北师大版高中数学选修1-1椭圆的简单几何性质教案

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1、圆的简单几何性质 （第一课时）（一）教学目标掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中 、 以及 、 的几何意义， 、 、 、 之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质（二）教学过程【复习引入】由学生口述，教师板书：问题1椭圆的标准方程是怎样的？问题2在直角坐标系内，关于 轴、 轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？【探索研究】1椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一根据曲线的条件列出方程如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的下面我们根据椭圆的标准方程

2、 来研究椭圆的几何性质（1）范围引导学生从标准方程 ，得出不等式 ， ，即 ， 这说明椭圆的直线 和直线 所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2设问：为什么“把 换成 ，或把 换 ，或把 、 同时换成 、 时，方程解不变则图形关于 轴、 轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把 换成 ，而方程不变，那么当点 在曲线上时，点 关于 轴的对称点 也在曲线上，所以曲线关于 轴对称类似地可以证明其他两个命题同时应向学生指出：如果曲线具有关于 轴对称，关于 轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种

3、对称最后强调： 轴、 轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心即椭圆中心进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关因而是曲线的固有性质（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程 分析它与 轴、 轴的交点，只须令 得 ，点 、 是椭圆与 轴的两个交点；令 得 ，点 、 是椭圆与 轴的两个交点应该强调：椭圆有四个顶点 、 、 、 同时还需指出：（1）线段 和 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 和 ；（2） 、 的几何意义： 是椭圆长半轴的长， 是椭圆短半轴的长（3）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点这时教师可作如下小结：由椭

4、圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比 ，叫做椭圆的离心率先分析离心率 的取值范围： ， 再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当 趋近于1时， 趋近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁平：（2）当 趋近于0时， 趋近于0，从而 趋近于 ，因此椭圆越接近于圆【例题分析】例1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形分析：只要化为椭圆的标准方程即可求解解：把已知方程化成标准方程是 这里 ， ， 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是

5、和 ，离心率 ，两个焦点分别是 和 ，椭圆的四个顶点是 、 、 、 （前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视）步骤如下：列表：将已知方程变形为 ，根据 ，在 的范围内算出几个点的坐标 01234543.93.73.22.40描点作图：先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）经过点 ， ；（2）长轴长等于20，离心率等于 解：由椭圆的几何性质可知， 、 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得 ， 又因为长轴在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 （2）由已知得 ， ， 由于椭圆的焦点可能在

6、 轴上，也可能在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 或 （三）随堂练习（四）总结提炼方程图形范围， ， 对称性关于 轴、 轴、坐标原点对称关于 轴、 轴、坐标原点对称顶点， ， ， ， 离心率（五）布置作业（六）板书设计8.2 椭圆的简单几何性质（一）（一）复习提问问题1问题2（二）椭圆的几何性质1234（三）例题与练习例1例2练习（四）小结一）教学目标 进一步掌握椭圆的几何性质，掌握椭圆的第二定义，能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题，明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的，可以互相推出（二）教学过程【复习引入】前一节学习了椭圆的几何性质，哪一位同学回答：问题1椭圆有哪些几何性质？问题2

7、什么叫做椭圆的离心率？以上两个问题学生的回答应该不会有大的问题教师可进一步提出问题：离心率的几何意义是什么呢？让我们先来看一个问题点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 （ ），求点 的轨迹【探索研究】椭圆的第二定义（按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师板演）解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合由此得 将上式两边平方，并化简得 设 ，就可化成 这是椭圆的标准方程，所以点 的轨迹是长轴长为 ，短轴长为 的椭圆由此可知，当点 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数

8、是椭圆的离心率对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是 根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是 ，所以椭圆有两条准线可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义至此教师可列出下表，由学生归纳图形相同点长轴长 短轴长 离心率 不同点方程焦点、 、 顶点、 、 、 、 准线【例题分析】例1 求椭圆 的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程可请一位学生演板，教师纠正，答案为 ， ，焦点 ，顶点 ， ， ，准线方程 例2 已知椭圆 上一点 到其左、右焦点距离的比为1：3，求 点到两条准线的距离可在学生练习后请一位学生回答解答如下：由椭圆标准方程可

