机理法建立系统的模型

《机理法建立系统的模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机理法建立系统的模型（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第1-2节数学模型为了分析研究系统，常常要建立系统的模型。模型可分为两类，一类是物理模型（如小型实验装置）或模拟模型（如利用相似规律，用电路或网络来模拟实际物理过程）；另一类是数学模型，即用一定的数学方程式来描述系统。由于科学技术的发展，利用数学模型来分析研究系统的方法得到了越来越广泛的应用；数学模型已从分析研究的工具，进一步发展为直接应用于实际，解决实际问题的手段。实际系统是五花八门的，情况也比较复杂，加上研究分析系统的目的不同，数学模型的形式也是很多的，从建立数学模型的方法来说大体上有以下两种。（1）按照系统运动的机理和规律建立数学模型。例如对于生产过程，通常可按照物质守恒、能量守恒和其他

2、有关规律给出的关系式建立数学模型，但结果不但给出系统输入输出变量之间的关系，也给出系统状态和输入输出之间的关系，使人们对系统有一个比较清晰的了解，故有时称为“白箱模型”。（2）假设系统符合某种形式的数学方程式，测取系统的输入和输出变量，以一定数学方法确定模型中有关参数，并可对模型的结构作某些修改，从而得到系统输入与输出之间的数学模型，但系统的状态，即系统内部如何运动不得而知，故又称为“黑箱模型”。（3）这两种建立数学模型的方法可以说都是一大门类的学科体系，第一种方法可以得到系统的详细描述，但必须对系统或过程作深入的研究分析，成为“过程动态学”这一分支学科。第二种方法已发展成为“系统辨识”这一分

3、支学科。尽管第一种方法对系统有详细的描述，在系统的设计阶段就可以发挥作用，但要得到一个满意的结果（尤其是对一个比较复杂的系统），常常是很困难的，这是后一种方法应运而生的主要原因。对这两种方法的详细讨论超出本书的范围，有兴趣的读者可参阅有关文献。本书只对数学模型的一般特征加以讨论，并着重于机理分析。对大多数工业生产过程来说，可用下述一般规律来描述：dxC=Qi（x,u,t）-Q2（x,u,t）S（x,u,t）（1-1）dt式中x称为系统或过程的状态变量，如温度、压力等；u输入变量；C容量，表示系统状态变量变化一个单位时，系统内部贮存物质量或能量的变化量；S源或流，单位时间内由系统（或过程）本身产

4、生或吸收的物质量或能量；Q单位时间内流入系统的物质量或能量；Q2单位时间内流出系统的物质量或能量；T时间。式（1-1）是物质守恒或能量守恒的具体表现，流入系统的物质流或能量流Qi,加系统本身产生的物质流或能量流S，减去流出系统的物质流或能量流q2，成为单位时间内贮存dx于系统中的物质量或能量，它使系统的状态变量x发生变化，x的变化速率（竺）与贮存于dt系统中的物质或能量流成正比，其比例系数即为容量C。系统中温度（状态变量）的变化，说明系统中贮存的热量发生了变化，它是由于流入与流出系统的能量的不同引起的，其中包括系统本身的源或流，例如一个进行化学反应的化学反应器，反应过程中单位时间内放出的热量形

5、成源。当流入流出的热量不相等时，系统的状态一温度就会发生变化，其变化速率是单位时间内积蓄的热量，也就是单位时间内流入流出热量差除以热容（温度变化一个单位所需的热量）。容器中贮存物质里的变化，对液体或固体表现为液体或固体料位的变化，对气体表现为容器压力的变化，液位、料位、压力是系统的状态变量，它们的变化是因为流入流出容器的物质变化所引起的；容器的截面积越大，即容量越大，在同样的条件下，状态变量的变化速dx率（）越小。dt运动着的物体当以其速度（状态变量）发生变化时，意味着物体中贮存动能的变化，这是由于作用于物体的力或力矩变化（做功）而引起的，物体的质量或转动惯量就是它的容量，容量越大，同样的速度

