1-4章习题解答

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1、概率论与数理统计（修订本1989年）袁荫棠编中国人民大学出版社14章习题解答习题一1解： (1) 互不相容 （2）对立 （3）互不相容 （4）相容 （5）互不相容 （6）对立2解： 样本点为： （x,y）,A=(x,y) x+y=3,5,9,11, B=(x,y) x=y,x=1,2,3,4,5,6 ,C=(x,y) xy=, 120, C=(x,y) xy=24,25,30,36 , B-A=(x,y) x=y,x=1,2,3,4,5,6BC=(x,y) x=y,x=1,2,3,4B+C=(x,y) x=y或xy20=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,6),(5,5),(

2、5,6),(6,4),(6,5),(6,6)3 解：4解：(1) (A+B)(B+C)=AB+AC+B+BCAB+BCB(A+B)(B+C)=B+AC5F解： （1）中文数学非平装书 （2）所有非平装书都是中文图书 （3）是6解：P（A）=86880/100000=0.8688,P(B)=0.80521, P(C)=0.677877F解：这批产品合格率为： P=68/（5+68+7）=0.859F解：若一个门：w若二个门：10解11F解：记次品数分别为0、1、2、3的概率分别为12解：13解14F解：前面两个邮筒没有信，则后面两个应为2个中取2个的重复排列w概率为w第一个邮筒只有一封信：15解

3、w合格率为：0.8+0.16=0.9616解17w解：由11题的结果得次品数不超过1个的概率为：P0+P1=0.8559+0.14=0.995918192021解解：类似于例4（P16）22F解：设A、B、C分别为同一种零件被三个机床分别加工的这一事件，D表示合格品。则P(A)=0.5，P(B)=0.3，P（C）=0.2而相应各机床加工的零件为合格品的概率分别为：P(D/A)=0.94，P(D/B)=0.9，P(D/C)=0.95由全概率公式：(A、B、C为完备组)P(D)=P(A) P(D/A)+P(B)P(D/B)+P(C)P(D/C)=0.50.94+0.30.9+0.20.95=0.9

4、323解24解：（1）设A=取得一个为废品，B1= 取得一箱为甲厂，B2=取得一箱为乙厂 。则A只能与B1，B2之一同时发生才发生。又因为：P（A/B1)=0.06,P(A/B2)=0.05,P(B1)=30/50=3/5,P(B2)=20/50=2/5,故由全概率公式：P（A）=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)=0.056.(2) 记所求的概率为P（A），总样本点为：30100+12020=5400个，甲的个数为30100，废品率为301000.06=180,同理乙个数为12020,废品率为120.P(A)=C1300/C15400=300/5400=0.0555, 法二

5、用概率公式求:P（A）=3000/54000.06+2400/54000.05=0.05625解：设A、B分别表示加工A、B零件的事件P(A)=1/3,P(B)=2/3 设C为这个机床停机的时间 则 P(C/A)=0.3, P(C/B)=0.4P(C)=P(A)P(C/A)+P(B)P(C/B)=1/30.3+2/30.4=0.366626.26解：A表示为甲制造，B表示为乙制造，则有：P（A)=1/3,P(B)=2/3.w设C为废品，则所求的概率为：27.27解：设由甲袋中任取一球放入乙袋中时，取白球记为B1，黑球记为B2，而从乙袋中取取出得到白球的事件记为A， 则：28w解：B1、B2、A

6、均同27，而P(A)=5/12P(B1)=(P(A)-P(B2)P(A/B2)/P(A/B1)=(5/12-1/31/4)/2/4=2/3P(B2)=(P(A)-P(B1)P(A/B1)/P(A/B2)=(5/12-2/31/2)/1/4=1/3P(B1)P(B2)， 白球可能性大，29解：Hi=取第i箱，i=1、2、3，故P(Hi)=1/3，30.30w解：设B1、B2分别表示发报台发出信号“”及“” ，A1、A2，分别表示收报台收到信号“”及“” 则有：P(B1)=0.6,P(B2)=0.4, P(A1/B1)=0.8,P(A2/B1)=0.2, P(A1/B2)=0.1, P(A2/B2

