23平面向量的基本定理及坐标表示学习教案

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1、会计学123平面向量平面向量(xingling)的基本定理及坐的基本定理及坐标表示标表示第一页，共47页。第1页/共47页第二页，共47页。复习复习(fx):(fx):共线向量基本共线向量基本定理：定理： 向量向量 与向量与向量 共线共线当且仅当有唯一一个实数当且仅当有唯一一个实数 使得使得(0)a a bababbb00第2页/共47页第三页，共47页。1e2e OCABMNa11eOM22eON 设设 是同一平面内的两个不共线的向量，是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，问：与问：与 之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？21,eea21,eea2

2、211eeONOMa第3页/共47页第四页，共47页。？来表示呢任意一个向量都可以用后，是否平面内，确定一对不共线向量 221121eeee想一想想一想1e2e1e2e12 . aee 当 与 或 共线时aa1220aee 1 120aee 第4页/共47页第五页，共47页。？怎样构造平行四边形怎样构造平行四边形况时，况时，的位置如下图两种情的位置如下图两种情改变改变 aa1e2eAOCBNMO Oa1e2eCABNM1 12212(0,0)aee 1 12212(0,0)aee 第5页/共47页第六页，共47页。一、平面向量基本一、平面向量基本(jbn)定定理理:如果如果 是同一平面内的两个

3、是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 有且只有有且只有一对实数一对实数 ,使使21ee、a21、2211eea12 .e e 其中 ， 叫做表示这一平面内所有向量 一组基底的 第6页/共47页第七页，共47页。2、基底不唯一、基底不唯一(wi y)，关键是不，关键是不共线共线.4、基底给定时，分解、基底给定时，分解(fnji)形形式唯一式唯一.说明：说明：1、把、把不共线不共线的的非零向量非零向量 叫做表示叫做表示 这一平面内所有向量的一组这一平面内所有向量的一组基底基底.12,e e 3、由定理可将任一向量由定理可将任一向量 在给

4、出基在给出基底底 的条件下进行分解的条件下进行分解.12,e e a第7页/共47页第八页，共47页。1.练习练习(lin(linx)x)B第8页/共47页第九页，共47页。2.B第9页/共47页第十页，共47页。1212,3 .e eee 例1：已知向量（如图），求作向量-2.5作法:1e2eOA2.OACB作 BC1e-2.51.O如图，任取一点23e 1,2.5OAe 作OC则， 就是所求的向量2, 3 .OBe 第10页/共47页第十一页，共47页。().OA OBAPtAB tROA OBOP 如图， 、 不共线，, 用、:表示思考BOPA: 解APtAB OPOAAPOAt AB

5、()OAt OBOA (1)OA tOB tOAt OA tOB . 1 , nmOBnOAmOPABPBAO且且则则上，上，在直线在直线若点若点三点不共线，三点不共线，、已知已知结论结论(jiln)：P45 金榜金榜(jnbng)类型类型2第11页/共47页第十二页，共47页。二、向量二、向量(xingling)的夹角的夹角:OABba两个两个(lin )非零向量非零向量 ， ab和和 的夹角的夹角(ji jio)ab夹角的范围：夹角的范围：180 OABab90 OAB ab注意注意:同起点同起点(0180 )AOB叫做向量叫做向量0 OABab第12页/共47页第十三页，共47页。练习练

6、习1:如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角； (2)AB与与BC的夹角。的夹角。ABC60C0120注意注意(zh y):同起点同起点600120第13页/共47页第十四页，共47页。小结小结(xi(xioji)oji)1.1.平面向量基本平面向量基本(jbn)(jbn)定理定理: :2.2.向量向量(xingling)(xingling)的夹角的夹角: :3.3.一个重要结论一个重要结论: :2211eea(0180 ), 1., ,OPmOAnOBmnA B P 若且则三点共线.12 .e e 其中 ， 叫做表示这一平面内所有向量 一组基底的 第1

7、4页/共47页第十五页，共47页。第15页/共47页第十六页，共47页。 把一个向量把一个向量(xingling)分解为两个互相垂分解为两个互相垂直的向量直的向量(xingling)，叫作把向量，叫作把向量(xingling)正交分解正交分解第16页/共47页第十七页，共47页。(2)(2) 任作一个向量任作一个向量a a，由平面向量基本定理，有且只由平面向量基本定理，有且只有一对实数有一对实数x x、y y，使得，使得a=xi+yj.a=xi+yj.我们把我们把(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量a a的坐标，的坐标，记作记作得到实数对得到实数对: : 其中其中x叫做叫做(jiozu)a在在

8、x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做(jiozu)a在在y轴上的坐标轴上的坐标.(1)(1)取基底取基底(j d): (j d): 与与x x轴方向轴方向,y,y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i i、j j作为基底作为基底(j d).(j d).xyoija)y, x(a 式叫做式叫做(jiozu)(jiozu)向量的坐标表示向量的坐标表示. .注：每个向量都有唯一的坐标注：每个向量都有唯一的坐标. .（一）平面向量坐标的概念（一）平面向量坐标的概念第17页/共47页第十八页，共47页。OxyAijaxy +axiy j +OAxiy j 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标

