质点运动学课件学习教案

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1、会计学1第一页，共55页。关于力学(l xu)中的几个基本问题：一、什么是力学？ 力学是研究物体机械运动规律及其应用(yngyng)的科学。（1）什么是机械运动？ 一个物体相对于另一个物体的位置或者一个物体的某些部分相对于其他部分的位置随着时间而变化的过程，叫做机械运动。 机械运动是最简单、最基本的运动，牛顿运动定律是经典力学的基础。经典力学只研究少体问题（一个或几个物体的相互作用规律）以及弱引力场中宏观物体的低速运动。对于多体、系宗问题则是统计物理的范畴；研究高速运动物体要用到爱因斯坦的相对论；研究微观粒子则要用到玻恩、狄拉克等的量子力学。 第1页/共55页第二页，共55页。二、力学的分类

2、通常把力学分为运动学、动力学和静力学。 运动学：研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因。（位移，速度，加速度，轨迹等的描述和计算） 动力学：研究受力物体的运动变化与作用力之间的关系。（运动微分方程的建立和求解） 静力学：研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。（平衡方程的应用(yngyng)和受力分析）第2页/共55页第三页，共55页。三、力学的发展史 早在(公元前287212)古希腊阿基米德著的论比重就奠定了静力学基础。 意大利的达芬奇(14521519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。 波兰的哥白尼(14731543)创立宇宙“日心说”。德国的开普勒

3、(15711630)提出行星运动三定律。 意大利的伽利略(15641642)自由落体规律(gul)、惯性定律及加速度的概念。 英国伟大科学家牛顿(16431727)在1687年版的自然哲学的数学原理一书总其大成，提出动力学的三个基本定律、万有引力定律、天体力学等。 第3页/共55页第四页，共55页。第4页/共55页第五页，共55页。第5页/共55页第六页，共55页。普通(ptng)物理中常用的两种坐标系：直角坐标系和自然坐标系第6页/共55页第七页，共55页。k zj yi xrrzryrxzyxrcos,cos,cos222方向：大小：第7页/共55页第八页，共55页。ktzjtyitxr)

4、()()()()()(tzztyytxx 当质点运动时，它在空间的位置将随时间变化，故此时的 或x、y、z 都是时间的函数，即：r以上两式都叫做质点(zhdin)的运动函数。第8页/共55页第九页，共55页。 0),(0),()()()(tzyxGzyxFtzztyytxx消去 将参数方程(fngchng)消去时间t，得到的方程(fngchng)称为轨迹方程(fngchng)，即：4. 运动叠加原理或运动独立性原理 内容：一个运动可以看成是由几个同时进行的、且各自独立进行的运动叠加而成的。 对于同一质点的运动，选择不同参考系，其运动函数是不同的，但若在同一参考系中，即使选择的坐标系不同，但其轨

5、迹曲线(qxin)却只有一条，即轨迹方程是相同的。第9页/共55页第十页，共55页。)()(trttrABrsr)(),(tsstrrrBrAr第10页/共55页第十一页，共55页。第11页/共55页第十二页，共55页。vrtr ttr tt()( )ttsttstsv)()(r)(ttr)(tr第12页/共55页第十三页，共55页。dtrdtrvtlim0dtdstsvtlim0vvvv,r)(ttr)(tr第13页/共55页第十四页，共55页。vvvvvvvvvvkvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdvktzjtyitxtrrzyxzyxzyxcos,cos,cos:)()()

6、()(222方向大小第14页/共55页第十五页，共55页。ttvttvtva)()(220limdtrddtvdtvat第15页/共55页第十六页，共55页。aaaaaaaaaakajaiakdtdvjdtdvidtdvdtvdaktvjtvitvtvvzyxzyxzyxzyxzyxcos,cos,cos: )()()()(222方向大小第16页/共55页第十七页，共55页。解：（1）将运动方程(fngchng)的矢量形式改写成参数形式，联立方程(fngchng)消去时间t就可以得到质点运动的轨迹方程(fngchng)，即：23/232112()(1)22xtxyxyt 例1-1，已知质点的运