7、)=0.9w(1)所求概率为31w解：设A、B分别为甲、乙中靶的事件,则P(A)=0.8，P(B)=0.7A、B相互独立,A与B，A与B也独立，故：(1)二人都中靶，P(AB)=P(A)P(B)=0.56(2)P(A)=P(A)P()=0.80.3=0.24(3)P(B)=P()P(B)=0.20.7=0.1432w解：设A为接通总机，B为接通分机。P(AB)=P(A)P(B)=0.6(1-0.3)=0.4233w解：P=0.90.950.8=0.68434.G解：设A为雷达部分失灵 B为计算机部分失灵， 报警器失灵意味着A发生或B发生wP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)

8、+P(B)-P(A) P(B)=0.1+0.3-0.10.3=0.37w不失灵即：1-P(A+B)=0.6335.w解：设A表示一级品，设A1、A2、A3分别表示第一工艺三道工序合格品，B1、B2分别表示第二工艺二道工序合格品，则第一工艺的合格品概率为：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) =0.90.80.7=0.504F第一工艺的一级品概率为：P(A)=P(A1A2A3)P(A/A1A2A3) =0.5040.9=0.4536F同理第二工艺：P(A)=P(B1B2)P(A/B1B2) =0.720.8=0.392w第一种工艺一级品概率较大36.F解：设A、B、C分别为三个人能

9、破除密码事件，此密码能被破译事件为A+B+C。w法一：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) -P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C) -P(B)P(C )+P(A)P(B)P(C )=1/5+1/3+1/4-1/51/3-1/51/4-1/31/4+1/51/31/4=36/60=0.637.w解：设A为灯泡不坏的事件，则最多只有一个坏的概率为：38.解：39解：设每个等级的产品数量为a，共3a个产品。Ai分别代表优、良、中三个等级，则P（Ai）=Ca1/C3a1=1/3,40w解：在一小时内，每名售货员平均

10、占用秤的概率为：15/60=1/4=0.25=p, 现有四名售货员，若配备一台秤，则使用的概率为：若有二台秤，则使用的概率为：一般地配备秤能达到使用率95%以上即可，不必配备到100%，故只须二台。习题二习题二11解：用“=0”表示出现正面， “=1”表示出现反面，则概率函数为：P(=i)=1/2，i=0.1分布函数为：2解：的分布律为(设P(=0)=p)01Pp2pp+2p=1 p=1/3分布函数为34解：设二级品个数为L个,则一级品个数,三级品个数分别为2L,1/2L,总产品为7/2L个,设抽到一,二,三级品随机数为1,2,3, 即=1,2,3,则5解：设“=i”为取得i个次品P(=0)=

11、0.282 P(=1)=0.469P(=2)=0.216 P(=3)=0.031，P(=4)=0.00166解：设为抽取次数，假定每次抽取都放回,78解：设两次调整之间生产的合格品数为，则=0表示调整后生产的第一个产品是废品，P（=0）=p. =1表示调整后生产的第一个产品是合格品，而第二个是废品，P（=1）=pq. (q=1-p)=2表示调整后生产的第一、二个产品是合格品，而第三个是废品，P（=2）=pq2.依此类推，合格品数的分布律为：P（=m）=pqm=p(1-p)m, m=0,1,2,99解：由题意得：（2）第9题随机变量的分布函数：-1012P0.210.330.270.191112

12、13则一个电子管使用了150小时不需要更换的概率为：P(x150)=1-P(x150)=1-F（150)=1-(1-100/150)=2/3,三个电子管使用了150小时不需要更换的概率为：(2/3)3=8/27.14P（0.345)=1-P(45)=0.001进货40件够卖的概率为：P(40)=0.00633.1/32/30P432 +例如：P（+=3）=P（=1,=2）+P(=2,=1)34. 解，=-15/32-1-1/30-2-4/3-1005/12001/61/31/120P(2,1)(2,1/3)(2,0)(0,1)(0,1/3)(0,0)(-1,1)(-1,1/3)(-1,0)(,

13、)5/12001/6001/121/3P25/310-1/3-1-4/3-2353435解：由P1+P2+P3=1a+a/2+a/3=1a=6/11.由b+b/4+b/9=1b=36/49.由与的独立性P（=k, =-k) =P(=k)P(=-k)C=1/5398c12c24c-318c27c54c-272c108c216c-1321 设：=+，则有：72c126c251c66c24cP210-1-2例如：P（=0）=P(=1, =-1)+ P(=2, =-2)+ P(=3, =-3)=251/539=251c,P（=1)=P(=2, =-1)+ P(=3, =-2)=126/539=126c