9、就是当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是(jish)向量终点的坐标向量终点的坐标.坐标坐标(zubio)(x,y)一一对应一一对应 向量向量a( (二二) )相等的向量相等的向量(xingling)(xingling)有相等的坐标有相等的坐标. .),(),(2211yxbyxaba ，若.,),(),(21212211yyxxyxyx即则第18页/共47页第十九页，共47页。. , 并求出它们的坐标、分别表示向量，如图，用基底dcbaji.例2jiAAAAa3221解：解：(2,3)a)3 , 2(32jib)3, 2(32jic)3, 2(32jidjyxOicaA1AA2Bbd第19

10、页/共47页第二十页，共47页。小结小结(xioji)(xioji)1.1.平面向量基本平面向量基本(jbn)(jbn)定理定理: :2.2.向量向量(xingling)(xingling)的的夹角夹角: :3.3.一个重要结论一个重要结论: :2211eea(0180 ), 1., ,OPmOAnOBmnA B P 若且则三点共线.12 .e e 其中 ， 叫做表示这一平面内所有向量 一组基底的 第20页/共47页第二十一页，共47页。4 4、对向量坐标、对向量坐标(zubio)(zubio)表示的理解表示的理解: :(1)(1)任一平面向量都有唯一任一平面向量都有唯一(wi y)(wi y

11、)的坐标的坐标; ;(2)(2)向量的坐标等于向量的坐标等于(dngy)(dngy)终点坐标减去起点坐标；终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标的坐标. .(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .),(),(2211yxbyxaba ，若.,),(),(21212211yyxxyxyx即则练习：P102 B组3、4)y, x(a +axiy j第21页/共47页第二十二页，共47页。ij），（yxP( , )O P xi yjxy 向量(xingling)的坐标表示O向量向量 P（x ，y）一一

12、 一一 对对 应应O P 第22页/共47页第二十三页，共47页。2.3.3 2.3.3 平面向量平面向量的坐标的坐标(zubio)(zubio)运算运算第23页/共47页第二十四页，共47页。复习复习(fx)(fx)回回顾顾1.1.平面向量平面向量(xingling)(xingling)基本定基本定理理: :2.2.向量向量(xingling)(xingling)的夹角的夹角: :3.3.一个重要结论一个重要结论: :2211eea(0180 ), 1., ,OPmOAnOBmnA B P 若且则三点共线.12 .e e 其中 ， 叫做表示这一平面内所有向量 一组基底的 第24页/共47页第

13、二十五页，共47页。().OA OBAPtAB tROA OBOP 如图， 、 不共线，, 用、:表示思考BOPA: 解APtAB OPOAAPOAt AB ()OAt OBOA (1)OA tOB tOAt OA tOB . 1 , nmOBnOAmOPABPBAO且且则则上，上，在直线在直线若点若点三点不共线，三点不共线，、已知已知结论结论(jiln)：P45 金榜金榜(jnbng)类型类型2第25页/共47页第二十六页，共47页。4321-1-2-3-2246ij），（yxP( , )O P xi yjxy 4.向量(xingling)的坐标表示O向量向量 P（x ，y）一一 一一 对对

14、 应应O P 第26页/共47页第二十七页，共47页。思考：思考：已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐标吗？的坐标吗？1122( ,),(,)ax ybxy,ab aba 平面平面(pngmin)向量的坐标运算：向量的坐标运算： 两个向量和（差）的坐标分别两个向量和（差）的坐标分别(fnbi)等于这两个向量相应坐标等于这两个向量相应坐标的和（差）的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量实数与向量(xingling)的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量(xingling)的坐标的坐标第27页/共47页第二十八页，共4

15、7页。例例3.如图，已知如图，已知 ，求，求 的坐标。的坐标。1122( ,), (,)A x yB xyAB xyOBA解：解：ABOBOA 2211(,)( ,)xyx y2121(,)xx yy 一个向量一个向量(xingling)的坐标等于表示此向量的坐标等于表示此向量(xingling)的有向线段的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。的终点的坐标减去起点的坐标。第28页/共47页第二十九页，共47页。(2,1)( 3,4)( 1,5)ab 解解：(2,1)( 3,4)(5, 3)ab 3 4 3(2,1)4( 3,4)(6,3)( 12,16)ab ( 6,19) 例例4.已知已知

16、，求，求 的坐标。的坐标。(2,1),( 3,4)ab ,34ab abab 第29页/共47页第三十页，共47页。例例5如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法解法(ji f)：设点：设点D的坐标为（的坐标为（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) ABDCx yxyABDC 且 且(1,2)(3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点(dngdin)D的坐标为（的坐标为（2，2）第

