有一种思想认为： 自然之美要由整数来表示。例如：自然之美要由整数来表示。例如： 奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。n这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子根据经典电动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越小，因此绕原子

12、核运动的电子，终究会因大量能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失能量而损失能量而“掉到掉到”原子核中去，原子就原子核中去，原子就“崩溃崩溃”了，但是，了，但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。 n总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学量子力学

13、就在就在这场物理学的危机中诞生这场物理学的危机中诞生。NoImage2 2 量子论的诞生量子论的诞生 n（一）（一）Planck Planck 黑体辐射定律黑体辐射定律 n（二）光量子的概念和光电效应理论（二）光量子的概念和光电效应理论 n（四）波尔（四）波尔（BohrBohr）的量子论的量子论 n（三）（三）Compton Compton 散射散射 光的粒子性的进一步证实光的粒子性的进一步证实 NoImage2 2 量子论的诞生量子论的诞生 n（一）（一）Planck Planck 黑体辐射定律黑体辐射定律 n（二）光量子的概念和光电效应理论（二）光量子的概念和光电效应理论 n（四）波尔（四

14、）波尔（BohrBohr）的量子论的量子论 n（三）（三）Compton Compton 散射散射 光的粒子性的进一步证实光的粒子性的进一步证实 NoImage（一）（一）Planck Planck 黑体辐射定律黑体辐射定律n究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了量子物理学的诞生。究导致了量子物理学的诞生。 19001900年月日年月日PlanckPlanck 提出：提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子于平衡，

15、那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，子的模型，Planck Planck 假定：假定：NoImage该式称为该式称为 Planck Planck 辐射定律辐射定律Planck 线线能量密度能量密度 (104 cm)0510（1 1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v v 振荡；振荡；（2 2）黑体只能以）黑体只能以 E = hv E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量， 而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

16、而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。NoImage对对 Planck 辐射定律辐射定律的的三点讨论：三点讨论：（1 1）当）当 v v 很大（短波）时，因为很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 exp(hv /kT)exp(hv /kT)-1 exp(hv /kT)，于是于是Planck Planck 定律定律 化为化为 Wien Wien 公式。公式。 dkThChd 1)/exp(1833 dkThChd)/exp(833 dTCCdWien)/exp(231 公公式式（2 2）当）当 v v 很小（长波）时，因为很小（长波）时，因为 exp(hvexp(

17、hv /kT)-1 1+(h v /kT)-1=(h v / /kT)-1 1+(h v /kT)-1=(h v /kTkT) )， 则则 Planck Planck 定律变为定律变为 Rayleigh-Jeans Rayleigh-Jeans 公式。公式。 dkThChd 1)/exp(1833 kTdCdhkTChd233388 dkTCdJeansRayleigh238 公公式式 dkThChd 1)/exp(1833NoImage对对 Planck 辐射定律辐射定律的的三点讨论：三点讨论：（1 1）当）当 v v 很大（短波）时，因为很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 e

18、xp(hv /kT)exp(hv /kT)-1 exp(hv /kT)，于是于是Planck Planck 定律定律 化为化为 Wien Wien 公式。公式。 dkThChd 1)/exp(1833 dkThChd)/exp(833 dTCCdWien)/exp(231 公公式式（2 2）当）当 v v 很小（长波）时，因为很小（长波）时，因为 exp(hvexp(hv /kT)-1 1+(h v /kT)-1=(h v / /kT)-1 1+(h v /kT)-1=(h v /kTkT) )， 则则 Planck Planck 定律变为定律变为 Rayleigh-Jeans Rayleig

19、h-Jeans 公式。公式。 dkThChd 1)/exp(1833 kTdCdhkTChd233388 dkTCdJeansRayleigh238 公公式式 dkThChd 1)/exp(1833NoImage（二）光量子的概念（二）光量子的概念和光电效应理论和光电效应理论n（1 1）光子概念光子概念 n（2 2）光电效应理论光电效应理论 n（3 3）光子的动量光子的动量NoImage(1) 光子概念光子概念n第一个肯定光具有微粒性的是第一个肯定光具有微粒性的是 EinsteinEinstein，他认他认为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根根据他的

