概率论与数理统计总结

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1、3、分布函数与概率的关系 4、离散型随机变量的分布函数(1) 0 1 分布 (2) 二项分布 泊松定理 有 (3) 泊松分布 =（5）几何分布 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数， 2、分布函数的性质： （1）连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。（2）对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数a的概率均为零，即PX=a=0。3、常见随机变量的分布函数(1) 均匀分布 (2) 指数分布 (3) 正态分布 N (m , s 2 ) N (0,1) 标准正态分布 2、连续型随机变量函数的分布：（1）分布函数法；（2）设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函

2、数g(x)处处可导且恒有g(x)0 (或恒有g(x)0,有 6、矩的概念：(1)设X和Y是随机变量，若存在，称为k阶原点矩，简称k阶矩。(2)若存在，称为k阶中心矩。(3)若存在，称为k+l阶混合矩。(4)若存在，称为k+l阶混合中心矩。7、标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称为 X 的标准化随机变量，显然，三、协方差和相关系数1、协方差(1)定义：EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y)，即 Cov(X，Y)= EX-E(X)Y-E(Y)。离散型：连续型：(2)关系公式: i协方差与方差的关系：D

3、(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) ii协方差与数学期望的关系：Cov(X，Y)= E(XY)-E(X)E(Y) iii若X，Y独立，则Cov(X，Y)=0,但反之不成立。(3)协方差的性质 Cov(X，Y)= Cov(Y，X)；Cov(aX，bY)= abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y)= Cov(X1，Y)+ Cov(X2，Y) 2、相关系数(1)定义：若Cov(X，Y)存在，并且D(X)、D(Y)存在且不为零，则称为随机变量X与Y的相关系数。(2)性质：i |XY|1 ii |XY|=1 存在常数a,b使PY=aX+b=1.3、利用相关系数计算协方差4、不相关：

4、若X与Y的相关系数XY=0，则称X与Y不相关。假设随机变量X，Y的相关系数XY存在，当X与Y相互独立时,XY=0,即X与Y不相关，反之若X与Y不相关，X与Y却不一定相互独立。5、协方差矩阵i定义：对于n维随机向量(X1,X2,Xn),把向量(X1,X2,Xn)用列向量形式表示并记为X，即X=(X1,X2,Xn)设X=(X1,X2,Xn) 为n维随机向量,并记i=E(Xi) 则称=(1,2,n)为向量X的数学期望或均值，称矩阵 为向量X的协方差矩阵。 ii性质： (1)协方差矩阵对角线上的元素Cii为Xi的方差即Cii=D(Xi) i=1，2，n；(2)协方差矩阵C为对称矩阵,即Cij=Cji

5、,i，j=1，2，n；(3)C为非负定矩阵,即对于任意实向量t=(t1，t2，tn),有tCt0；6、多维正态分布及其性质(1)定义：若n维随机向量X=(X1，Xn)的概率密度为其中X=(X1，Xn),=(1，2，n)为n维实向量，C为n阶正定对称矩阵，则称向量X=(X1，Xn)服从n维正态分布，记为XN(,C) .对于n维正态分布XN(,C) ，X的期望为，X的协方差矩阵为C。 (2) 性质 n维正态分布具有下述性质：I n维随机向量(X1，Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1，Xn的任意线性组合 l1X1+l2X2+lnXn (l1,l2,ln不全为0 )服从一维正态分布。Ii 若X=(

6、X1,Xn)N(,C)，设Y=(Y1,Y2,Ym)=AX,即Yi为Xj(j=1，2，n)的线性函数,i=1，2，m，则YN(A，ACA)，其中A为m行n列且秩为m的矩阵。iii设(X1，Xn)服从n维正态分布，则“X1，Xn相互独立”与“X1，Xn两两不相关”是等价的。 第五章 大数定律与中心极限定理一、大数定律：1、定义1：设X1,X2,Xn,为一随机变量序列,如果对于任意正整数k(k2)及任意k个随机变量相互独立，则称随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立。定义2：设Xn是一随机变量序列，若对任意0，有则称随机变量序列Xn依概率收敛于随机变量X。常记为 定义3设Xn为一随机变量序列,E(X

7、n)存在，若依概率收敛于零，即对任意 0，有 则称随机变量序列Xn服从（弱）大数定律。 2、几个常见的大数定理：定理1（契比雪夫大数定律）设 X1,X2, 是相互独立的随机变量序列，且有常数C，使得即 D(Xi) C，i=1,2, ，则Xn服从大数定律。即对任意 0，有 推论（契比雪夫大数定律的特殊情况）设X1,X2, Xn， 独立同分布，且E(Xi) = ，D(Xi)= ， i=1,2, 则对任给 0, 定理2 贝努利大数定律 (贝努利定理) 设nA是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 0，有贝努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小。二、中心极限定理定理1（独立同分布下的中心极限定理/ Levy-Lindberg ）设X1,X2, 是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，则定理2 (棣莫佛拉普拉斯定理） 设随机变量服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 中心极限定理中典型的问题(1) 设随机变量X1，X2，,相互独立同分布，E(Xk)=，D(Xk)=20,(k=1,2,),由定理1，当n充分大时，近似服从标准正态分布。(2) 设nb(n,p), 由定理2, 当n充分大时，近似服从标准正态分布。