17、30页/共47页第三十一页，共47页。例例5.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法解法(ji f)2：由平行四边形法则可得：由平行四边形法则可得( 2( 1),1 3)(3( 1),43)(3, 1) BDBABC 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) ODOBBD 所以所以(suy)顶点顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）第31页/共47页第三十二页，共47页。变式：变式： 已知平面上三点的坐标分别已知平面上三点的坐标分别(fnbi)为

18、为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为解：当平行四边形为ADCB时，时，由由 得得D1=(2, 2)DCAB 当平行四边形为当平行四边形为ACDB时，时，得得D2=(4, 6)D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=( 6, 0)D3第32页/共47页第三十三页，共47页。请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些(nxi)知识吗？1.平面(pngmin)向量坐标的加.减运算法则 =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x

19、2 , y1+y2)=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)2.平面向量坐标实数(shsh)与向量相乘的运算法则3.平面向量坐标若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)则 =(x2 - x1 , y2 y1 ) ABa b a b ( , )(,)ax yxy =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)a b 练习：P100 1、2、3第33页/共47页第三十四页，共47页。2.3.4 平面向量平面向量(xingling)共线的共线的 坐标表示坐标表示第34页/共47页第三十五页，共47页。请回顾本堂课的教

20、学过程，你能说说你学了哪些(nxi)知识吗？1.平面向量坐标(zubio)的加.减运算法则 =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算(yn sun)法则3.平面向量坐标若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)则 =(x2 - x1 , y2 y1 ) ABa b a b ( , )(,)ax yxy =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)a b 第35页/共47页第三十六页，共47页。思考

21、：如何用坐标思考：如何用坐标(zubio)来表示两个向来表示两个向量的共线关系呢？量的共线关系呢？abb第36页/共47页第三十七页，共47页。2.用坐标用坐标(zubio)表示向量平行表示向量平行(共线共线)的等价条件的等价条件:3. 1.向量向量 与非零向量与非零向量 平行平行(共线共线)的等价条件是有且的等价条件是有且 只有一个实数只有一个实数 , 使得使得abba01221yxyx01221yxyx这就是说这就是说: 的等价条件是的等价条件是 )0(/bba 新课新课(0,)bR1122( ,),(,),0ax ybxyb设其中1122( ,)(,)abx yxy1212xxyy第37

22、页/共47页第三十八页，共47页。3. 向量平行向量平行(共线共线)等价等价(dngji)条件的两种形式条件的两种形式:0)0),(),(/)2(;)0(/) 1 (12212211yxyxbyxbyxabababba第38页/共47页第三十九页，共47页。例例6 6、已知已知a=a=（4 4，2 2），），b=b=（6 6，y y） 且且a/b a/b ，求，求y y的值。的值。/ / ,42 603abyy 解:第39页/共47页第四十页，共47页。ABC(2,4),(3,6)ABAC 解:2 63 40 又/ /.ABAC 所以所以(suy)A(suy)A、B B、C C三点共线。三点共

23、线。( 1, 1), (1,3),(27,5)ABC 已知 判断A、B、C三点的位例 、置关系.直线直线(zhxin)AB、直线、直线(zhxin)AC有公共点有公共点AA、B、C三点三点(sn din)共线。共线。第40页/共47页第四十一页，共47页。xyOP1P2P例例8.设点设点P是线段是线段(xindun)P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标的坐标分别是分别是（1）当点）当点P是线段是线段(xindun)P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段(xindun)P1P2的一个三等分点时，的一个三等分点时，求点求点P的坐标。的坐标。11

24、22(,), (,)xyxy第41页/共47页第四十二页，共47页。xyOP1P2P(2)(2)xyOP1P2P例例8.设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标的坐标分别分别(fnbi)是是（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，的一个三等分点时，求点求点P的坐标。的坐标。第42页/共47页第四十三页，共47页。第43页/共47页第四十四页，共47页。),(111yyxxPP ),(),(2211yyxxyyxx 222(x -x,y -y)PP 又1 12 2P P

25、P P = = P P P P )()(2121yyyyxxxx 112121yyyxxx 推广推广: :已知已知 ， ，P是直线是直线 P1P2上的一点上的一点,且且P1P=PP2(-1)求求P点的坐标点的坐标. .),(111yxP),(222yxP解解: :设设P(x,y),P(x,y),则则第44页/共47页第四十五页，共47页。1613若若(akc)(2ba)，求实数，求实数(shsh)k.解：由已知得解：由已知得a+kc=(3+4k, 2+k) ,2b-a=(-5,2)(a+kc) (2b-a)(3+4k) 2- (-5) (2+k)=0解得解得 k=-并确定此时并确定此时(c sh)它们是同向还是反向它们是同向还是反向共线？共线？ akc = (2ba)513同向共线同向共线第45页/共47页第四十六页，共47页。1. 向量平行向量平行(共线共线(n xin)等价条件的两种形式等价条件的两种形式:0)0),(),(/)2(;)0(/) 1 (12212211yxyxbyxbyxabababba课堂课堂(ktng)小结小结2、中点坐标(zubio)公式221xxxAB中点的坐标为练习：P100 4、5、6第46页/共47页第四十七页，共47页。