20、理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量量 hh的微粒形式出现，而且以这种形式在空间的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速以光速 C C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。传播，这种粒子叫做光量子，或光子。 由相对论光的动量和能量关系由相对论光的动量和能量关系 p = E/C = p = E/C = hvhv/C = h/C = h/提出了光子动量提出了光子动量 p p 与辐射波长与辐射波长（=C/v=C/v）的关系。的关系。NoImage（2） 光电效应理论光电效应理论用光子的概念，用光子的概念，Einstein Einstein 成功地解释了光电

21、效应的规律。成功地解释了光电效应的规律。当光照射到金属表面时，能量为当光照射到金属表面时，能量为 hh的光子被电子所吸的光子被电子所吸收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。其能量关系可写为：其能量关系可写为：AhV 221从上式不难解释光电效应的两个典型特点：从上式不难解释光电效应的两个典型特点：NoImage光电效应的两个典型特点的解释光电效应的两个典型特点的解释1. 1. 临界频率临界频率v v0 02. 2. 光电子动能只决定于光光电子

22、动能只决定于光子的频率子的频率 由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子 V = 0V = 0 时由该时由该式所决定，即式所决定，即 hv -A = 0hv -A = 0， v v0 0 = A / h = A / h ， 可见，当可见，当 v v ；2 2 波长增量波长增量 = = 随散射角增大而增大。这一现象随散射角增大而增大。这一现象称为称为 Compton Compton 效应。效应。nX-X-射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下 2 2

23、个特点：个特点：NoImage（2）定性解释定性解释n根据光量子理论，具有能量根据光量子理论，具有能量 E = h E = h 的光子与电子碰撞后，的光子与电子碰撞后，光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为 E= hE= h 显然有显然有 E EE E, , 从而有从而有 ）且随散射角且随散射角增大而增大。增大而增大。NoImage（3）证证 明明根据能量和动量守恒定律：根据能量和动量守恒定律： vmkkcmmc202 kccc 22代入代入得：得：20)()(cmmkkc 两边平方：两边平方：)1()()2(220222cmmkkkk 两边平方两边平

24、方)2()()cos2(2222mvkkkk （2）式）式（1）式）式得：得：2020222)2()()cos1(2cmmmmmvkk 20220222222)(2sin4cmmcmcvmkk k k mv20220222222)(2sin4cmmcmcvmkk 2201cvmm 202202222202)(1cmmcmcvcvm 2022022222202)()(cmmcmcvcvcm 200)(2cmmm 202cmmc )(20 mkc )(20kkcm 所以所以)(2sin202kkkkcm )11(0kkcm )(0 cm cm0 2 20cm最后得：最后得：2sin22sin222

25、020 cm波波长长电电子子其其中中Comptoncmcm1000104 . 22 NoImage（四）波尔（四）波尔（BohrBohr）的量子论）的量子论nPlanck-EinsteinPlanck-Einstein 光量子概念必然会促进物理学其他重大光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问题的解决。疑难问题的解决。19131913年年 BohrBohr 把这种概念运用到原子结把这种概念运用到原子结构问题上，提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量构问题上，提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾起过子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾

26、起过重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来正确的，在量子力学中保留了下来 n（1 1）波尔假定）波尔假定 n（2 2）氢原子线光谱的解释）氢原子线光谱的解释 n（3 3）量子化条件的推广）量子化条件的推广 n（4 4）波尔量子论的局限性）波尔量子论的局限性NoImage（1）波尔假定）波尔假定nBohr Bohr 在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，可在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，可以认为是对大量实验事实的概括。以认为是对大量实验事实的概括。1.1.原子具有能量不连续原子具有能量不连续的定

27、态的概念。的定态的概念。 2.2.量子跃迁的概念量子跃迁的概念. . 原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量 E E1 1,E,E2 2,., E,., En n 的状态。为了具体确定这些能的状态。为了具体确定这些能量数值，量数值，BohrBohr提出了量子化条件：提出了量子化条件：原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级 E En n 跃迁到另一个较低（高）的能级跃迁到另一个较低（高）的能级 E Em m ，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：，同时将发射（吸收）一

