概率论与数理统计讲义稿Word版

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1、第一章 随机事件与概率1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母和表示样本点及样本空间。 必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果

2、就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。 经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。例1.1.1 ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这

3、一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为：=正面,反面。：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。样本空间为：。整理为word格式: 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到=（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) 读者可以将其推广到掷n个硬币，样本空间里有多少样本点呢？：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一

4、直射下去，故样本空间为，其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为。 ：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是。 1.1.2 随机事件随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母记之。1.1.3 事件与集

5、合的对应以及它们的运算通常用希腊字母表示样本空间, 表示样本点。称“是的成员”或者“属于”，或者“是的元素”，记为.如果不是试验的一个可能结果，那么不是的元素，则记为.一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用表示事件是的子集。事件的相互关系与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均整理为word格式假设涉及的集合等都是的子集，而不再每次申明。1. 事件的包含集合的包含集合即“包含于”，意为中元素都在中，或说，如果，必有。对应于事件，表示的样本点都在中，即当的样本点出现于试

6、验结果之中，即发生时，当然也就发生了，或说“的发生必导致的发生”。图1.1 的文氏图2. 事件的相等集合的相等称集合A和B相等，并记为，是说“且”。对应于事件，称A和B相等，记为，就是“如果发生，则必然发生，同样如果发生，则必然发生”。相等的事件含有相同的样本点。3. 事件的并（和）并集集合A和B的并集记为,它的元素或者属于，或者属于（当然有的可能同时属于A和B），即。对应事件的并表示“或至少有一个发生”。图1.2 的文氏图并的概念可以推广到个事件和可数个事件,的并表示“中至少有一个发生”；可数个事件的并整理为word格式表示“中至少有一个发生”。4. 事件的交（积）交集两个集合A和B的交集记

7、为，它是由既属于A又属于B的元素构成的集合，即对应于事件的交表示“A和B同时发生”。常简记作。图1.3 的文氏图类似地，交得概念也可以推广到个事件的交,表示“个事件同时发生”，可数个事件的交表示“可数个事件同时发生”。5. 逆事件（对立事件）补集的子集A的补集记为，它是由属于但不属于A的元素构成的集合，因为仅牵涉到属于（样本空间）的点，集合就是由那些不属于A元素组成的。记为图1.4 的文氏图整理为word格式对应于事件，发生当且仅当不发生时发生，称作事件的逆事件。利用上述事件的并和交的运算符号，有 及 6. 事件的差差集集合与的差集由中那些不属于的元素全体组成。对应地，事件的差表示“发生而不发

8、生”即。图1.5 的文氏图7. 互斥（或不相容）事件不交集在集合论中,若,则表明,没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若，则表明，不同时发生，称与互斥（或不相容）。图1.6 的文氏图8. 必然事件和不可能事件样本空间和空集 有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样本空间本身，从集合的定义容易推断出是它自身的子集，从包含关系的左边取一个元素使它不在右边集合中，显然是不可能的，因此。又假设存在集合，该集合不包含任何元素（空的集合），必定是每一个集合的子集，对任何子集整理为word格式，要从中找到一个元素不在中，显然是不可能的，因为没有元素，因此，成立。对应于事件，称试验必然会出现的结果为必然事件

9、。注意到以下等式总是成立的上述事件间的关系与运算可由集合论中的文氏图予以展示。与集合运算一样，事件的运算亦有如下的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，；4对偶律：，。上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件的情况。例如，对个事件有分配律，对偶律留给读者自行写出。整理为word格式 A图1.7 个事件的关系图对可列个事件的分配律也留给读者，此处给出有对偶律及为帮助读者熟悉事件的运算。以三个集合为例，A、B和C的并集，如图1.8的文氏图是有用的。根据图1.8，请读者检验这些等式：整理为word格式图1.8 三个事件的关系图 例 已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。令分

