概率论知识点总结

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1、2典型问题事件的概率 利用概率定义和运算法则计算 利用随机变量的概率分布计算 概率的近似计算随机变量及其函数的分布随机变量及其函数的数字特征现实问题的概率模型3随随 机机 事事 件件概念概念样本点、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件样本点、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件 运算运算及及关系关系 运算运算性质性质1: AB 包包含含2: AB 相相等等1: AB 和和2: AB 积积3: AB 差差3 互互不不相相容容4 A 对对立立相相应应于于集集合合运运算算性性质质均均成成立立* 概率论部分知识要点小结概率论部分知识要点小结 *4概概 率率 定义定义 性质性

2、质2: 古古典典概概型型中中概概率率的的定定义义1: 公公理理化化定定义义,():AP A对对样样本本空空间间中中任任意意事事件件定定义义数数满满足足 ; 0 1 AP 非非负负性性 ; 1 2 SP 规范性规范性 , 321有有对对于于两两两两互互斥斥事事件件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性( ). P AA则则称称为为事事件件 的的概概率率3: 几几何何概概型型中中概概率率的的定定义义4: 概概率率的的统统计计定定义义 1 , PP S 2,()ABP BA 若若则则3( )P A 4,( )( )ABP AP B 若若则则5()P AB 6()()()P ABP AB

3、P AAB()P AB5条条 件件 概概 率率 定义定义 三三个个重重要要公公式式 性质性质具具有有无无条条件件概概率率的的一一切切性性质质1:乘乘法法公公式式2:全全概概率率公公式式3:贝贝叶叶斯斯公公式式12,:nB BBS若若是是 的的一一个个划划分分 则则独立性独立性 定义定义, A B独独立立性质性质, , , , A BA BA BA B独独立立独独立立独独立立独独立立 两两独立两两独立与与相互独立相互独立 . ABC独独立立两两两两三三事事件件、 、 . ABC 相相互互独独立立三三事事件件、 、 独立重复独立重复试验概型试验概型在在n重伯努利试验中重伯努利试验中,事件事件A(每

4、次试验中发生概率为每次试验中发生概率为p)出现出现k次的概率为次的概率为:6随机变量及分布函数随机变量及分布函数随机变量的概念随机变量的概念 X落在区间内概率落在区间内概率.X随随机机变变量量 为为定定义义在在样样本本空空间间上上的的单单值值实实函函数数 性质性质离散型与连续型随机变离散型与连续型随机变量量 分布函数分布函数12121):,()().xxF xF x 单单调调不不减减 若若则则2):0( )1,()0,()1F xFF 有有界界性性P aXb 定义定义 X落在区间内概率落在区间内概率 与分布函数的关系与分布函数的关系 性质性质分布律分布律分布函数分布函数 xft dt (1)

5、( ) =kkxxF xp 1(2)()()kkkpF xF x 2( )( )()f xFx 导导数数的的连连续续点点处处 1( )xF xf t dt P aXb P aXb : P Xb 特特别别3)左连续左连续7边缘分布边缘分布边缘分布函数边缘分布函数定义定义( )( ,),( )(, )XYFxF xFyFy 条件分布条件分布条件分布函数条件分布函数|0( | )lim,/X YyFx yP Xx yyYyP yyYy 定义定义0jpi jjpp P Y = yj | X = xi P X = xi | Y = yj 0ipi jipp ( ) 0|( , )( | )( )YyX

6、YfYf x yfx yfy ( ) 0|( , )( | )( )XxY XfXf x yfy xfx 独立性独立性定义定义,()() ()A BP ABP A P B事事件件独独立立(,)( )( ) ()XYF x yFx Fy 分分布布函函数数ijijppp ,X YP Xx YyP XxP Yy 相相互互独独立立( ,)( )( )XYf x yfx fy 几几乎乎处处处处相相等等: (|)()/()P A BP ABP B 条条件件概概率率8和和的的分分布布极极值值分分布布利用事件相等则概率相等的利用事件相等则概率相等的概念求函数的分布律概念求函数的分布律r.v.的函数的函数的分布

7、的分布用分布函数法求函数的分布用分布函数法求函数的分布函数函数(或分布密度或分布密度)二维二维r.v.的函数的函数的分布的分布( )ZFzP Zz (,)P g X Yz kkP Zzz 的的所所有有原原像像点点概概率率之之和和(,)ijkijg x yzp ( )( ) (,)ZZdfzFzdzdP g X Yzdz ()在在该该导导数数连连续续点点处处( )(, )Zzy y dyfzf ( )( ,)Zzfzfdxxx ,( )()( )X YZXYf zfzy fy dy 独独立立,( )( )()X YZXYfzfx f zx dx 独独立立:()特特别别 卷卷积积公公式式,max(