28、个光子。光子的频率为： 而处于基态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着而处于基态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着3,2, 1 nnLL其其中中的的整整数数倍倍，即即取取只只能能电电子子的的角角动动量量频频率率条条件件 hEEmnmn NoImage（2）氢原子线光谱的解释）氢原子线光谱的解释n根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。的线光谱。假设氢原子中假设氢原子中的电子绕核作的电子绕核作圆周运动圆周运动 +Fc vre222rervFc )1(22rev vrprL |角角动动量量由量子由量子化条件化条件n 222)(nv

29、r )2(22222222enrnrer 轨轨道道半半径径第第一一 Bohrern2201 NoImage电子的能量电子的能量revVTE2221 hEEmn 与氢原子线光谱与氢原子线光谱的经验公式比较的经验公式比较)1(22rev rerere221222 )2(222enr nEne 2242 ,3,2,1 n根据根据 Bohr Bohr 量子跃迁的量子跃迁的概念概念2221224224mene 1142234nme 1122expnmcRH 得得 Rydberg Rydberg 常数常数ceRH344 与实验完全一致与实验完全一致NoImage（3）量子化条件的推广）量子化条件的推广nh

30、ndnLd 2是是相相应应的的广广义义坐坐标标。是是广广义义动动量量，其其中中iiiiiqphndqp 由理论力学知，若将角动量由理论力学知，若将角动量 L L 选为广义动量，则选为广义动量，则为广义坐标。为广义坐标。考虑积分并利用考虑积分并利用 Bohr Bohr 提出的量子化条件，有提出的量子化条件，有索末菲索末菲将将 BohrBohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，自由度情况，这样这样索末菲量子化条件索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（一个电子（LiLi，NaNa，

31、K K 等）的一些原子光谱也能很好的解释。等）的一些原子光谱也能很好的解释。NoImage（4）波尔量子论的局限性波尔量子论的局限性n1. 1. 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；原子的光谱； n2. 2. 不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； n3. Bohr 3. Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；题，如散射问题； n4. 4. 从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其

32、物理本质还不清楚。容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。 波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识的问题也逐渐为人们所认识 NoImage3 3 实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性n（一）（一）L LDe Broglie De Broglie 关系关系 n（二）（二）de Broglie de Broglie 波波 n（三）驻波条件（三）驻波条件 n（四）（四）de Broglie de Broglie 波的实验验证波的实验验证NoImage（

33、一）LDe Broglie 关系 E = h E = h = E/h = E/h P = h/ P = h/ = h/p = h/p 该关系称为该关系称为de. Brogliede. Broglie关系。关系。根据根据Planck-Einstein Planck-Einstein 光量子论，光具有波动粒子二重性，光量子论，光具有波动粒子二重性， 以及以及BohrBohr量子论，启发了量子论，启发了de. Brogliede. Broglie，他，他 （1 1）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史；）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史； （2 2）注意到了几何光学与经典力学的相似性，）注意到了

34、几何光学与经典力学的相似性，提出了实物粒子提出了实物粒子（静质量（静质量 m m 不等于不等于 0 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子和光一样也具有波动子和光一样也具有波动- -粒子二重性，二方面必有类似的关系相粒子二重性，二方面必有类似的关系相联系。联系。NoImage（一）LDe Broglie 关系 E = h E = h = E/h = E/h P = h/ P = h/ = h/p = h/p 该关系称为该关系称为de. Brogliede. Broglie关系。关系。根据根据Planck-Einstein Planck-Einstein 光量

35、子论，光具有波动粒子二重性，光量子论，光具有波动粒子二重性， 以及以及BohrBohr量子论，启发了量子论，启发了de. Brogliede. Broglie，他，他 （1 1）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史；）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史； （2 2）注意到了几何光学与经典力学的相似性，）注意到了几何光学与经典力学的相似性，提出了实物粒子提出了实物粒子（静质量（静质量 m m 不等于不等于 0 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子和光一样也具有波动子和光一样也具有波动- -粒子二重性，二方面必有类似的关系相粒子二重性，二方面必有类似的关系相

36、联系。联系。NoImage（二）（二）de Broglie 波波。，其其中中nktrkA 22cos )(exptrkiA 因为自由粒子的能量因为自由粒子的能量 E E 和动量和动量 p p 都是常量，所以由都是常量，所以由de Broglie de Broglie 关系可关系可知，与自由粒子联系的波的频率知，与自由粒子联系的波的频率和波矢和波矢k k（或波长（或波长）都不变，即是一）都不变，即是一个单色平面波。由力学可知，频率为个单色平面波。由力学可知，频率为，波长为，波长为，沿单位矢量，沿单位矢量 n n 方向方向传播的平面波可表为：传播的平面波可表为：写成复数形式写成复数形式这种波就是与