7、动(yndng)方程为：23(21)(2) ( )(0)rtitj m t 求：（1）质点运动的轨迹(guj)方程； （2）t=0(S)到t=2(S)内的平均速度； （3）t=0(S)和t=2(S)时的瞬时速度； （4）t=0(S)到t=2(S)内的平均加速度； （5）t=0(S)和t=2(S)时的瞬时加速度。第17页/共55页第十八页，共55页。（2）)(88(67,220mjirjirjir )/)(44(smjitrv （3）)/)(128(3422smjivjti tdtrdv （4）jti tdtrdv234jivv128, 020 )/)(64(2smjitva （5）)/)(12

8、4(6422smjiaj tidtvda 第18页/共55页第十九页，共55页。例例 1-2 如图，一人拉着绳子的一端在水平面上以速度如图，一人拉着绳子的一端在水平面上以速度0v匀速前进。求当绳子与水平面夹角为匀速前进。求当绳子与水平面夹角为时，重物上时，重物上升的速度和加速度。升的速度和加速度。（已知量还有（已知量还有 h，滑轮滑轮的大小忽的大小忽略不计）略不计） 0v第19页/共55页第二十页，共55页。方法(fngf)一：利用速度和加速度的概念求解解：以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立(jinl)如图所示的坐标系。假设绳长为L，那么：22yhxhL由速度的定义(dngy)可知：0dy

9、dy dxdyvvdtdx dtdx将y对x求导，并带入上式可得：0022cosv xvvxh第20页/共55页第二十一页，共55页。由加速度的定义(dngy)可知：32220022230sindvdv dxadtdx dtv hdvvdxxhvh方法二：利用(lyng)极限求解解：同样以水平(shupng)方向为x轴，竖直方向为y轴，建立如图所示的坐标系。假设绳长为L，经过时间t第21页/共55页第二十二页，共55页。之后，人从A位置走到B位置，AB=x，在这段时间内绳子拉长了OB-OA=BB,其中OA=OB，那么当t0时，则 ， 。因为：0AOB 2AB B0cosABxvtxB Bx 0

10、00coslimlimcosttxxvvtt 所以(suy)：由于(yuy)在逐渐减小，所以重物的速度是随着而变的，在t时间内速度的改变量为：第22页/共55页第二十三页，共55页。000coscoscoscossinsincossinvvvv 所以(suy)重物的加速度为： 000limsinlimttvavtt 200230sinsinsinsinsinvtvtABOAhhvah第23页/共55页第二十四页，共55页。第24页/共55页第二十五页，共55页。 设质点做变速的曲线运动，在轨迹上任一点建立如下坐标系，其中一根坐标轴沿着轨迹在该点P的切线方向，该方向的单位矢量用 表示；另一坐标轴

11、沿该点轨迹的法线并指向曲线的凹侧，相应的单位矢量用 表示，这种坐标系就叫做自然坐标系。enen第25页/共55页第二十六页，共55页。 圆周运动是曲线运动的一个重要特例，在一般的圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变(gibin)着，即存在着加速度；如果质点作匀速率圆周运动，那就意味着速度只改变(gibin)方向而不改变(gibin)大小。ABvvABvv第26页/共55页第二十七页，共55页。 设质点沿一个圆心在O点、半径为R的圆周作匀速率圆周运动，质点在t到t+t时间内由A点运动到B点，则弦长AB就是这段时间内质点经过的位移(wiy)，弧长AB就是这段时间内质点经过的路程。质点在两点的速

12、度分别为vA和vB，如图所示。第27页/共55页第二十八页，共55页。由加速度的定义(dngy)可知：00limlimBAttvvvatt 现分别讨论a的大小和方向： 将vA和vB平移，使二者有一共同(gngtng)的起点O，就可以画出v。由图中可见两个等腰三角形相似，由此可以得到如下关系：RABvv当时间(shjin)t趋于零时，B点无限趋近于A点，则弦长AB趋近于弧长AB，于是a的大小为：第28页/共55页第二十九页，共55页。0020limlimlimtttvv ABatRtvSvRtR a的方向(fngxing)可以这样确定：122AO A BABtABvvavta 在等腰三角形中，当