14、,其它同理。36 解：法一：法二. =3+137习题三1解：的分布函数为：P（=0）=1/3, P(=1)=2/3,E=1/30+2/31=2/322解：法一：用长与宽的期望计算E（2+2)E(2+2)=2E+2E=2(290.3+300.5+310.2)+2(190.3+200.4+210.3)=99.8法二：设=2+2,用周长的分布律来计算。0.060.230.350.270.09P10410210098963解：(1) ER=100.1+110.4+120.3+130.2=11.6 (2) 2为常数 E(2R)=2ER (3) 不能用(ER)2来计算面积的期望值E(R2) 这是因为E(R

15、2)=ER2(ER)(ER)E(R2)=ER2=(1020.1+1120.4+1220.3+1320.2)=135.44 .45解：(x)=Ae-x，积分求得：A=1/2 (x)=1/2e-x666解：（用组中值） （1）平均数=（90+50+150+110+150)/15=91.33 (2) E=(105+3011+5016+7025+90 34+110 46+130 33+150 16+170 2)/188=96.177.解：对于甲设其产量取值为(组中值),对于乙取值为 (组中值)则 = 4500 4800 5100 5400 甲的p 0.12 0.38 0.4 0.1 乙的p 0.23

16、0.24 0.3 0.23E=45000.12+48000.38+51000.4+54000.1=4944 E=45000.23+48000.24+51000.3+54000.23=49598.解：设一个螺钉的重量为,由于各螺钉的重量之间是相互独立的,100个螺钉的重量的期望值为10010=1000克其方差为D（100)=1002D=1002克其标准差为：100g9.解：设次品数为：即的分布律为：0.00010.00030.0060.070.3390.584p543210FE=0.4987，（方差: D=E2-(E)2E=0.4987,D=E2-(E)2=0.68032-(0.4987)2=0

17、.43210.11.解：每月份人的生日概率为1/12，设为人数，则123P12.13.14.解：由习题二第33题的结果经计算得：1/32/30P432 +E(+)=20+32/3+41/3=10/3D(+)=E(+)2-E(+)2=40+92/3+161/3-(10/3)2=2/915.15.解：由习题二第34题的结果经计算得：5/1221/61/121/3P0-4/3-2 -16.F解：可以计算，其方法为：D（）=E()2-(E()2 =E22-(E)2(E)2=E2E2-(E)2(E)217.17.证明：离散型：18.解：事件在一次试验中有发生与不发生两种情况，其概率均为1/2，设为发生次

18、数，记=0为事件不发生，=1为事件发生。则有：E=1/2，D=E2-(E)2=1/2-1/4=1/419.解：E(-c)2-(E-c)2= E(2-2+c2)-(E)2-2Ec+c2=E2-(E)2=D20.21.20.21.解：，的分布律为：12P1/32/312P1/32/3E=5/3，E=5/3。协方差：cov(, )=E(-E)(-E)=E(-E-E+EE)1/31/321/30121 =E()-EE-EE+EE=E-EE1/32/30P42142211/31/31/30P(2,2)(2,1)(1,2)(1,1)(, )E=8/3,Cov(,)=8/3-(5/3)2=-1/922.1/

19、31/127/12P11/305/121/65/12P20-122.E=5/12, E=13/36, D=275/144, D=825/3888.COV(,)=E-EE007/121/121/3P22/30-1/3-123.解：同22题。,分布律为：-101P3/81/43/8 -101P3/81/43/8E=0，E=0，而的分布律为：-101P1/41/21/4E=0，c o v(,)=E(-E)(-E) =E-EE=0=0. 又P（=0, =0）=0P(=0) p(=0)=1/16与不独立。 习题四1解：这是一个贝努里试验，p=0.7命中3炮概率为：P（=3)=C310p3(1-p)10-

20、3=0.009.至少命中3炮概率为：P（3）=1-P（04)=1-p(4)=1-p(=0)- p(=1)- p(=2)- p(=3)- p(=4)=0.001411 平均价值=10( p(=0)+ p(=1)+8(p(=2)+p(=3)+ (=4)=9.6061819.20查表得：0(0)=0.5，0(0)=0.3989，P(=0)=023.解：P(0)=0.5，由P95得：P(3)=20(3)-1=2X0.99865-1=0.9973P(03)=1-P(3)=1-0(3)=1-0.99865=0.00135P(-113)=1-P(13)=1-P(-10)/23/2=1-0(3/2)=0.0668P-102=P-10/21=20(1)-1=0.682626.26解：P-10c=P-10/2c/2=20(C/2)-1=0.9528293038