保三角形函数

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1、12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知函数满足下列条件：函数的定义域为0，1；对于任意； 对于满足条件的任意两个数 （1）证明：对于任意的； （2）证明：于任意的； （3）不等式对于一切x0，1都成立吗？试说明理由. （1）证明：对于任意的即对于任意的 5分 （2）证明：由已知条件可得所以对于任意的 10分 （3）解：取函数则显然满足题目中的（1），（2）两个条件， 任意取两个数即不等式 13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”（I）判断，中，哪些是“保三角形函数”

2、，哪些不是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数” 1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”. 3分对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数” 4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数” 8分（III）的最大值为 9分一方面，若

3、，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1），此时，同理，故，同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长（2）此时，可得如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；时，同样，由在上的单调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长故时，是“保三角形函数”综上，的最大值为29、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有

4、实数根；函数的导数满足”()判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；()若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”试用这一性质证明：方程只有一个实数根；()设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，解：()易证函数满足条件，因此()假设存在两个实根，则，不妨设，由题知存在实数，使得成立。，且，与已知矛盾，所以方程只有一个实数根() 不妨设，为增函数，又函数为减函数，即，24、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)设f(x)是定义在(0，1)上的函数，且满足：对任意x(0，1)，恒有f (x)0；对任意x1，x2(0，1)，恒有2.()求

5、证：对任意x(0，1)，恒有f(x)f (1x)；()求证：对任意的x1、x2(0，1)，恒有f (x1)f (x2)32、(江苏省如东高级中学2008届高三四月份模拟)定义在定义域D内的函数y=f(x),若对任意的x1、x2D,都有|f(x1)f(x2)|1,则称函数y=f(x)为“Storm函数”已知函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)（1）若，求过点处的切线方程；（2）函数是否为“Storm函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由分析:本题属于信息迁移题,主要考查利用导数求函数的极值解：（1），切线方程为（2）函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)的导数是f(x)=3x

6、21,当3x21=0时,即x=,当x时,f(x)=3x210;当x时,f(x)=3x210,故f(x)在x1,1内的极小值是a同理,f(x)在x1,1内的极大值是a+f(1)=f(1)=a,函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)的最大值是a+,最小值是a,因为|f(x1)f(x2)|fmaxfmin|,故|f(x1)f(x2)|fmaxfmin|=1所以函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)是“Storm函数”35、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)造船厂年造船量20艘，造船艘产值函数为（单位：万元），成本函数（单位：万元），又在经济学中，函数的边际函数定义为 （1）求利润函数及边际利润函数（利润=产值成本） （2）问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大 （3）边际利润函数的单调递减区间解：（1）； （2），,，有最大值；即每年建造12艘船，年利润最大（8分）（3），（11分）所以，当时，单调递减，所以单调区间是，且