8、,)( )X YX YFz 独独立立,min(,)( )X YX YFz 独独立立注注:假设上述积分或级数均假设上述积分或级数均绝对收敛绝对收敛,否则期望不存在。否则期望不存在。r.v.的期望的期望r.v.的函的函数数 的的 期望期望( ) ()E YE g X ( ) ()E YE g X 1()kkkpExX ()Xfx dxxE X () (,)E ZE g X Y () (,)E ZE g X Y (,)r.v.,()X YE X 是是二二维维则则(,). .,()X Yr vE X 是是二二维维则则期期望望定定义义性性质质(1) ()E aXbYc XY(2) ()E XY 相相互互

9、独独立立或或线线性性不不相相关关1( ) ()()kkkg xpE YE g X ( )()()Xg xE Yfx dxE g X 1()kkkpExX ()Xfx dxxE X ( , ) ( )(, )f x y dxdyg x yE ZE g X Y 11(),(,iijjjiE ZE g X Ypg xy 11(,)r.v.,()ijjiipXxYE X 是是二二维维则则(, ), ). .,()f x y dxdX Yr vE Xyx 是是二二维维则则期期望望XY(5) ()E XY 相相互互独独立立或或线线性性不不相相关关2()()D XE XEX 方方差差：(,)()()Cov

10、X YEXEXYEY 协协方方差差：*(,)(,)XYCov X YCov XYDXDY 相相关关系系数数：0,()XYX Y 线线性性 不不相相关关其其它它(2) ()E aXbYc (1) ()D XY ()E XYEX EY 性性质质,(3)()X YD aXbYc 相相互互独独立立或或线线性性不不相相关关(4)(,)Cov aXbYc Z (6),X YX Y相相互互独独立立线线性性不不相相关关22()(,)EXEXCov X X 伯伯努努利利大大数数定定律律辛辛钦钦大大数数定定律律切切比比雪雪夫夫不不等等式式条条件件结结论论独独立立同同分分布布中中心心极极限限定定理理棣莫佛拉普拉斯棣

11、莫佛拉普拉斯中心极限定理中心极限定理马尔可夫不等马尔可夫不等式式12/0 1()(1),0,1(1)( , )()(1),0,1,(1)( )(),0,1,!1,()( , )( )2120,1,0( )0,kkkkn knkx P XkppkpppB n pP XkC ppknnpnppP Xkekkaxbabb aU a bf xb aexf x 分分布布分分二二项项分分布布泊泊松松分分布布均均匀匀分分布布其其它它指指数数分分布布概概率率分分布布期期望望布布其其它它方方差差222()2221( ,)( )2x N f xe 正正态态分分布布 常见分布的方差和期望常见分布的方差和期望2( ,

12、)XN 22()21( ),2xf xex * 一维正态分布的性质一维正态分布的性质 2,0,1 .XXN ZN 若若则则222(,),(,)XN YaXbN ab a 若若则则221212221122(,) (, ),(,), (,)X YN XN Y若若则则,0X Y 且且相相互互独独立立212,(,),niiiXXXXN 若若相相互互独独立立 且且2200111(,).nnniiiiiiiiiZCC XN CC C 则则结论结论1结论结论2结论结论3结论结论4n元元正态分布的重要性质正态分布的重要性质:1. n元正态变量元正态变量(X1,X2, ,Xn)的每一个分量的每一个分量Xi 均是

13、正态变量均是正态变量;若若Xi 均是正态变量均是正态变量,且相互独立且相互独立,则则(X1,X2, ,Xn)为正态变量为正态变量.2. n元变量元变量(X1,X2, ,Xn)为正态变量的充要条件是为正态变量的充要条件是X1,X2, ,Xn 的任意线性组合的任意线性组合(非零非零)均服从一维正态分布均服从一维正态分布.3. n元变量元变量(X1,X2, ,Xn)为正态变量为正态变量,Y1,Y2, ,Yk是是X1,X2, ,Xn 的线性函数的线性函数,则则(Y1,Y2, ,Yk) 服从服从k维正态分布维正态分布. 此性质称为正态变量的线性变换不变性此性质称为正态变量的线性变换不变性.4. n元变量

14、元变量(X1,X2, ,Xn)服从正态分布服从正态分布, 则则“X1,X2, ,Xn相互独立相互独立”等价于等价于“X1,X2, ,Xn.两两不相关两两不相关”.)()(21exp|)2(1),(121221 XCXCxxxfnn利用古典概型与加法定理计算利用古典概型与加法定理计算利用条件概率与乘法公式计算利用条件概率与乘法公式计算利用全概公式和贝叶斯公式计算利用全概公式和贝叶斯公式计算A( )ANP AN 所所包包含含的的基基本本事事件件数数所所有有基基本本事事件件数数()( )( )()P ABP AP BP AB ()()()( )()P A BP ABP AABP AP AB () 0

