逢山开路模型.

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1、逢山开路模型小组成员：李莉朱国斌景建岗摘要：在本问题的求解中，修桥和挖隧道是两个相类似的求解过程，我们将求解过程分为两个部分：第一、对河岸边一固定点P ，将桥修在 P 处时，求解由起始点O到经固定点 P到居民点 R 的最短路线。第二、如何确定P 的位置，使得总路线的费用最小。我们分别用了两个模型来进行这两部分内容的求解。模型一、 针对坡度的限制， 利用小区域内的局部最优来达到全局最优。模型二、列出点P 有一定的位移时，可以减少的费用Q 的函数方程，然后利用河岸附近等高线较紧密，公路不能沿偏离等高线方向前进的特性，求出减少的费用 Q的条件极值，从而确定最佳修桥地点P0 。最后，我们利用模型一、二

2、的原理对隧道部分的公路做了同样的优化设计，然后得出总的修路费用估计为324 万元，较合理。最后，我们对整个做法的误差及合理性做了分析。一、 问题的提出要在山区修建公路，首先测得该地区的一系列的点的高程，数据显示：在Y=3200 处有一条东西走向的山峰；从坐标 (2400,2400)到 (4800,0)有一西北东南走向的山谷；在 (2000,2800)附近有一山口湖，其最高水位略高于1350m ，雨季在山谷形成一溪流，经调查知，雨量最大时溪流的水面宽度W 于（溪流最深处） X 坐标的关系可近似表示为： W(x)=( x-2400 )435,2400x 40002路段工程成本及路段坡度的限制已知。

3、要解决以下问题：（1）如何安排公路的设计路线，使得从山脚的(0,800) 处开始，经居民点 (4000,2000) 至矿区(2000,4000) 的总成本最低。（2）如果居民点改为 3600x4000 ，2000 y2400的居民区，而公路只1需经过居民区即可，设计方案应如何变动？二、 问题的假设1、认为地貌基本上是平稳变化的，即不存在悬崖、 断层、地堑等地形；2、不计岩石、地层等建筑因素，认为任何一处的地面由于修建公路的没有差别；3、不计修路过程中的交通费用，成本只与路面的长度有关；4、修桥和挖隧道时，不存在人任何技术问题，从任何一点均可以打通隧道，在任何一点都可以搭起桥梁；5、修路时，不计

4、路面的宽度，不计横向坡度对路面的影响；6、在问题的分析中，我们需要对已知的数据做插值计算，建议采用三次样条插值，因为三次样条插值可以保证路面基本光滑。但是三次样条插值的运算量十分大。而且本题中的数据量比较大，所以我们在解决问题时可以采用线性插值法来进行插值， 关于线性插值法的优缺点我们在最后的误差分析中在进一步讨论。三、 问题的分析首先我们由已知的高程画出该地区等高线示意图和地貌图， （见图一和图二），图中 X 轴和 Y 轴的一个单位代表 400m 。图一：等高线分布图2图二：地貌图在这个问题中最主要的问题就是确定桥梁和隧道的位置。 由于，桥梁和隧道的修建费用远远高于普通道路的修建费用， 所以

5、我们要尽量减少桥梁和隧道的长度。我们采用逐步细化的方法。 我们首先来设计从起始点到居民点的路线。为了减少桥梁的建设费用， 我们设定桥梁的宽度刚好使得每年的水量最大时不致淹没桥梁。即桥宽等于水量最大时的水面宽度。观察我们所绘的地形地貌图，我们认为，在溪流的两侧的地形基本对称，所以我们依据溪流的方程及水面宽度函数可得方程：溪流的西面方程为：4800 x y2 W (xxy4800 ),2400x480022溪流的东面方程为：x y 48002 W ( xxy4800 ),2400x480022为了尽量减少桥宽，我们应使桥建立在尽可能高的地方，例如图中的A1 的位置。我们把问题分为两个：1、何设计从