9、知 ， ， ， 由于 ， ， 设 到左准线与右准线的距离分别为 与 ，根据椭圆的第二定义，有 ， 即 到左准线的距离为 ，到右准线的距离为 例3 已知椭圆 内有一点 ， 是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 ，使 的值最小，求 的坐标（如图）分析：若设 ，求出 ，再计算最小值是很繁的由于 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关故有如下解法解：设 在右准线 上的射影为 由椭圆方程可知 ， ， 根据椭圆的第二定义，有 即 显然，当 、 、 三点共线时， 有最小值过 作准线的垂线 由方程组 解得 即 的坐标为 （四）总结提炼1列出椭圆的几何意义（投影展示上表）2通过椭

10、圆的第二定义，可进一步了解椭圆的离心率的几何意义，它反映椭圆的圆扁程度，决定着椭圆的形状两准线间的距离为 是不变量（五）布置作业（六）板书设计8.2 椭圆的简单几何性质（二）（一）复习提问问题1问题2（二）椭圆的第二定义（三）例题与练习例1例2例3学生练习（四）小结椭圆的简单几何性质（第三课时）（一）教学目标1能利用椭圆中的基本量 、 、 、 熟练地求椭圆的标准方程2掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题（二）教学过程【复习引入】由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出问题1椭圆有哪些几何性质？问题2确定椭圆的标准方程需要几个条件？通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必

11、须掌握标准方程中 、 和 、 的几何意义以及 、 、 、 之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定它的标准方程【例题分析】例1 求中心在原点，过点 ，一条准线方程为 的椭圆方程分析：根据准线方程可知椭圆的焦点在 轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：解法一：设椭圆方程为 点 在椭圆上 即 又一条准线方程是 将、代入 ，得 整理得 解得 或 分别代入得 或 故所求椭圆方程为 或 解法二：设椭圆的右焦点为 ，点 到椭圆右准线的距离为 ，由椭圆的第二定义得 ，即 又由准线方程为 将代入，整理得 解得 或 代入及 得 或 故所求椭圆的方程为 或 例2 如图

12、，以原点心圆心，分别以 、 为半径作两个圆，点 是大圆半径 与小圆的交点，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，求当半径 绕点 旋转时点 的轨迹的参数方程解：设点 的坐标为 ， 是以 为始边， 为终边的正角取 为参数，那么 即 这就是所求点 的轨迹的参数方程消去参数 后得到 ，由此可知，点 的轨迹是椭圆点评：这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角 的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆都用此法例3 已知椭圆 ，（ ， ， 为参数）上的点 ，求：（1） 、 的取值范围；（2） 的取值范围解：（1） ， ， ， ， 为所求范

13、围（2） （其中 为第一象限角，且 ）而 ，即 这所求例4 把参数方程 （ 为参数）写成普通方程，并求出离心率解：由参数方程得 平方相加得 为所求普通方程 ， ， 椭圆的离心率 （三）随堂练习1焦点在 轴上的椭圆上一点 到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别为9和15的椭圆的标准方程为_2参数方程 （ 为参数）表示的曲线的焦点坐标是_3椭圆 （ 为参数）的离心率为_答案：1 2 ， 3 （四）总结提炼1求曲线方程的基本程序是若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便2椭圆的参数方程 （ 为参数）中， 表明 、 分别是椭圆的长轴、短轴长，且焦点在 轴上，参数 的几何意义是