6、变化（加速度或角加速度）所需的功（力）越大。在电路中，电容上电压的变化说明电容中贮存的电场能量发生变化，这是由于电容上积蓄或释放电流而引起的。电容的大小就是其容量，电容越大，电容上同样的电压变化率所需要的电流越大。电感中电流的变化则说明电感中贮存的磁场能量的变化，电感的大小反应容量的大小，电感越大，流过电感的同样电流的变化率所需的电压越大。一般地说，流入流出系统的物质流或能量流Q或Q2，以及源或流不仅是输入变量的函数，常常还是系统变量的函数，例如化学反应器中温度的变化，使反应物料带入或带出的热量流发生变化，同时也因反应速度的变化，使反应过程中放出或需要的反应热发生变化，气体容器中的压力增高，使

7、流入的量因压差减小而减小，流出的量因压差增大而增大。运动着的物体的速度增加后，常常使运动的阻力增加。电容上电压的增加，使电压差减小，因而使流入的电流减小；电感中电流的增大，使电路上压降增大，电感两端电压减小。因此在式（1-1）中，一般的说，Q,，Q2，S均为输入变量U、状态变量X和时间的函数。在某些特定的情况下，Qi，Q2和S可与状态变量无关。实际系统常常不像式（1-1）那样简单，主要有以下几种情况：（1）一个系统中往往有多个储能元件，相应地有多个状态变量，因此要用一组式（1-1）那样的微分方程描述；系统的输入输出变量也往往有多个相互独立的量，形成多入多出的高阶（维）系统；（2）在很多实际情况

8、下，状态变量不仅仅是时间的函数，也是空间位置的函数，如管式化学反应器，其温度是沿着管长而不同的；这时式（1-1）只适用于管长的一个微元体内，系统的完整描述要用偏微分方程，这种系统称为分布参数系统，亦称为无限维系统（因为系统是由无穷多个微元体构成的，每个微元体都有相应的状态变量）；（3）实际系统中常常包含有一些随机变化或不确定的因素，受各种随机干扰的影响，使系统的状态变量，输入输出变量是随机变化的，成为随机性系统。无论怎样复杂的系统，都可以用式（1-1）作为其基本的描述，这一描述反映了系统的两个基本特征。1、储存性储存性的一个含义是说系统的内部有储能或物质的元件，系统状态的变化是系统内部储能或物

9、质量发生变化的反映，系统的输入输出变量，是影响流入或流出系统的物质量或能量变化的一个因素。储存性的另一个含义是系统当前时刻的状态变量或输出变量，保存过去时刻的信息，这是因为系统具有储能和物质量的特点，而流入流出能量或物质量的大小是有限的，物质量或能量的流动具有一定的“阻力”，使系统的状态不可能有阶跃跳动，因而输出变量对系统输入的变化有一个相应的过程，或者说在系统输入不变以后，状态变量仍会有所变化，好像是储存了历史的输入信息，或者说，状态或输出变量对输入的变化有“滞后”现象。系统的存储性对分析实际问题有指导意义的，例如图1-3所示多侧线分馏塔，常常提出这样的问题：5为什么aQi（流出量之和）不等

10、于Qo（流入量）？是否仪表不准确？而常见仪表维护人i员说：“表都校对过了，是准的”。因此，我们必须分析分馏塔内是否有积蓄量的变化（是否Qo不稳定），也就是分馏塔的状态（温度，压力，液位，组分等）是否有变化，而不能认为变就是稳定了，因在塔内积蓄量或状态有变化时，自然不会满足瓦Q=Qo。显然，这种储QiJLQ2QoQ3分Q4馏塔Q5图13态变量X（to）和现在与未来的输入存作用与系统的容量有关，容量越大，在其他条件相同时，储存作用越大。2、因果性因果性也有两种含义，其一是说系统状态或输出变化是有原因的，它是由系统的输入，或者说流入和流出系统的物质流或能量流的变化而引起的，这一点是很明显的。因果性的

