超静定结构与弯矩分配法课件

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1、超静定结构与弯矩分配法课件第7章 超静定结构与弯矩分配法超静定结构与弯矩分配法课件第一节第一节 超静定结构和静定结构的差别超静定结构和静定结构的差别一、几何组成分析超静定梁：静定梁：有多余支座几何可变静定结构是没有多余约束的几何不变体系超静定结构是有多余约束的几何不变体系超静定结构与弯矩分配法课件二、超静定结构的优缺点1.超静定结构的优点1）超静定结构在抵抗外荷载时具有较大的刚度。刚度：力在所作用点产生单位位移时所需的力。d1ddPKPK11超静定结构与弯矩分配法课件静定梁超静定梁d1ddPKPK11超静定结构与弯矩分配法课件2)超静定结构与静定结构相比具有较低的应力连续性超静定结构与弯矩分配

2、法课件2.超静定结构的缺点连续性1）支座沉降会引起内力和变形可能导致超载超静定三跨连续梁支座B相对沉降 对于超静定结构，可以导致结构变形的任何原因，如相对的沉陷、温度改变引起的杆件长度变化或者制造误差等，都会使整个结构产生内力。超静定结构与弯矩分配法课件1 1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；2 2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还必须考虑变形条件；必须考虑变形条件； 如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计算。再由算。再由

3、M=MM=Mi iX Xi i+M+MP P 叠加内力图。如只考虑平衡条件画出单叠加内力图。如只考虑平衡条件画出单位弯矩图和荷载弯矩图，位弯矩图和荷载弯矩图，X Xi i是没有确定的任意值。是没有确定的任意值。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。3 3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征有关，即与刚度有关。有关，即与刚度有关。 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内

4、力；然后再根据内定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内力重新选择截面。力重新选择截面。 另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。小结：小结：超静定结构与弯矩分配法课件l/2l/2Pl/4PPPPPl/4 5 5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较高的防御能力。高的防御能力。6 6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小局部的内力幅值和位移幅值。局部的内力幅值和位移幅值。PlP 多余约束约束的存在，使结构的

5、强度、刚度、稳定性都有所提高。=1=1/2超静定结构与弯矩分配法课件1MABMBA等截面杆件的刚度方程等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩一、由杆端位移求杆端弯矩（1 1）由杆端弯矩）由杆端弯矩 BABAABMM和引起的和ABMABMBAlABMABMBA利用单位荷载法可求得利用单位荷载法可求得BAABBAABAMMEIllMlMEI61313132211设设ilEIBAABAMiMi6131同理可得同理可得BAABBMiMi31611 杆端力和杆端位移的正负规定杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角杆端转角A A、B B ，弦转角，弦转角 / /l l都以顺时针为正。都以顺时针为正。

6、杆端弯矩对杆端以顺时针为正杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。对结点或支座以逆时针为正。E I超静定结构与弯矩分配法课件ABE IE IM MABABM MBABAl l ABM MABABM MBABABAABAMiMi6131BAABBMiMi3161 AB（2 2）由于相对线位移）由于相对线位移 引起的引起的 A A和和 B BlBA以上两过程的叠加以上两过程的叠加lMiMiBAABA6131lMiMiBAABB3161我们的任务是要由杆端位移求我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：杆端力，变换上面的式子可得：)2(12662lililiQQBABAAB

7、) 1 (642624liiiMliiiMBABABAAB超静定结构与弯矩分配法课件AB用力法求解单跨超静定梁用力法求解单跨超静定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11BCACXXXX22221211212111221133221EIllEI211263121EIllEICCl21BAlXEIlXEIllXEIlXEIl21213663lEIi liiiXliiiXBABA64262421超静定结构与弯矩分配法课件可以将上式写成矩阵形式可以将上式写成矩阵形式BAABBAABlilililiiiliiiQMM21266642624超静定结构与弯矩分配法课件AMAB几种不同远端支座的刚

8、度方程几种不同远端支座的刚度方程（1 1）远端为固定支座）远端为固定支座AMABMBA因因 B = 0，代入，代入(1)(1)式可得式可得liiMliiMABAAAB6264（2 2）远端为固定铰支座）远端为固定铰支座因因MBA = 0，代入代入(1)(1)式可得式可得liiMAAB33) 1 (642624liiiMliiiMBABABAABAMABMBA（3 3）远端为定向支座）远端为定向支座因0,0BAABBQQ代入（代入（2 2）式可得）式可得Al21ABAAABiMiM)2(12662lililiQQBABAABlEIlEIlEI超静定结构与弯矩分配法课件由单位杆端位移引起的杆端力称