10、别表示其第一、二、三次所抽到的螺钉是次品的事件。试用及其运算表示下列事件：（1）第三次抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到两个次品）；（6）没有抽到次品。解 （1） （2） （3）（4） （5） （6）. 1.2 概 率1.2.1 频率与概率 定义1.2.1 称在相同条件下所做的次试验中事件发生的次数为发生的频数，并称比值为事件发生的频率，记作定义1.2.2 在相同条件下所做的次试验中，当时，事件发生的频率稳定在某个常数附近。称此常数为事件发生的概率，记作整理为word格式1.2.2 概率的公理化定义定义1.2

11、.3 设试验的样本空间为。对于中每一个事件都赋予一个实数，它具有以下三条基本性质：1. ；2. ； 3. 如果 是中任意一列两两互斥的事件，无论有限或无限，如果表示事件“至少出现一个”，则 或表示为，则称实数为事件的概率。利用概率的三条基本性质可以推导出概率的其他性质。4. 。证 因，故由基本性质2及3有，移项即得。 整理为word格式5. 不可能事件的概率为0，即。证 因，由基本性质3有再由性质1得。 注 空集的概率为0，它被称之为不可能事件。但要注意的是这并不是意味着一个概率为0的事件A必须是“不可能”或者等于。将在后面举例说明。6. 有限可加性：若事件两两互斥，则证 因，故，再由性质3和

12、5即得。 注 本性质从概率的可数可加性导出了有限可加性。7. 若，则且。证 由于，则，且与互斥，故由性质6有即。整理为word格式再由性质1，于是。 8.（加法定理）如果和是任何事件，不必是互斥事件，则证 显然和对于每一个等式来说右端的并集中的两个事件都是互斥事件。根据性质3第二个等式给出，把它代入第一个等式就得到了要证明的结论。 可将性质8推广到个事件的情形：如果,是任何事件，不必是互斥事件，则 （1.2.3）右边的这些加和包括了单个事件、两个事件、三个事件等的所有可能的交集。证 遵循性质8的证明可以用归纳法证得，具体的细节省略，熟悉归纳法证明的读者应该没有困难的补充这些证明。 整理为wor

13、d格式1.2.3 古典概型下面讨论一类在概率论发展初期讨论的最多的试验古典概型的概率计算。它适用于有限的离散概率空间的情形，并且每个样本点都以等可能出现。定义1.2.4 设试验的样本空间有有限多个样本点，即，且每个样本点出现的可能性相同。称此试验为古典概型。因为样本点是两两互斥的，根据概率的基本性质2和3，在古典概型中，一方面有，另一方面，所有都相等，所以，可见每一个样本点出现的概率为所以，若事件由个样本点构成，则其发生的概率这是古典概型计算事件概率的基本公式。1.3 独 立 性1.3.1 事件的独立性1.两个事件的独立性从字面意义上说，若事件与事件的发生互不影响，称与相互独立应是恰当的。那么

14、概率论中该如何定义事件的独立性呢？整理为word格式定义1.3.1 称两个事件和互相独立（或者统计意义下的独立），如果 (1.3.1)作为特殊情形，若中有一个是必然事件或不可能事件，则（1.3.1）式显然成立。这表明，任意事件都与（或）相互独立。定理1.3.2 设事件与事件相互独立，则与，与，与亦相互独立。证 以下证明与相互独立，此即和的独立性。关于事件和独立，只要交换和角色即可。类似可证关于事件和的独立性。 初学者往往容易将事件与独立和事件互斥相混淆，常误以为独立就是互斥。或许是独立与互斥这两个汉语词汇的词义相近造成这样的误解。其实当都具有正概率时，由定义1.3.1，若独立，则，从而相容而不

15、是互斥；而当互斥时则因，但，所以不独立。2.多个事件的独立性先考虑3个事件，称事件两两独立，如果 （1.3.2）进一步称互相独立，如果(1.3.2)成立，并且整理为word格式 (1.3.3)也成立。显然互相独立要强于两两独立。读者也许会问，三个事件的独立性可否只用公式（1.3.3）来定义？回答是否定的。由于（1.3.3）式成立不能保证（1.3.2）式成立，若只用（1.3.3）来规定三个事件的独立性就可能出现下面的令人难以接受的结果：当满足，中可能有两个事件不相互独立。请看下面的例子：例 1.3.3 假设投掷两枚均匀的硬币，设是事件“第一次出现正面”，设是事件“第二次出现正面”，设是事件“两个