6、起点到 A1的路线使得普通公路的修建费用最低。2、如何设计从 A1 点到居民点的路线使得普通公路的修建费用最低。3、如何修正 A1 点的位置使得从起始点到居民点的总费用最低。对于这个问题，我们考虑由于由 A1 点向上的等高线十分紧密，不适合修建上下坡的。所以我们假设，公路到了 A1 点之后如果公路沿着河岸再修一段路，这时修建普通公路增加的费用和修桥减少的费用在何处达到平衡，这个平衡点就是桥应该选取的位置。这是从起始点到居民点的总费用最少。3图三：对等高图标记模型一：我们首先研究由起始点到 A1 的普通公路的修建费用。我们使用以下模型进行计算：在上图中，对任意的起点和终点，我们要使得从起点 O

7、到终点 P 的距离最短，起点 O 附近区域的高程已知。 不计路面状况的话两点间的直线距离最短， 由于坡度的限制，这时我们就要考察由起点 O 到交点 B 的坡度 是否符合道路的修建要求，如果符合的话，就选交点 B 为新的起点，如果不符合坡度的要求，就在该区域的边界上对 B 做一个移动，使得移动后的点 B 符合要求，如果 B 的选取不唯一，就要利用直观分析法， 选取最适合实际情况的点 B 。一旦选定新的起点 （点4B 或点 B ），设为 B1 ，然后对点 B1 到终点 P 按照原来的方法进行同样的分析。这样做下去，就可以得到一条由起始点 O 到终点 P 的最优路线。 经计算，所得数据如下表：起BB

8、BBBBBBB假实设终点点 O际终点123456789Px04080121620242427292828000000000077.6286.6933.610000y80634741414866801216201809.6264.5589.8249.8246.9428.289000000030.98H657075808590969810101003.8697.9598.4258.4259.1244.0233.13346.3299.5969.02坡0.0.0.0.0.0.0.0.0.度 37094 45522 40429 39154 41706 36276 27039 38378 63827以比0

9、.0.0.0.0.0.后为距0.0.右边例4009381360950449544178264 329270.805903326334026这样就可得到由起始点到桥梁的路线安排。 路线可见最后总图。 由上表，我们计算时采用的终点是点 P ，但是实际上点 P 处于溪流的中心位置。 通过解溪流的西岸方程， 我们可以得到我们要找的实际的终点P (2800,1830.98) 。可以验证：从点 B9 向实际终点 P 的直线段满足坡度的要求。所以我们从起点O 到溪流的岸边一点 P 的最优路线可以确定为：OB1B2B9 P然后，我们可以确定于点P 对应的溪流另一侧的一点P 的坐标为：(2969.02,2000

10、)同理，我们可以得到由点P 到居民点 R 的一条最优路线。解得的数据见下表：桥东C1C2居民侧 P点 Rx2969.32003600400002y20001915.1857.200026685H984.51015.1003.95012607模型二：由于在溪流的河岸附近， 等高线十分紧密， 不适宜修建上下坡的道路， 所以我们在点 P 做优化，求得一个最优的桥梁位置 P0 （在溪流的西岸），然后只需从点 P 到 P0 修一条路，这就是最终所得的从起始点O 到居民点R 的最优路线了。我们设最优点P0 的坐标为：(x0 , y0 ) ，则与之对应的点P0 的坐标为：(4800 y0 ,4800x0 )

11、。两点之间的距离由距离公式为：BridgeWidth2(4800 y0 x0 )2。由我们原来假设的终点 P 到最优点 P0 的路线应沿着溪流的西岸方向。观察西岸的方程， 其函数形式为隐性函数， 不易通过弧长公式对其进行计算，它的函数形式虽然十分复杂，但是它的线性性非常好，对这个函数进行线性二次拟和，所得的拟和二次函数的二次项系数的数量级为106 ，可以看成一次式，它的一次拟和函数形式为： 4767.65 - 1.0536x。所以 P 到最优点 P0 的距离可以看成是直线距离： Dis tan ce(x0 2800) 2( y0 1830.98) 2由于修建费用的要求，我们令：Q 2000(