9、为形常数。由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1212lili 6li 6li 6AB10li 3AB=13i023liAB=1ii0li 3超静定结构与弯矩分配法课件二、由荷载求固端反力二、由荷载求固端反力mABEIqlABQBAQ82qlmABqlQqlQBAAB838582qlmBAqlQqlQBAAB8583EIqlABQBAQmBAABBAABQlililiQ21266BABABAABBAABmliiiMmliiiM642624 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角在已知荷载及杆端位移

10、的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：位移方程）：超静定结构与弯矩分配法课件第二节第二节 超静定结构的计算方法概述超静定结构的计算方法概述1.力法是将超静定结构的多余未知力作为首先解决的对象，通过把多余未知力计算出未成为已韧力以后，剩下的问题便可归结为静定结构的计算。2.位移法是通过向原结构中沿独立位移方向人为地添加约束，并引入未知位移作为首先解决的现象，当把未知的节点位移计算出来以后，剩下的问题就可以把杆件的杆端弯矩求出，又使问题成为静定结构的计算。3. 有限元法或称结构矩阵分析。4.渐进法超静定结构与弯矩分配法课件1 1、线性代数方程组的解法、线性代数方程组的解法: : 直接法直接

11、法 渐近法渐近法2 2、结构力学的渐近法、结构力学的渐近法力学建立方程，数学渐近解力学建立方程，数学渐近解不建立方程式，直接逼近真实受力状不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。的物理意义。3 3、不建立方程组的渐近解法有：、不建立方程组的渐近解法有：(1)(1)弯矩分配法：弯矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。适于连续梁与无侧移刚架。(2)(2)无剪力分配法：无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。适于规则的有侧移刚架。(3)(3)迭代法：迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。它们都属于位移法

12、的渐近解法。它们都属于位移法的渐近解法。渐近法概述超静定结构与弯矩分配法课件弯矩分配法的基本概念弯矩分配法的基本概念弯矩分配法弯矩分配法理论基础：位移法；理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上在数值上 = = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及（

13、材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，远端支承有关， 而与近端支承无关。而与近端支承无关。一、转动刚度一、转动刚度S ：超静定结构与弯矩分配法课件分配系数分配系数SAB = 4i1SAB= 3i11SAB= i二、分配系数二、分配系数 设设A点有力矩点有力矩M，求，求MAB、MAC和和MADCABDiABiACiADAM如用位移法求解：如用位移法求解：AABAABABSiM 4AACAACACSiMAADAADADSiM 3MMABMACMAD0AmAADACABSSSM)(AADACABASMSSSMMSSMAADAD于是可得于是可得MSSMAABABMSSMAACACMMA

14、jAjAAjAjSS1超静定结构与弯矩分配法课件三、传递系数三、传递系数MAB = 4 iAB AMBA = 2 iAB A21ABBAABMMCMAB = 3iABA0ABBAABMMCMAB= iABAMBA = - iAB A1ABBAABMMC 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。AlAB近端近端远端远端ABAAAB超静定结构与弯矩分配法课件四、杆端弯矩四、杆端弯矩:支座对靠近支座的杆件这一端的弯矩支座对靠近支座的杆件这一端的弯矩1

15、.计算杆端弯矩的目的2.近端弯矩和远端弯矩3.杆端弯矩一律以顺时针方向为正超静定结构与弯矩分配法课件固端弯矩：对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩，称为固端弯矩，用 表示。MMM五、固端弯矩五、固端弯矩 将每相邻两节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固端弯矩。超静定结构与弯矩分配法课件基本运算基本运算ABCABCMBMBABC-MBBAMBCMABM0-MBBAMBCM)(BBABAMM)(BBCBCMM+=最后杆端弯矩：最后杆端弯矩：MBA =BAMMBC =BCMMAB=ABM然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。然后各跨分别

16、叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号固端弯矩带本身符号单结点的弯矩分配ABMBAMBCMBAMBCMABMBAMBCMBAMABMBCMBCBABMMM超静定结构与弯矩分配法课件例1. 用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1 1）B点加约束点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=mkN 15086200mkN 150mkN 9086202MB=MBA+ MBC=mkN 60-150150-90（2 2）放松结点）放松结点B B，即加，即加-60-60进行分配进行分配60ABC-60设设i =EI/l计算转动刚度：计