16、硬币匹配”（两个正面或两个反面）。易知事件和事件是独立事件，而事件和也是独立事件，同样和是独立事件（为什么？）。所以事件，和是两两独立，但是观测，然而 从而事件，和是不独立的，尽管他们是两两独立。 另一种情况，仅有(1.3.3)，也不能保证1.3.2)成立，见下例。例1.3.4 掷一颗骰子，观察其点数。令，则有，于是而 例1.3.3 和1.3.4表明，等式（1.3.2）和（1.3.3）不能互相自然导出。可见由（1.3.2）及（1.3.3）来定义三个事件的相互独立性是完全必要的。以下把它推广到个事件。整理为word格式定义1.3.3 称事件两两相互独立的，如果 (1.3.4)对任何成立.若个事件

17、满足以下个等式 则称个事件相互独立。由此定义看出，在规定个事件的相互独立性时应能保证其中的任意个事件亦相互独立。惟有如此才是合理的。因此也可把上述定义重述为：称一列事件是相互独立的，如果其中任意有限多个事件相互独立。对于个相互独立的事件亦有类似于定理1.3.2的重要结论，这里不再赘述。1.3.2 伯努利概型像掷硬币试验那样只有两个可能结果与的试验称之为伯努利（Bernoulli）试验。又如，射手向某目标射击，只考虑两个结果：击中与未击中；掷一颗骰子考察结果是出现6点还是未出现6点；从一批产品中任意取出一件产品，看其是合格品还是不合格品；买彩票中奖或不中奖；这些都是伯努利试验。为方便计，有时将称

18、作“成功”，而将称作“失败”。整理为word格式与掷硬币试验一样，人们可在相同条件下将伯努利试验重复进行次。显然，次试验的结果应是相互独立的，且每次试验中事件发生的概率都一样。称这样的试验为独立重复试验。定义1.3.4 称独立重复进行的次伯努利试验为重伯努利试验。称独立重复进行的可数次伯努利试验为一个伯努利独立试验序列。例 1.3.6 （例1.2.5续）设一个口袋里有6个红球和4个白球，每次从中取出一个球，再放回，连续取3次。求恰有2个红球的概率。解 这是一个3重伯努利试验。由题设可知每次取到红球的概率为0.6，若以表示第次“取到红球”的事件，则试验的样本空间为由独立性，容易算出每个样本点出现

19、的概率。例如，而。由于事件=“恰有2个红球”=，其中样本点是两两互斥的，所以 1.4 条件概率1.4.1 条件概率定义1.4.1 设为两个事件，若，则定义“事件发生条件下事件发生的条件概率”为 (1.4.2)定义1.4.1适用于任何随机试验（而非只适用于古典概型）的条件概率定义，它同时提供了用无条件概率计算条件概率的方法。因为条件概率也是概率，因此它也应具有类似无条件概率的三条基本性质：整理为word格式1. ；2. ；3. 对两两互斥的事件列，有 （1.4.3）注 条件概率既然是概率，它也应有概率的其他性质，如加法定理：如果和是任何事件，不必是互斥事件，则读者可以把无条件概率的其他性质推广到

20、条件概率。可以把条件概率进一步推广到多个事件的情形，如果是n个事件，给定出现，那么的条件概率由下面的公式给出： （1.4.4）1.4.2 乘法公式利用定义1.4.1立即可得下面的概率乘法定理。定理1.4.2 设为两个事件，则当时， （1.4.5）称上面的公式为乘法公式。整理为word格式有一个重要的特殊情形，当与相互独立时，事件的发生不会改变发生的概率，即时，这时乘法公式变为 （1.4.6）反之，当时，若相互独立，则有独立性定义和公式（1.4.3）有于是得到下面的定理。定理1.4.3 设，则事件相互独立的充要条件是 （1.4.7）下面给出乘法定理的推广形式。定理1.4.4 设有个事件满足，则有