15、()(|)( )P BP ABP A BP B ( ) 0()( )( | )P BP ABP B P A B 11:( )() (|)niiiP AP B P A B 全全概概率率公公式式()2:(|)( )iiP ABP B AP A 贝贝叶叶斯斯公公式式() ( |)( )iiP B P A BP A 12,:nB BBS若若是是 的的一一个个划划分分 则则( )1( )P AP A 典型问题一典型问题一: 事件的概率事件的概率( 利用概率定义和运算法则计算利用概率定义和运算法则计算 )()( )( )BAP ABP AP B * 典典 型型 问问 题题 *典型问题一典型问题一: 事件的

16、概率事件的概率( 利用随机变量的概率分布计算利用随机变量的概率分布计算 )所求概率所求概率已知分布已知分布已知分布律已知分布律已知分布密度已知分布密度P Xb P aXb kP Xx ,P Xb Yd ,P aXb cYd ,ijP Xx Yy (, )PX YG ( )F b( )( )F bF a ()(0)kkF xF x ( , )( , )( , )( , )F b dF a dF b cF a c ( , )F b d( ,)(0,)( ,0)(0,0)ijijijijF x yF xyF x yF xy kkxbp kka xbp kp,ijijxb ydp ,ijija xb

17、c ydp ijp( )bf x dx ( )baf x dx 0( , )bdf x y dxdy ( , )bdacf x y dxdy 0(,)ijijxyGp ( , )( , )x yGf x y dxdy 典型问题一典型问题一: 事件的概率事件的概率( 概率的近似计算概率的近似计算 )22|()|1PXE X 利利用用切切比比雪雪夫夫不不等等式式2,EXDX 条条件件结结论论利利用用中中心心极极限限定定理理122,kkX XEXDX 独独立立同同分分布布1(0,1)nkkXnNn 近近似似地地( , ), 1,2,nB n p n (,(1)nN np npp 近近似似地地(1)(

18、 , )nnB n pP ab 条条件件(1)(1)(1)nnpanpbnpPnppnppnpp ()()(1)(1)b npa npnppnpp 1(2),nniiinXXP ab 条条件件独独立立同同分分布布 期期望望、方方差差存存在在nnnnnnnaEEbEPDDD ()()nnnnbEaEDD 典型问题二典型问题二: 随机变量及其函数的分布随机变量及其函数的分布构构成成分分布布函函数数的的充充要要条条件件构构成成分分布布律律的的充充要要条条件件构构成成概概率率密密度度的的充充要要条条件件确确定定概概率率分分布布中中的的待待定定参参数数求求概概率率分分布布分分布布函函数数与与分分布布律律

19、之之间间的的关关系系分分布布函函数数与与概概率率密密度度函函数数之之间间的的关关系系. .()r v Xg X一一维维的的函函数数的的分分布布. .(, )(, )r v X YZg X Y 二二维维的的函函数数的的分分布布. .(,)r v X Y二二维维的的边边缘缘分分布布及及独独立立性性、相相关关性性的的讨讨论论;ZXY （一一般般的的分分布布 极极值值分分布布）;（分分布布函函数数法法 卷卷积积公公式式 极极值值分分布布的的结结论论）191() ()()kkkg xpE YE g X ()()()Xg xE Yfx dxE g X 1()kkkpExX ()Xfx dxxE X ( ,

20、 ) ( )(, )f x y dxdyg x yE ZE g X Y 11(),(,iijjjiE ZE g X Ypg xy 11(,)r.v.,()ijjiipXxYE X 是是二二维维则则(, ),). .,()f x y dxdX Yr vE Xyx 是是二二维维则则期期望望XY(5) ()E XYEX EY 相相互互独独立立或或线线性性不不相相关关2()()D XE XEX 方方差差：(,)()()Cov X YEXEXYEY 协协方方差差：*(,)(,)XYCov X YCov XYDXDY 相相关关系系数数：0,()XYX Y 线线性性 不不相相关关其其它它(2)()E aXbYca EXb EYc (1) ()()()2(,)D XYD XD YCov X Y ()E XYEXEY 性性质质,22(3)()0X YD aXbYca DXbDY 相相互互独独立立或或线线性性不不相相关关(4)(,)(,)(,)0Cov aXbYc ZaCov X ZbCov Y Z (6),X YX Y相相互互独独立立线线性性不不相相关关22()(,)EXEXCov X X 典型问题三典型问题三: 随机变量及其函数的数字特征随机变量及其函数的数字特征,矩矩 协协方方差差阵阵The End谢谢您的聆听！ 期待您的指正！