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1、分数指数幂2三维目标一、知识与技能1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.三、情感态度与价值观1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识
2、之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂根式分数指数幂有理数指数幂实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.分数指数幂的含义的理解.2.根式与分数指数幂的互化.3.有理指数幂的运算性质的掌握.教学难点1.分数指数幂概念的理解.2.有理指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：上节课学习了n次方根的有关知识，请同学们根据有关知识快速完成下列
3、练习.（多媒体显示如下练习，生口答）=_；=_；=_；=_.生：2 3 25 34.师：注意观察最终化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？（组织学生交流，及时捕捉与以下结论有关的信息并板书）=25=2，=34=3.师：你对上面的总结是什么呢?生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.师：当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，是否也可将根式写成分数指数幂的形式？（生思考片刻，师继续阐述）师：这个问题我们的先辈早已解决了，人们在不断探索中发现，这么做不但是可以的，并且还会给计算带来很大方便.于是就建立了分数指数幂的概念.这就是我们本课所要
4、研究的内容.二、讲解新课（一）分数指数幂的意义师：，等通过类比可以写成什么形式？说明了什么问题?生：a，b，c.当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，也可以写成分数指数幂的形式.师：通过上面的例子你能给出一般性的结论吗?（生在师的指导下，得出一般性的结论）（师板书正分数指数幂的意义）规定：正数的正分数指数幂的意义是a=（a0，m、nN*，且n1）.师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还能说出来吗？生：负整数指数幂的意义为an=（a0，nN*）.师：负分数指数幂的意义如何规定呢？你能否根据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢？（组织学生讨论交流，得出如下结论）正数的负分数
5、指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿.规定：a=（a0，m、nN*，且n1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢？如果去掉这个规定会产生怎样的局面？合作探究：在规定分数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？（组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a0的合理性）若无此条件会引起混乱，例如，（1）和（1）应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：（1）=1；（1）=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.方法引导：在把根式化成分数指数幂
6、时，要注意使底数大于0，在例子=a（a0）中，若无a0这个条件，=|a|；同时，负数开奇次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，=2.知识拓展：负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现在指数上.（二）有理数指数幂的运算法则师：规定分数指数幂的意义之后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的有理数r、s，均有下面的运算性质：aras=ar+s（a0，r、sQ）；（ar）s=ars（a
7、0，r、sQ）；（ab）r=arbr（a0，b0，r、sQ）.（三）例题讲解【例1】 求值：8；25；（）5；（）.（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，强调严格按照解题步骤书写）解：8=（23）=2=22=4；25=（52）=5=51=；（）5=（21）5=25=32；（）=（）=（）3=.【例2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a0）：a3；a2；.（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）解：a3=a3a=a=a；a2=a2a=a=a；=（aa）=（a）=a.方法引导：利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.对于计算的
8、结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【例3】 计算下列各式（式中字母都是正数）：（1）（2ab）（6ab）（3ab）；（2）（mn）8.解：（1）（2ab）（6ab）（3ab）=2（6）（3）ab=4ab0=4a；（2）（mn）8=（m）8（n）8=m2n3=.【例4】 计算下列各式：（1）（）；（2）（a0）.解：（1）（）=（55）5=5555=55=55=5；（2）=a=a=.三、巩固练习课本P63练习：1，2，3.（生完成后，同桌之间互相交流解答过程）解：1.a=；a=；a=；a=.2
9、.（1）=x；（2）=（a+b）；（3）=（mn）；（4）=（mn）=（mn）2；（5）=（p6q5）=pq=|p|3q；（6）=m=m.3.（1）（）=（）2=（）3=；（2）2=23（）（223）=23=23=6；（3）aaa=a=a（a0）；（4）2x（x2x）=2x22x=x04x1=1.四、课堂小结师：本节课你有哪些收获?能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点）1.分数指数幂的意义规定：正数的正分数指数幂的意义是a=（a0，m、nN*，且n1）.正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a=（a0，m、nN*，且n1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数，并把整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质.3.有理数指数幂的运算法则aras=ar+s（a0，r、sQ）；（ar）s=ars（a0，r、sQ）；（ab）r=arbr（a0，b0，r、sQ）.五、布置作业板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1.分数指数幂的意义0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义2.有理数指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业
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