21、 （1.4.8）证 注意到，并次使用定理1.4.2即得。 1.4.2 全概率公式与贝叶斯公式定义1.4.4 假设是为某试验的样本空间的一组互不相容的事件，也就是满足，如果还满足，则称事件组为的一个分割。即任两个不可能同时出现，而且其中一个必须出现。定理1.4.5 设为的一个分割，且有，则对任意事件整理为word格式有 （1.4.10）证 由定理假设，是任何事件，如果发生，那么它必然与中一个同时发生（见图1.9）。即因两两互斥，故亦两两互斥，由概率地定义1.2.3的性质3可得再利用公式(1.4.5)就得 全概率公式可以推广到可数的子集构成的分割的情形。即假设是可数多个互不相容事件，且满足，和，则

22、如果有，则对任意事件有 （1.4.11）下面来探讨另一个问题。如果观测到事件实际发生，要计算条件概率。通过使用(1.4.4)和(1.4.11)，发现整理为word格式 (1.4.12)公式(1.4.12)称为贝叶斯(Bayes)公式，有许多的应用。定理1.4.6(贝叶斯定理) 事件组为的一个分割, 且有，则对任意事件有证 由条件概率公式(1.4.2) 分子使用乘法公式（1.4.5）、分母用全概公式(1.4.10)即得。 通常称上述公式为贝叶斯公式或逆概公式。整理为word格式第一章一、选择题。1、设为随机事件，且，则必有（ ）（A） （B）（C） （D）2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=

23、掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面=正、反面各出现一次， =正面出现两次，则事件有（ ）（A）相互独立 （B）相互独立（C）两两独立 （D）两两独立整理为word格式3、对于任意二事件和，则（ ）（A）若，则一定独立 （B）若，则有可能独立（C）若，则一定独立 （D）若，则一定不独立4、，是两随机事件，当，发生时事件发生，则以下正确的是（ ）A）、 B）、C）、 D）、5、，是三个随机事件，其中，且已知，则以下正确的是（ ）A）、 B）、C）、 D）、6、，是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（ ）A）、 B）、C）、D）、7、，是两个随机事件，其中，则以下正确的是（ ）

24、A）、，一定独立 B）、，不一定独立整理为word格式C）、，一定独立 D）、，不一定独立8、甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率 9、10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为 10、若A,B为任意两个随机事件，则 ( )(A) (B) (C) (D) 11、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 （ ）(A)(B)(C)(D) 12、设是两个随机事件,且则必有（ ）(A)(B)(C) (D)整

25、理为word格式二、填空题1、 ，是两随机事件，则 。2、 ，是两随机事件，则 。3、 ，是两随机事件，则 。4、一袋中有10件产品，其中3件次品，7件正品，从中不放回地取3次，则“至少有两件次品的概率”为 。5、从5双不同的鞋子中任取4只，则此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为 。6、设有个人，每个人都等可能的被分配到个房间中的任意一间去住，求（1）、指定的个房间各有一个人住的概率为 。（2）、恰有个房间各有一个人住的概率为 。7、从中任取两个数和，则满足条件的的概率为 。8、随机地向半圆（其中，是常数）内掷一点，则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_。9、从长度为的线段内任取两个

26、点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率为 。10、试证对任意两个事件与，如果，则有）11、 设P(A)0，P(B)0，证明(1)若A与B相互独立，则A与B不互斥(2)若A与B互斥，则A与B不独立整理为word格式12、设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：ABC，P(A)P(B)P(C),并且，求事件A的概率13、一袋中有5件产品，其中2件次品，3件正品，从中不放回地取2次，设=第一次取得正品，=第二次取得正品，则 。14、若在区间内任取两个数,则事件”两数之和小于”的概率为_.15、在区间中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为_.16、设两个相互独立的事件和都不发生