11、另一层含义指未来的输入不会影响现在的输出或现在的状态变量，只有现在的状U（to）才会影响现在和未来的状态和输出。储存性和因果性都是客观存在的事实。由于这两个特性，在研究系统输入输出和状态变量之间的关系时，需要注意以下事实：对所研究的系统，若只知道当前时刻to及其以后（未来）的输入U（to，：J是不能唯一确定to以后的状态和输出丫（to,：）的。这是因为系统具有储存性，即使在to后输入作用不变，即U（to,：）等于零，系统的状态和输出仍会有所变化，其变化的大小是由系统过去的输入U（-：,to）或当前的状态X（to）所决定的，在to以后的变化，由于系统状态具有储存性，不仅与U（to,：）有关，而且

12、与历史的输入U（-：,to）亦有关，或者说不仅与U（to,：）有关，与系统to时刻的状态X（to）（在数学上常常称为初始状态）亦有关。例如图1-3所示塔底液位，当塔底抽出量增大以后，也为是否下降？由于抽出量Q5只Q5增大时的初始状是一个输入变量，即使在其他流量不变的情况下，液位的变化还取决于态，若此刻液位的状态是上升的，而Q5增大的作用不足抵消初值的影响，液位将继续上升,只是上升的速度降低而已。如果系统在to后的状态X（to,：）或输出丫（to,：）只与to时刻以后的输入U（to,：J有关，而与X（：,to）无关，则称系统是松弛的。显然，若历史的输入作用对系统的影响已经消失（且系统的输入在to

13、时刻以前不再变化），即系统处于稳定或平衡状态，则系统是松弛的。如以平衡状态为系统状态变量的坐标原点，则此时（t0时刻）系统的初始状态X（t0）=0。也就是说，若初始状态为零，则系统必是松弛的。但系统是松弛，未必初始状态为零。第1-3节实例例1-1热水混合罐（图1-4）及其控制系统控制系统的功能是维持罐内水温一定，水位的高度也应在给定的范围内，为此设置了温度调节器TC和水位调节器LC,由热偶和液位变送器测得的温度和水位信号，送给相应的调节器，并与给定的T；和Hs比较以后，按一定的规律去调节阀门5和T2，以维持温度和水位一定，由于热水和冷水的温度T,和T2是变化的，阀门U3的开度也是因用水量要求不

14、同而变化，设置温度和水位调节器是很必要的。图1-4（a）实际系统1-4（b）所示的框图；对热水罐来说,将系统划分为调节器和热水槽两部分，可得图我们要研究的是U1、U2、U3，T1和T2（输入）对水位高度H和水温T的关系。罐内水位的变化是罐内储水量变化的反映，按物料平衡可列出下式：ldHFQiQ2Q3dt其中：F是罐的截面积（容量），设为常数；设Qi，Q2只与阀门的开度有关，即Qi=Qi（Ui）Q2=Q2（U2）Q3则不仅与阀门开度有关，且与水位高度H形成的压力有关，设水的重度不变，可到出下式：Q3二kvU31H,kv是常数对于罐内温度的变化，可按照热量守恒关系写出相应的关系式，为简单起见，（i

15、-2）（i-3a）（i-3b）（随温度）（i-3c）假设罐内各处温度是均匀的，且T=T3,忽略散热损失，则有：d(6T)dt-SwQ1T1SwQ2T2SQ3T3(1-4)其中：Sw是水的比热容，设为常数;Ct是罐的热容量，即罐中所有的水温升高1C所需要的热量；由于罐中水位的变化,“1(X1,X2,T3,T4,U5,U厂(f2(X1,X2,T1,T2,U1,U2)其中:QdUJQ2W2)-Q3(U3,X1)111FX101(U1)(T1-X2)Q2(U2)(T2-X2)lH妙dtdtdxdt(1-5)(1-6)(1-7)(1-8)热容量也是变化的，可由下式Ct二SwFHdtdtdt将式（1-2）