37、自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式的波称为波，这种写成复数形式的波称为 de Broglie de Broglie 波波de Broglie de Broglie 关系：关系： = E/h = E/h = = 2 = = 2 E/h = E/E/ = h/p = h/p k = 1/ k = 1/ = 2 / = p/p/ )(expEtrpiANoImage（三）驻波条件（三）驻波条件,3 ,2 , 12 nnr hp 为了克服为了克服 Bohr Bohr 理论带有人为性质的缺陷，理论带有人

38、为性质的缺陷， de Brogliede Broglie 把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。例如：例如：氢原子中作稳定圆氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波周运动的电子相应的驻波示意图示意图要求圆周长是要求圆周长是波长的整数倍波长的整数倍于是角动量：于是角动量：,3,2,1 nnrpLde Broglie de Broglie 关系关系rnrnhnrh 22r代代入入NoImageNoImagede Broglie de Brogl

39、ie 波在波在19241924年提出后，在年提出后，在1927-19281927-1928年由年由 Davisson Davisson 和和GermerGermer 以及以及 G.P.ThomsonG.P.Thomson 的电子衍射实验所证实。的电子衍射实验所证实。法拉第法拉第园园 筒筒入射电子注入射电子注镍单晶镍单晶 dNoImage衍射最大值公式衍射最大值公式NoImage作作 业业 周世勋周世勋量子力学教程量子力学教程： 1.2 、 1.4 曾谨言曾谨言量子力学导论量子力学导论： 1.1、1.3第二章第二章 波函数波函数和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程l1

40、1 波函数的统计解释波函数的统计解释 l2 2 态叠加原理态叠加原理 l3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 l4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程 l5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 l6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释（一）波函数（一）波函数 （二）波函数的解释（二）波函数的解释 （三）波函数的性质（三）波函数的性质 )(expEtrpiA 3 3个问题？个问题？ 描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波),(tr 如果粒子处于如果

41、粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。称为称为 dedeBroglie Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。(1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3

42、) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数（一）波函数电子源电子源感感光光屏屏（1 1）两种错误的看法）两种错误的看法1. 1. 波由粒子组成波由粒子组成如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在

43、空间聚集在一起时才有的现象，集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。了粒子的波动性的一面，具有片面性。PPOQQO事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。些量子现象。2. 2. 粒子由波组成粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空

44、间中连。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个

45、空间，这是没有意义的，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。 l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小其广延不会超过原子大小1 1 。 l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ “ 电子既不是粒电子既不是粒子也不是波子也不是波 ” ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们但是我们也可以说，也可以说，“ “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统

46、一一。” ” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射

47、图样入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; ;电子源电子源感感光光屏屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验2.2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，Born B

48、orn 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几点附近的几率。率。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一动的一 种统计规律性，波函数种统计规律性，波函数 (r) (r)有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。 这就是首先由这就是首先由 B

49、ornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是，它是量子量子力学的力学的 基本原理基本原理。假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) (r) 描述，与光学相似，描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意义与经典波不同。描述，但意义与经典波不同。| (r)| (r)|2 2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近几率的大小，点附近几率的大小， 确切的说，确切的说， | (r)| (r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元x y x y zz中中找到粒子的几

50、率。波函数在空间某点的强度（振幅找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，（三）波函数的性质（三）波函数的性质在在 t t 时刻，时刻， r r 点，点，d = dx dy dz d = dx dy dz 体积内，找到体积内，找到由波函数由波函数 (r,t) (r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是： ld W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d， 其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根

51、据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度在在 t t 时刻时刻 r r 点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密度。在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) = W(t) = V V dW = dW = V V( r, t ) d= C( r, t ) d= CV V | (r,t)| | (r,t)|

52、2 2 d d（2 2）平方可积平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。若若 | (r , t)| | (r