27、的概率为,发生不发生的概率与发生不发生的概率相等,则=_. 17、一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.18、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.整理为word格式 第二章 一维随机变量及其分布整理为word格式2.1随机变量 随机试验有各种不同的可能结果，有些情况下，这些可能的结果都可以用数量表示。【例】 在含有3件次品的20件产品中，任意抽取2件观察出现的次品数。如果用表示出现的次品数，则可能取的值有0、1、2，取不同的值代表不同事件的发生。“”表示

28、事件“没有次品”“”表示事件“有一件次品”“”表示事件“有两件次品”。有些试验结果并不直接表现为数量，但可以使其数量化。【例】 抛掷一枚硬币，观察出现正面还是反面。我们规定：变量取值如下“”表示事件“出现反面”“”表示事件“出现正面”这样便把试验结果数量化了。 无论哪一种情形，都体现出这样的共同点：对随机试验的每一个可能结果，有唯一一个实数与它对应。这种对应关系实际上定义了样板空间上的函数，通常记作，。定义 设随机试验的样板空间为，是定义在样板空间上的实单值函数，称为一维随机变量，通常用大写字母等表示。随机变量的取值随试验的结果而定，在试验前不能预知它取什么值，即随机变量的取值是随机的，具有偶

29、然性；但随机变量取某一值或某一范围内值的概率是确定的，具有必然性。如，例1中“有一件次品”；例2中(“出现正面”)。这显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。 引入随机变量，可以将对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，进一步有可能用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入的研究。根据随机变量取值情况的不同，最常见的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种。整理为word格式2.2离散型随机变量 定义 如果随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。例如，“掷骰子出现的点数”， “某班数学的及格人数”只能取有限个值，“命中目标前的射击次数”可取可列无穷多个

30、值，它们都是离散型随机变量。一、离散型随机变量的概率分布对于离散型随机变量，除了要知道它可能取哪些值外，更重要的是要知道它取这些值的概率。定义 设离散型随机变量所有可能取的值为，取这些值的概率依次为，则称 ， () 为离散型随机变量的概率分布或分布律。概率分布也可以用如下表格的形式表示：由概率的定义，概率分布具有以下两个性质：（1）， （2）。整理为word格式【例】 若离散型随机变量的概率分布为 求常数的值。解 由概率分布的性质，有所以 。二、三种常见离散型随机变量的分布1分布（或两点分布）定义 设随机变量只可能取0、1两个值，它的概率分布为 ，（） 即 ，或01则称服从参数为的分布或两点分

31、布。只有两种可能结果的随机试验的概率分布都可用两点分布表求，如产品的“合格”与“不合格”；新生儿的“男”、“女”性别；射击目标“命中”与“没命中”；以及掷硬币的“出现正面”与“出现反面”等等。2二项分布整理为word格式定义 设随机试验只有两种可能的结果：或，在相同条件下将重复进行次，各次试验结果互不影响，则称该次试验为重独立试验，又称为重贝努利试验。若试验中，事件发生的概率，（），可以证明在重贝努利试验中，事件恰好发生次的概率为 。定义 若随机变量的概率分布为，（）其中，则称服从参数为的二项分布，记为。可以证明其满足分布律的两个条件。特别地，当时，二项分布化为即为分布或两点分布。注意到恰是二

32、项展开式中的第项，二项分布由此得名。 满足二项分布的随机变量的取值就是事件在重贝努利试验中发生的次数。3泊松分布定义 设随机变量所有可能取的值为，而取各个值的概率为，（）其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，记为。可以证明其满足分布律的两个条件。一般地，泊松分布可以作为描述大量重复试验中稀有事件出现的频数的概率分布情况的数学模型，即当很大，很小，而乘积大小适中时，二项分布整理为word格式可以用泊松分布作近似，（）2.3随机变量的分布函数 一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率 只要利用一维坐标轴就分容易得出下列结论当 所以，我们只须定义一个形式就可以了，其