17、算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数分配系数：571. 0344iiiBA429. 073iiBC0.5710.429分配力矩分配力矩:3 .34)60(571. 0BAM7 .25)60(429. 0BCM-34.3-25.7-17.20+(3) (3) 最后结果。合并前面两个过程最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图图(kNm)ABC=超静定结构与弯矩分配法课件多结点的弯矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-M

18、B放松，平衡了放松，平衡了MC固定固定放松，平衡了放松，平衡了-MC固定固定固定固定放松，平衡了放松，平衡了渐近运算渐近运算超静定结构与弯矩分配法课件CB例例1.1.用弯矩分配法列表计算图示连续梁。用弯矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6 . 04 . 032132BCBA216131414CDCBSS333. 0667. 02111CDCB0.4 0.60.667 0.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-

19、14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（图（kNm）超静定结构与弯矩分配法课件ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力求支座反力68.256.4B124.6超静定结构与弯矩分配法课件上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：02003024

20、0310CBCB(1)将上式改写成将上式改写成BCCB334. 067.663 . 024(2)余数余数BCCB334. 03 . 0(3)BC第一次第一次近似值近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结结 果果B=48.84C=-82.89精确值精确值48.88-82.06 MBC= 4iBCB+2 iBCC-100 =6 .92100)96.82(41284.48414超静定结构与弯矩分配法课件 1 1）单结点弯矩分配法得到精确解；多结点弯矩分配法得到渐近解。）单结点弯矩分配法得到精确解；多结点弯矩分配法得到渐近解。 2 2）首先从结点不平

21、衡力矩绝对值较大的结点开始。）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3 3）结点不平衡力矩要变号分配。）结点不平衡力矩要变号分配。 4 4）结点不平衡力矩的计算：）结点不平衡力矩的计算：结点不平结点不平衡力矩衡力矩（第一轮第一结点）（第一轮第一结点）固端弯矩之和固端弯矩之和（第一轮第二、三（第一轮第二、三结点）结点）固端弯矩之和固端弯矩之和 加传递弯矩加传递弯矩传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩总等于附加刚臂上的约束力矩5 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可

22、 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。弯矩分配法小结：弯矩分配法小结：超静定结构与弯矩分配法课件0.2221114321ABCDFEB3 . 04 . 03 . 0BEBCBAC222. 0333. 0445. 0CFCDCBmBA= 40kNm mBC= - 41.7kNm mCB= 41.7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3 -13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5 -0.7-0.50.15 0.150.2-4.651.65-0.250.0743.45 3.45 -46

23、.924.4-9.8 -14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图)(mkN 例例2.2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE超静定结构与弯矩分配法课件ABC1m5m1mEI=常数常数D50kN5/6 1/65025-20.8 -4.2-20.8 +20.8+50例例3. 3. 带悬臂杆件的结构的弯矩分配法。带悬臂杆件的结构的弯矩分配法。50kNmABMM/2ABC1m5m1mEI=常数常数D50kN超静定结构与弯矩分配法课件4EI4EI2EI2EI用弯矩分配法计算，作用弯矩分配法计算，作M图。图。取取EI=5i=4i=4i=2.5i

24、=2.510kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(20)2.74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.83=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF超静定结构与弯矩分配法课件2.85结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83

25、20.8300(-20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020.030.01 0.01 0.01M01.4227.8024.96 19.940.560.29k计算之前计算之前, ,去掉静定伸臂去掉静定伸臂, ,将其上荷载向结点作等效平移。将其上荷载向结点作等效平移。k有结点集中力偶时有结点集中力偶时, ,结点不平衡力矩结点不平衡力矩= =固端弯矩之和结点集中固端弯矩之和结点集中 力偶力偶( (顺时针为正顺时针为正) )超静定结构与弯矩分配法课件20kN/m3m3m3m2iiiiii4

26、i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4mkNmAG.1535 . 1202结点杆端ACEAGACCACHCECHm0.50.50.40.20.415对称结构的计算对称结构的计算超静定结构与弯矩分配法课件0.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.

27、580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)超静定结构与弯矩分配法课件例、例、 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。l1l2qqABDCEI1I2qEBF解：取等代结构如图。解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为设梁柱的线刚度为i1，i22i12i222iSBF21iSBE212iiiBF211iiiBE12)2(32121qllqmBE212iiii211ii BEBF超静定结构与弯矩分配法课件BEBF212iiii211ii m1221ql1221211qliii1221212qliii1221212qliii1221212qliiiM1221212qliii1221212qliiiM图i2i1i2i1ABDCEFk当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i220i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。k当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i120i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。k由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。k如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。