53、, t)|2 2 d d , , 则则 C C 0 0, , 这是没有意义的。这是没有意义的。 )(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。题，以后再予以讨论。 （3 3）归一化波函数）归一化波函数这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），则相应的波动能量将为原来的倍），则相应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。态。经典波无

54、归一化问题。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C C 是常数。是常数。 因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒处找到粒子的相对几率之比是：子的相对几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大

55、小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一状态描述同一状态221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一几率波，描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。所以波函数有一常数因子不定性。归一化常数l若若 (r , t ) (r , t ) 没有归一化，没有归一化， | (r , t )| (r , t )|2 2

56、d= A d= A （A A 是大于零的常数），则有是大于零的常数），则有 l | |(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )| |2 2 d= 1 d= 1 也就是说，也就是说，(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )是归一化的波函数，是归一化的波函数， 与与 (r , t ) (r , t )描描写同一几率波，写同一几率波， (A)(A)-1/2 -1/2 称为归一化因子称为归一化因子。 l注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为一的因子不定性。 若若 (r , t ) (r , t )是是归一化波函数，

57、那末，归一化波函数，那末， expiexpi (r , t ) (r , t ) 也是归一化波函也是归一化波函数（其中数（其中是实数），与前者描述同一几率波。是实数），与前者描述同一几率波。（4 4）平面波归一化）平面波归一化I Dirac 函数函数 定义：定义： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：)(0021)(xxi

58、kedkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 则则xxxpidpexxx)(0021)( 性质：性质：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)( ，则则，作作代代换换：（4 4）平面波归一化）平面波归一化I Dirac 函数函数 定义：定义： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有

59、：）有：)()()(00 xfdxxxxf 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 则则xxxpidpexxx)(0021)( 性质：性质：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)( ，则则，作作代代换换：II II 平面波平面波 归一化归一化EtipEtrpiperAetr )(),(写成分量形式写成分量形式321)()

60、()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 时的平面波时的平面波)(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx 考虑一维积分考虑一维积分dxxxexxxxpptEEi)()(* dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(* )(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，则，则 A A1 1= 2= 2 -1/2-1/2, , 于是于是xpipxxex 21)( )(xxpp 平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数)(xxpp dxtxtxxxpp),(),(

61、* )(xxpp dxeAxppixx21 dxeppxppixxxx)(21)( )()()()(000 xxxfxxxf 三维情况：三维情况：EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(* )()()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率依然只是表示平面波所描写

62、的状态在空间各点找到粒子的几率相同。相同。作作 业业 补补 充充 题题波波函函数数是是否否等等价价？两两种种情情况况，得得到到的的两两个个取取、对对是是否否等等价价？和和、波波函函数数请请问问：已已知知下下列列两两个个波波函函数数：2)()()(, 3 ,2, 1|0|)(2sin)(, 3 ,2, 1|0|)(2sin)()2(12121 nxIIxxInaxaxaxanAxnaxaxaxanAx .)24(,3,)1 (/26/ )2(5/24/33/22/211xixixixixixieieeeee 描描写写同同一一状状态态？些些与与请请问问下下列列波波函函数数中中，哪哪2 2 态叠加态

63、叠加原理 （一）（一）态叠加原理态叠加原理 l（二）（二）动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波函数（一）态叠加原理l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于涉和衍射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同因此，同光学中波的叠加原理一样，光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在量子力学中也存在波叠加原理波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所决定体系的状态，称波函数为状态波函

64、数，所以量子力学的波叠加原理称为以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理态叠加原理。考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。 l空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是： l|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 l = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) l = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + C + C1 1*

65、*C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹。射花纹。一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状两种可能的状态，态， 是这两种状是这两种状态的叠加。态的叠加。其中其中C C1 1 和和 C C2 2 是复常数，这就是量子力是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。学的态叠加原理。态叠加原理一

66、般表述：态叠加原理一般表述： 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是体系的一系列可能的状态是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加，则这些态的线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n + .+ . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,.,.为复常数为复常数) )。 也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。 处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2态态.，部，部分的处于分的处于n n，.一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一个可能状态也是该体系的一个可能状态.例：例： )(expEtrpiAp了了求求和和。所所以以后后式式应应用用积积分分代代替替是是连连续续变变化化的的，由由于于其其中中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp ),()(),(),()(),(电子在晶体表面反射后，电子可电子在晶体表