14、椭圆的离心角，利用椭圆的参数方程求 的最值较方便（五）布置作业1已知椭圆中心在原点，一个焦点是 ，点 在椭圆上，则点 到与 相应准线的距离为（ ）A B C D 2椭圆 的左焦点为 ， ， 是两个顶点，如果 到直线 的距离等于 ，那么椭圆的离心率等于（ ）A B C D 4椭圆 （ 为参数）的两准线间距离为_5已知椭圆的一条准线方程是 ，且过点 ，求椭圆的标准方程6求椭圆 的内接矩形面积的最大值答案：1A 2C 3D 4 5 7设 是椭圆上的任一点，则 （ 为参数）内接矩形面积 （六）板书设计8.2 椭圆的简单几何性质（三）一、复习引入二、例题分析例1例2例3例4练习总结椭圆的简单几何性质 （

15、第四课时）（一）教学目标1能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题2能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题3能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题（二）教学过程【复习引入】1利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）2求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题例1 求证：椭圆 上任一点 与焦点所连两条线段的长分别为 分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充证法一：设椭圆的左、右焦点分别为 ，则 ， 又 ， 故得证证法二：设 到左右准线的距离分别

16、为 ， ，由椭圆的第二定义有，又 ， 又 ， 故得证说明： 、 叫做椭圆的焦半径利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算至此可解决开始提出的问题 ， ， ， 即椭圆上焦点的距离最大值为 ，最小值为 ，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心） 为一个焦点的椭圆已知它们近地点 （离地面最近的点）距地面439 ，远地点 （离地面最）距地面2384 ，并且 、 、 在同一条直线上，地球半径约6371 ，求卫星运行的轨道方程（精确到1 ）分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系由

17、于数字大，计算较繁，可教师讲解解：如图，建立直角坐标系，使点 、 、 在 轴上， 为椭圆的右焦点（记 为左焦点）因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的方程为 则 解得 因此，卫星的轨道方程是 点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上例3 已知点 在圆 上移动，点 在椭圆 上移动，求 的最大值分析：要求 的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点 ，又 ，于是 而 当 时， 有最大值5故 的最大值为6点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数

18、在闭区间上的最值问题例4 已知椭圆 与 轴的正半轴交于点 ， 是原点若椭圆上存在一点 ，使 ，求椭圆离心率 的取值范围分析：依题意 点的横坐标 ，找到 与 、 的关系式教师讲解为好解：设 的坐标为 ，由 ，有于是下面方程组的解为 的坐标消去 整理得解得 或 即为椭圆的右顶点 即 即 ，而 ， 故 （三）随堂练习1如图在 中， ， ，则以 为焦点， 、 分别是长、短轴端点的椭圆方程是_2设椭圆 上动点 到定点 的距离 最小值为1，求 的值答案：1 2 （四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方

19、法（五）布置作业1椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是 ，则长半轴长的取值范围是_2若椭圆两焦点为 ， ， 在椭圆上，且 的最大面积是12，则椭圆方程是_3已知 是椭圆 的一个焦点， 是过其中心的一条弦，记 ，则 面积的最大值是（ ）A B C D 4已知 是椭圆 上的任意一点，以过 的一条焦半径为直径作圆 ，以椭圆长轴为直径作圆 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）A内切 B内含 C相交 D相离5设 是椭圆 上的任一点，求 点到椭圆两焦点 、 距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时 点的坐标6设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 ，已知点 到这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 的距离等于 的点的坐标答案：1 2 3D 4A5设 则 ， 当 即 或 时， 最大，最大值为 当 即 或 时， 最小，最小值为 6设所求椭圆方程是 依题意可得 ，其中 如果 ，则当 时， 有最大值，即 由此得 ，与 矛盾因此必有 成立，于是当 时， 有最大值，即 由此得 ， ，故所求椭圆方程为 由 代入椭圆方程得点 和 到点 的距离都是 注：本题也可设椭圆的参数方程是 ，其中 ， ，利用三角函数求解（六）板书设计8.2 椭圆的简单几何性质（四）1知识要点2椭圆的焦半径公式3例题分析例1例2例3例4练习小结