13、趋于零时，也趋于零，所以有：，即的极限位置与相垂直，而 的方向就是在趋于零时的方向，可见 的方向沿着圆周的半径指向圆心，故又称为向心加速度或法向加速度。法向加速度只是反映速度方向变化(binhu)的快慢。第29页/共55页第三十页，共55页。质点的速率(sl)在不断变化的圆周运动称为变速率(sl)圆周运动. 设质点沿一个圆心在O点、半径为R的圆周作变速率圆周运动，质点在t到t+t时间内由A点运动到B点，质点在两点的速度分别(fnbi)为vA和vB，如图所示。将vA和vB平移，使二者第30页/共55页第三十一页，共55页。:nnnOvvvO CO Avvvvv 有一共同的起点。考虑到在匀速率圆周

14、运动中速度增量的特点，将这里的分解为两个分量和，并使线段显然，式中的相当于匀速率圆周运动中的。第31页/共55页第三十二页，共55页。000limlimlimnntttvvvaaattt 加速度可以(ky)写成：0limBABAttvvvvvvAavdvatdt 当趋于零时，的方向趋于的方向，因为的方向与的方向一致，所以的极限方向就是的方向，即沿 点的切线方向，故称为切向加速度，其大小等于瞬时速率对时间的变化率，即：切向加速度只是(zhsh)反映速度大小的变化。总加速度a的大小(dxio)和方向：22tannnaaaaa第32页/共55页第三十三页，共55页。 设一质点在平面Oxy内，绕原点O

15、作圆周运动。如果在时刻t，质点在A点，半径OA与x轴成 角， 角就叫做(jiozu)角位置。 在时间t+t，质点到达B点，半径OB与x轴成+ 角，就是说，在t时间内，质点转过的角度， 就叫做质点对O点的角位移。 角位移不但有大小而且有转向。一般规定沿反时针转向的角位移取为正值，沿顺时针转向的角位移取为负值。第33页/共55页第三十四页，共55页。dtdttlim0 角位移与时间t 之比，叫做在t这段时间内质点对O点的平均角速度，以 表示，即t 如果t 趋近于零，相应(xingyng)的也趋近于零，而比值趋近于某一极限值，即 就叫做某一时刻(shk)t质点对O点的瞬时角速度。 角速度的增量与时间

16、t 之比，叫做在t这段时间内质点对O点的平均角加速度，以 表示，即t第34页/共55页第三十五页，共55页。dtdttlim0 如果t 趋近于零，比值(bzh)趋近于某一极限值，即 就叫做(jiozu)某一时刻t质点对O点的瞬时角速度。注：角位移的单位(dnwi)为rad，角速度和角加速度的单位(dnwi)为rad/s和rad/s2。第35页/共55页第三十六页，共55页。Rv RaRan2 设圆的半径为R，在t时间内，质点的角位移为 ，那么质点在这段时间内的线位移就是有向线段 。当极小时，弦 和弧AB 可视为等长，即AB AB ABR 等式两边(lingbin)同除以t，当t趋于零时，按照速

17、度和角速度的定义得到线速度和角速度之间的关系式：vR 第36页/共55页第三十七页，共55页。例例 1-3 有一质点沿半径为有一质点沿半径为 R=2(m)圆轨道作圆周圆轨道作圆周运动，运动， t 时刻的角位置时刻的角位置22t（弧度） ， 求（弧度） ， 求 t=1(s)时质点的速度和加速度。时质点的速度和加速度。 解：tdtd，dtd )/(22)/(2)/(22222222smtRasmRasmtRvn )/(2smv，)/(2222smna 第37页/共55页第三十八页，共55页。PPvvnvvvvvvvvvnvv第38页/共55页第三十九页，共55页。vvvnvvn0020limlim

18、limnntttvvattvsvs t 0limnntvat 第39页/共55页第四十页，共55页。 质点运动时，如果同时有法向加速度(sd)和切向加速度(sd)，那么速度(sd)的方向和大小将同时改变，这是一般曲线运动的特征。讨论(toln)：（1）质点运动时，如果只有切向加速度，没有法向加速度，那么速度不改变方向，只改变大小(dxio)，这就是变速直线运动。 （2）质点运动时，如果只有法向加速度，没有切向加速度，那么速度只改变方向，而不改变大小(dxio)，这就是匀速曲线运动。第40页/共55页第四十一页，共55页。0 xy0vxv0yv0gv 在研究抛体运动时，通常都取抛射点为坐标原点，