33、他区间形式都可以用它表示出来。于是定义：为的分布函数。它就是落在任意区间上的概率，本质上是一个累积函数，对于离散点，采用叠加，对于连续点，使用一元积分。定义 设是随机变量，是任意实数，函数称为的分布函数。分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数x左边的概率分布函数具有性质：整理为word格式1. ；2. 是的不减函数；3. ，；4. ，即是右连续的。上述全部可能的表示中，只有，但，因为假如 ，那么，当离散型在点的概率不为零时，等式就会出现矛盾，故不可能左连续。其中，是计算离散型分布函数的重要公式。 又，上式中根本不可能出现的形式，对上述5种关系没有

34、任何影响，即右连续。当然，由于连续型在一点的概率恒为零，所以，连续型分布函数左连续和右连续同时成立。正是要求右连续，才使成为分布函数的普适定义。评 注 分布函数可以描述任何类型的随机变量，不仅可以描述连续型，还可以描述离散型及其其他非连续型，但不同的随机变量可以有相同的分布函数。对连续型任一点的概率等于零，而对非连续型任一点的概率不一定等于零。我们要重点掌握离散和连续两类随机变量的分布规律。注意，存在既非离散型又非连续型的分布函数，如整理为word格式等类型。 例 设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是（ ）（A） （B）（C） （D）【例】 设都是分布函数，常数，证

35、明也是分布函数，并举例说明分布函数不只是离散与连续两种。证明：分布函数的三个基本条件：（1）（2）（3）所以，也是分布函数。取：，并令整理为word格式由于是不连续的分段函数，故即不是离散型，又不是连续型。例 设的分布函数为，求的概率分布。解：由于要求右连续，故等号必须加在号上。又由于每一区间的为常数，故具有离散型特征。在处有第一类跳跃间断点，即在这些点的概率不为零，即正概率点存在。计算如下 的概率分布（即离散分布律）为13 2.4连续性随机变量及其概率密度 一、连续性随机变量及其概率密度整理为word格式定义 对随机变量的分布函数，如果存在非负函数，使对任意实数，有则称为连续型随机变量，其中

36、称为的概率密度函数，简称概率密度。显然，改变概率密度在个别点的函数值不影响分布函数的取值。 概率密度具有性质： 1. ； 2. ； 3. 对于任意实数，有； 4. 若在点连续，则有。概率密度表示的不是随机变量取值的概率，而是在处概率分布的密集程度，的大小能反映出在领域内取值概率的大小，。 【例】 设连续型随机变量X具有概率密度 （1）确定常数；（2）求的分布函数；（3）求。连续型随机变量的分布函数是的连续函数；取任一实数值的概率为0，即整理为word格式，因此有注意：，但不一定是不可能事件；同样，但不一定是必然事件。二、三种常见连续型随机变量1均匀分布定义 设连续型随机变量的概率密度为则称在区

37、间服从均匀分布，记为。可以证明它满足概率密度的两个最基本性质。它的分布函数为【例】设随机变量X在2，5上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测。试求至少有两次测值大于3的概率。解 依题意得X的密度函数为 设Y表示三次独立观测中其测值大于3的次数，则整理为word格式2指数分布定义 设连续型随机变量的概率密度为其中为常数，则称服从参数为的指数分布，记为。可以证明它满足概率密度的两个最基本性质。它的分布函数为例 指数分布的特点是：“无记忆性”，即。试证明之。证明： 例（2013数一）.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则PYa+1|Ya= 。例.设随机变量X服从参数为的指数分布,

38、且X落入区间（1,2）内的概率达到最大,则= . 3正态分布定义 设连续型随机变量的概率密度为，整理为word格式其中为常数，则称服从参数为的正态分布，记为。可以证明它满足概率密度的两个最基本性质。它的分布函数为，当时，称服从标准正态分布，记为，其概率密度和分布函数分别为，。易知 。对于一般正态分布和标准正态分布，有以下关系：引理 若，则。由此得 【例】 已知，求和。 【例】 设，求落在区间内的概率。定义 设，对于给定的，如果满足条件整理为word格式则称点为标准正态分布的上分位点。显然有 ，。常见的的值 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.103.090 2.576