12、2(48002800 1830.98) 22(4800y0x0 )2 ) 300*2(x0 2800) 2( y0 1830.98) 2当 Q 取最大值时，我们所得的 P 刚好满足从 P 到 P 由于桥梁宽度减少而减少的00修桥费用与由于公路长度增加而增加的费用之差最大。即总费用达到最小。又 x0 、y0 满足溪流西岸的方程，利用最优化的知识可求得Q 的极值为： 42280.4 ，取极值时 P0 的坐标为： (2792.2,1825.82) 。所以桥梁的最佳位置在 (2792.2,1825.82) 处，此时的修建费用与在原来的点 P 修桥可以节约 42280.4 元。模型三：在修建隧道时，由于

13、隧道长度大于300m 时修建的费用增长了一倍，我们优先考虑隧道长度小于300m 的隧道是否可行，如果可行，就不必考虑隧道长度大于 300m 的情况了。否则，在进一步分析隧道长度大于300m 的隧道应该如何修建。6我们首先考虑隧道水平的情况。要想使隧道的长度300m ，就应该使普通路面修到尽可能的高的地方。观察等高线示意图，可以发现，横坐标X4400 时，山脉非常陡峭， 等高线分布也十分紧密。 取 X4400 的截面，由已知高程计算可知要使隧道的长度小于300m ， 至 少 需 要 将 公 路 修 到300*(1500850)1266 ，利用线性插值，算得H 1266 时，H 1500400*

14、(1500850)400(1500900)y 3200 400 * (1500 1266) 3044。1500 900我们采取和寻找桥梁一样的方法来确定隧道的位置，首先选取一个点L(4400,3044)作为隧道的位置来修建普通公路，然后在对L 进行修正，使得总的修建费用最低。 普通公路的路线采用模型一的方式来进行， 我们从点 L 进行逆向推导（数据见下表）。值得一提的是，在图中观察我们推导出的路线，可以发现，这条路线可以很方便的和从桥上修过来的公路相交， 为了节省修建费用， 利用原来已经修好的公路就可以通向居民点了。所以我们的线路数据没有到达居民点R ，而是到达与原来修好的公路很近的一点D5

15、。LD1D2D3D4D5440040003846.3647.36003438.1323130442919.280024002226.200074512661213.1189.1133.1110.1076.6427449571考虑隧道可以有0.100的坡度，则另一端的隧道高度为H1266 300*0.11296，所以隧道另一端的出口 L的纵坐标为：Y400*(15001296)3325.54 。同理，我们可以对隧道的另一端进行分32008501500析，看公路如何安排最好。经同样的安排得到结果：LE1E2E3E4E5矿井 Tx4400400036003200280024002000y3325.5

16、43414.183531.353648.513780.893890.454000H12961244.791268.651273.321325.991342.991320a0.20476-0.0572-0.0112-0.14730.04100-0.0554YesOrNNoYesYesNoYesodirleftleftleft(nextLeftleft)k0.464530.171630.121270.452230.726117对隧道的位置的优化， 同桥梁的优化相同。 我们可以近似的认为山峰的两侧都是线性增高的。总可以找到一种路线使得公路沿着山峰的外侧一边增高一边向X 轴正向前进。这时的隧道的宽度由

17、于修建高度的增加会减少，我们可以类似的求出它的最优值。经过我们的计算，隧道位置的改变对总费用的影响不是很大，再此不加以说明。图四：公路路线设计图经过我们以上的分析，我们可以得出总运费的估计值。桥宽： 66.4051m桥的费用： 132810 元隧道长度： 300m隧道费用： 447752 元普通路面长度： 8863.27m普通路面费用： 2658982 元总费用： 3239544 元总费用大约 324 万元。四、 模型的优缺点分析本模型主要是在线性插值的基础上进行数值计算的， 由于本模型中需要使用的数据量比较大，线性插值就可以很快的提供解题思路， 并且给出了较好的答案，最后得到的路线直观看来， 大部分路线沿着等高线的走势前进， 也比较符合工程实际。最后，关于桥梁和隧道部分宽度基本上比较符合要求， 估计的总费用也比较合理。但是本模型仍然存在一些缺点， 例如由局部最优求全局最优时， 简单的认为两点之间直线的距离最短，没有详细的说明高程的差距如何影响极小值的选取。另外，对于山脉来说， 利用线性插值带来的误差应该比较大， 最好可以采用三次样条插值来分析，应该可以得到更精确的值。89