16、和式（1-5）代入（1-6），得：-JTFH匚二Q1（-T）Q2（T2-T）dt写成状态方程式：（令X1=H,X2=T）尽管热水混合罐不是一个很复杂的系统，并且在推导数学模型的过程中作出了一定的假设，其结果还是一个不易求解的非线性微分方程组。Ln+1图1-5分馏塔板这一系统的存储性是很明显的，由于储存性和因果性，温度和水位一般不会有阶跃式的变化，且其变化不仅与输入有关，也与初始状态有关。例如，若某瞬间将U1开大，其他均不变，罐中水位是否Ln,一定升高？水温是否一定下降？答案都是否定的，请读者自行考虑。例1-2分馏塔分馏塔主要部分是各层塔板，对各层塔板都可以写出相似的数学模型，这里仅以无进出料的

17、塔板为例（1-5）。N表示塔板序号，Ln申是上一层塔板流到本层的液体流量,Ln是本层流到下一层的液体流量，V和Vnj分别表示本层和下一层往上层的汽相流量，假设汽油两相只在塔板上进行传热与传质,可写出下述数学模型。按物料平衡有:dMndt=Ln1_LnVnJVn(1-9)按焓平衡有:d(Mnhn)dt=Lnihn1-LnhnVnjHnJ-VnHn(1-10)（露点和泡点方程）(1-12)(1-13a)(1-13b)(1-14)按组分平衡有:d(MnXn，j)=LniXni,j-LnXn,jVnYn,j-VnYnJ(1-11)dt式中Mn第n层塔板上的液相滞留量;H汽相热焓;h液相热焓；Xn,j第

18、n层塔板，第j个液相组分浓度;丫钠一一第n层塔板，第j个汽相组分浓度;LnLn1,Vn,Vnd（般地说）都是状态变量Mn，温度（焓）和组分的函数；同时还要满足有关规律，例如：（相平衡规律：Yn,j二kn,jXn,j其中k为相平衡系数（2）归一化方程:nYn,j=1jT可以看到，塔板数学模型不仅是非线性的，随着组分数Cn的增加，所需的方程数也增塔板水利学方程：Mn=Mn0-kL?3加，再考虑到一个分馏塔往往有几十层塔板，对一个分馏塔来说，其方程个数常常在个以上，这些都为方程的求解带来不少困难。例1-3催化裂化装置提升管式反应器（图反映物料进入提升管后，由于催化剂具有较高的温度而全部汽化，在催化剂

19、的作用下产生以裂化为主的吸热反应，同时产生焦炭沉积在催化剂上，使催化剂的活性降低，沿提升管的高度，活性逐渐降低，反应速度逐渐降低，反应温度也逐渐降低，反应物的重度因不断裂化，也沿高度逐渐降低，因此，这是一个典型的分布参数系统，式（1-1）所示的关系式只能在沿高度的一个微元体内适用。用z表示提升管的高度，在微元体dz内的热平衡关系式可用下式描述:（见图1-6）在氏时间内，微元体内积蓄的热量是:cIzTaQC式中C微元体的比热容；微元体内物料的密度；-1提升罐的截面积（常数）；厶微元体的温升；流入的热量是：Q1二（ScGcSG。）入：t流出的热量是：Q2=(ScGcSoGo)(Tra九)：t反应吸

20、收的热量是:Q3=G0-tHr-z其中:ScSo分别是油汽和催化剂的比热容；Hr是单位进料单位长度上反应所需的热量。微元体热平衡：Qc=Qi-Q?-Q3令过0,.辽0得下述偏微分方程：C卫(SoGoScGJ卫GoHr=0戲cz其边界条件是：Z=0，Tra=Tra0(1-15)Trara1Tra0,Trai分别是提升管入口和出口的温度。实际上，C,?0,Hr,So等都是高度和温度的函数，使方程（1-15）求解变得很复杂。如果将提升管按高度分为n段，每段内的温度、重度等等都假设为常数，则式（1-15）可简化为下述n个常微分方程：dt(1-16)=(SoG。ScGc)Trai(SG。ScGc)TraiG0HRii=1,2,n关于偏微分方程的求解方法可参阅有关文献，上面给出只是一种方法，在不少实际情况下式可行的，它将无穷维系统变成有限维系统，但仍是一个非线性微分方程。从以上三个实例可以看出，很多实例都可以用常微分方程组来表述，尽管它们已经做了不少假设和近似，得到的仍是一个非线性方程组，仍无一般的解析解。