19、而沿着水平方向和竖直方向分别引x轴和y轴。 从抛出(po ch)时刻开始计时，则t=0时刻，物体位于原点，以v0表示物体的初速度，以表示抛射角，则任意时刻t速度v在x轴和y轴的分量为：第41页/共55页第四十二页，共55页。020cos1sin2xvtyvtgt 0sinyvvgt0cosxvv00cossinvvivgt j20001cossin2trvdtv tiv tgtj消去时间t222012cosgxyxtgv轨迹方程第42页/共55页第四十三页，共55页。 从x的表达式来看，显然(xinrn)要想得到最大射程，只要sin2 =1，即=45即可。20sin2vxg抛体的射程(shch

20、ng)20sin2vxg220sin2vhg第43页/共55页第四十四页，共55页。例例 1-4 一物体以初速度一物体以初速度 v0，抛射角，抛射角 抛出，抛出，试试求求任任意时刻物体的切向和法向加速度。意时刻物体的切向和法向加速度。 第44页/共55页第四十五页，共55页。解：选取直角坐标系如图，物体作抛物线运动。根据运动叠加原理，物体可以看作是在水平方向(fngxing)的匀速直线运动，同时在竖直方向(fngxing)作匀变速直线运动，加速度为g，则有：0000cossinxxyyvvvvvvgt则在任意(rny)时刻t的速度v的大小为：2222 2002sinxyvvvvg tv gt因

21、为速度(sd)v的方向即为该点抛物线的切线方向，那么设速度(sd)v与x轴方向的夹角为，由图可知：cossinyxvvvv第45页/共55页第四十六页，共55页。cossinnagag 而又有：将sin 和cos 的值代入上式，可得：022 200coscos2sinxngvgvagvvg tv gt2022 200sinsin2sinygvgvg tagvvg tv gt 讨论： （1）物体达到最高点时，速度v与x轴方向的夹角是多少？切向加速度和法向加速度又各是多少？（2）最高点的曲率(ql)半径是多少？第46页/共55页第四十七页，共55页。第47页/共55页第四十八页，共55页。1.运动

22、的相对性 描述某个物体的运动时，必须(bx)指明是相对于那个参考系。这是因为即使是同一物体的运动，相对于不同的参考系的运动形式是不同的。 物体的运动形式随着参考系的不同而不同，这就是运动的相对性。 通常，把相对观察者静止的参考系称为定参考系或静参考系，把相对观察者运动的参考系称为动参考系；把物体相对于动参考系的运动称为相对运动（相应的有相对速度和相对加速度），物体相对静参考系的运动称为绝对运动（相应的有绝对速度和绝对加速度）。动参考系相对静参考系的运动称为牵连运动（相应的有牵连速度和牵连加速度）。 第48页/共55页第四十九页，共55页。2.参考系的变换 设有两个参考系相应的坐标系分别为S（O

23、xy）、S （Oxy）对应的轴互相平行，设S系相对于S系作变速直线运动。 在t =0时刻，两个坐标系的原点O和O重合。在t 时刻，O点相对于O点的位移为r0，空间一质点P在t 时刻相对于S系的位矢为r，相对于S系的位矢为r。rr0r第49页/共55页第五十页，共55页。 矢量相加时，各个矢量必须在同一坐标系中进行测量。然而(rn r)根据空间的绝对性（空间的两点不论从哪个坐标系测量，结果是一定的）和时间的绝对性（时间的测量与坐标系无关），所以质点P在两个坐标系中的坐标变换公式为：rr0r0rrrtt 随着时间的变化，对等式(dngsh)两端取时间的微分得：0vvv 如果质点的运动速度是随时间变

24、化(binhu)的，则对速度取时间的导数，得：0aaa绝对=相对+牵连第50页/共55页第五十一页，共55页。解：在地面(dmin)和平板车上分别建立坐标系如图：根据速度变换定律：0vvvv绝对相对牵连由定义(dngy)可知，在本题中：v牵连：小车相对于静止坐标系的速度 。0vv相对：观察者A所看到的速度，即车前进的反方向呈60角向上斜抛出的速度，用 表示。v第51页/共55页第五十二页，共55页。103 .17601060smtgtgvvvvv0v绝对：石块相对于静止坐标系的速度，用 表示。v22222017.315.322 9.80vvaSvHmg末初第52页/共55页第五十三页，共55页。第53页/共55页第五十四页，共55页。第54页/共55页第五十五页，共55页。