高中数学空间向量数量积新授课

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1、会计学1高中数学空间向量数量积新授课高中数学空间向量数量积新授课1） 两个向量的夹角的定义abbaba,0被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向OABaabb同起点是关键第1页/共22页2）两个向量的数量积注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,cos,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设

2、第2页/共22页abA1B1 baABBAabBABaBAaAabAB,cos,111111上上的的正正射射影影，简简称称射射影影方方向向在在叫叫做做，则则上上的的射射影影在在作作点点上上的的射射影影在在作作点点和和已已知知向向量量BAE 第3页/共22页4)空间向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos) 1注意：性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量 ，有：,a b 第4页/共22页5)空间向量的数量积满足的运算律 注意：分配律）交换律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa数量积不满足结合律)()cbacb

3、a（第5页/共22页_|_,2,22,22.1 babababa所所夹夹的的角角为为则则已已知知)()4)()()3)()()()2)(0, 0, 01. 222222qpqpqpqpqpcbacbababa则若）判断真假：全错第6页/共22页ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD)4() 3()2(11. 3）（计算：的中点。、分别是、，点等于的每条边和对角线长都如图：已知空间四边形第7页/共22页分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmnll要证l与g垂直，只需证lg0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=x

4、m+yn 要证lg0,只需l g= xlm+yln=0而lm0 ，ln0故 lg0第8页/共22页nmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l 第9页/共22页ACOBCBOA，证明：由已知ABCO 0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCO

5、BOAOCOBOCOA所以ABOC 所以第10页/共22页aAOP.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在PAaOAaaPAOAPAPO求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,第11页/共22页 课堂小结2两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。第12页/共22页例3 如图，已知线段在平面 内，线段，线段 ，线段， ，如果，求、之间的距离。AC BDABDD 30DBD ,ABaACBDbCDAB 解：由，可知.由 知 .

6、 AC ACAB 30DBD ,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbab 22CDabbab CABDD第13页/共22页例4已知在平行六面体中，,求对角线的长。ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCA解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC 第14页/共22页1.已知线段 、在平面 内，线段，如果，求、之间的距离.

7、ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc第15页/共22页2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC证明：因为MNMAADDN 所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB同理，MNCD 第16页/共22页3.已知空间四边形，求证：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB证明：()| |cos| |cos| |cos| |cos0OA

8、 BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC第17页/共22页4.如图，已知正方体， 和 相交于点，连结 ，求证：。ABCDA B C D CD DC OAOAOCD ODCBADABC第18页/共22页已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的数量积：ABCDaEFG、 、ABADDC、(1) (2) (3) AB ACAD DBGF AC ；(4) (5) (6) .EF BCFG BAGE GF ；GFEABCD作业讲评第19页/共22页 课堂小结作业：P36 3，4，5(定理)2两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。第20页/共22页第21页/共22页