39、2.327 1.960 1.645 1.282 2.5随机变量的函数的分布 在实际问题中，不仅需要研究随机变量，往往还要研究随机变量的函数，即已知随机变量X的概率分布，求其函数Y = g (X )的概率分布. 【例】 设随机变量具有以下分布，试求：（1），（2）的分布律小结：设离散型随机变量的分布律为 ， 其函数Y = g (X )的分布律可按如下步骤计算： （1）计算全部可能取的值：，有相同的只取其中之一，然后将它从小到大排列，记为； （2）计算取各个值的概率：如果 只与相同，则；如果与都相同，则。对每个整理为word格式都作同样处理，就可确定取各个值的概率 【例】设随机变量具有概率密度求随

40、机变量的概率密度。 【例】 设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量在（0，4）内的概率密度=_小结：设连续型随机变量的概率密度为，如何计算其函数Y = g (X )的概率密度？ （1）一般地，可先求的分布函数，由“”解出，得到一个与“”等价的的不等式，并以后者代替“”（这一步是关键），然后将对求导得到概率密度。【例】已知随机变量的服从上的均匀分布，求的概率密度。解:： 分布函数定义法的概率密度为： 先确定的值域为。故当时整理为word格式的单调区域有两个，即，根据反函数的定义，的两个单调区域存在反函数。使用一般法，得 【例】服从，求, , 的概率密度。解： 一般解法：由，故，当当时

41、=故的概率密度 （2）由知，当时，；当时，因为不存在反函数，故使用一般解法 整理为word格式 = 由知，当时，,当时 整理为word格式第二章 习题（A）一 填空题1 设随机变量X的分布函数为 则_。2 设随机变量X的密度函数为 则常数C=_。3 设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，则P（Y=2）=_。4 设X服从0，1上的均匀分布，则概率=_。整理为word格式5 设为其分布函数，则对任意实数，有_。6 设连续型随机变量X的概率密度为 则 _。7 设随机变量X的概率密度为 又为（0，1）中的一个实数，且，则_。8 若 则X的密度函数的两个拐点为_。9 设

42、X服从参数为的泊松分布，则使得达到最大的_。10设X服从0，1上的均匀分布，则随机变量的概率密度为_，的概率密度为_。二选择题1下列函数中能够作为分布函数的是（A） （B）（C） （D） 2设随机变量而且C满足，则C等于（A）0 （B）2008 （C）1998 （D）2010 整理为word格式3设为一概率密度，则k的值为（A） （B） （C） （D） 4下列命题正确的是（A）连续型随机变量的密度函数是连续函数。（B）连续型随机变量的密度函数满足。（C）连续型随机变量的分布函数是连续函数。（D）两个概率密度函数的乘积还是密度函数。 5设随机变量X的概率密度为，分布函数为，且，则对于任意实数，有

43、=（A）F(a) （B）（C） （D） 6设 对于任何正数，有（A） （B）（C） （D） 7设都是随机变量的分布函数，则为使是某随机变量的分布函数，必须满足（A） （B）（C） （D） 整理为word格式8设为随机变量的分布函数，是密度函数，则（A）是密度函数。（B）是密度函数。（C）对任何满足是密度函数。（D）是分布函数。 三解答题1设随机变量X的概率密度为 求X的分布函数F（X）和概率。2假设随机变量X的概率密度为 对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，试求Y的分布律。3一个袋中有5只球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，求X的分布律。4设10件产品中有7件正品、3个次品，现随机地从中抽取产品，每次抽1件，直到抽到正品为止，求：（1）有放回抽取下，抽取次数的分布律与分布函数；（2）无放回抽取下，抽取次数的分布律与分布函数。整理为word格式5设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为 某顾客在窗口等待服务，若超过