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1、专题七：思想方法专题第三讲 分类讨论思想【思想方法诠释】1分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度2分类讨论的常见类型：（1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等（3）由数学运
2、算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等（4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法3分类讨论的一般流程：【核心要点突破】要点考向1：根据数学概念的要求分类讨论（概念型）例1：设0x0且a1，比较|log(1x)|与|log(1x)|的大小。注：本例是由对数函数
3、的概念内涵引发的分类讨论，我们称为概念分类型由概念内涵分类的还有很多，如绝对值：|a|的定义分为a0、a0、a=0三种情况；直线的斜率分为：倾斜角，斜率k存在，倾斜角，斜率不存在；指数、对数函数：与，可分为两种类型；直线的截距式分：直线过原点时为y=kx，不过原点时为等要点考向2：根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论例2：设等比数列a n的公比为q ，前n项和S n0（n =1 , 2 , 3 ,）. （1）求q的取值范围； （2）设b n= a n+2 -a n+1 ,记b n的前n项和为T n ，试比较S n与T n的大小 .思路精析：要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再
4、应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q1和q1两种情况注：（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论（2）分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题、差值比较中的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等（3）在构建数
5、学模型解决实际问题的过程中，往往由于实际问题中存在的诸多情况而引起分类讨论，特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想，解题目时要注意分类的原则是“不重不漏”要点考向3：根据字母的取值情况分类讨论例3：设函数f(x)ax2x2，对于满足1x0，求实数a的取值范围。【解析】当a0时，f(x)a（x）2 或或 a1或a；当a0时，解得；当a0时，f(x)2x2, f(1)0，f(4)6， 不合题意注：题目中含有参数的问题（含参数型），主要包括：（1）含有参数的不等式的求解；（2）含有参数的方程的求解；（3）对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；（4）二元二次方程表示曲线类
6、型的判定等求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想要点考向4：根据图形位置或形状变动分类讨论例4：在xoy平面上给定曲线y2x，设点A(a,0)，aR，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 注：一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中敬意的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题
7、6分，共36分）1已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）2已知函数的定义域的R，则实数a的取值范围是（ ）3正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为2和4的矩形，则它的体积为（ ）4.“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的（ ）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5对任意两实数a、b,定义运算“*”如下：a*b=,则函数的值域为（ ）6.如图所示，在AOB中，点A（2，1），B（3，0），点E在射线OB上自O开始移动.设OE=x,过E作OB的垂线l，记AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S=f（x）的图象
8、是（ ）二、填空题（每小题6分，共18分）7设为椭圆的两个焦点P为椭圆上一点已知P，是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值为 8.过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1作切线，所得切线方程是_.9.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c,则方程x2+bx+c=0有实根的概率为_.三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）10已知函数（a0）定义域为，值域为-5，1，求常数a,b的值。11已知函数 （1）求f(x)的单调区间；（2）若方程f(x)=0有三个不等实根，求a的取值范围12.已知等比数列an的前n项和为Sn=23n+k(kR,nN*)，（1）求数
9、列an的通项公式；（2）设数列bn满足Tn为数列bn的前n项和，试比较3-16Tn与4(n+1)bn+1的大小，并证明你的结论.参考答案1解析：选D因为渐近线方程为当即：，得：，当，即：，得，综上2【解析】选C.当a=0时，f(x)有意义，当a0时，由ax2+ax-30,得=a2+12a0,即-12a0.综合得-12a0.3【解析】选D分两种情况分别计算得：4【解析】选B.若直线l的斜率等于-2，则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍；但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时，其斜率不一定等于-2，因为直线l可以经过原点，其斜率可以为任意值.所以“直线l在y轴上的截距是在
10、x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的必要不充分条件.5解析：选A根据题目给出的情境可得，由于的图象在定义域上为增函数，可得f(x)的值域为（-，06【解析】选D当0x2时, =,是开口向上的抛物线,且f(2)=1;当x3时,是开口向下,以为顶点的抛物线当x3,f(x)是确定的常数,图象为直线7【解析】若,则解得若则综上知, 答案: 8【解析】（1）当斜率k不存在时，x=2符合题意；（2）当斜率k存在时，则切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,圆心（1，-3）到切线的距离为 解得k=,即切线方程为24x-7y-20=0.综上，切线方程为x=2或24x-7y-20=
11、0.答案：x=2或24x-7y-20=09【解析】一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充要条件为b24c.由此可见，使方程有实根的基本事件个数为1+2+4+6+6=19，于是方程有实根的概率为P= .答案：10解析： 11【解析】(1) f(x)=x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1).当a=1时，f(x)=(x-1)20,f(x)的单调递增区间是(-,+);当a1时，f(x)0的解集是(-,a)(1,+),f(x)的单调递增区间是(-,a)和(1,+)，单调递减区间是(a,1);当a1时，f(x)0的解集是(-,1)(a,+),f(x)的单调递增区间是(-,1)和(a,+
12、),单调递减区间是(1,a).（2）方法一：有一个根是0，f(x)有三个不等实根等价于方程2x2-3(a+1)x+6a=0有两个不等于0的相异实根由此得解得a的取值范围是方法二：由（1）知，当a=1时，f(x)在（-，+）上递增，f(x)=0只有一个实根；当a1时，由f(x)=0有3个实根知， 且，解得；当a1时， ，由f(x)=0有3个实根知0且，解得a3;综上：a的取值范围是12【解析】（1）由Sn=23n+k(kR,nN*)得n2时，an=Sn-Sn-1=43n-1，an是等比数列,a1=S1=6+k=4，k=-2，得an=43n-1(nN*).【备课资源】1.已知集合A=2,3,4,B
13、=2,4,6,8,C=(x,y)|xA,yB,且logxyN*,则C中元素个数是（ ）(A)9(B)8(C)3(D)4【解析】选D.由题意,x可取的值有2,3,4三种可能.当x=2时，y可以取2，4，8三个数，得到C中元素3个；当x=3时，没有y的值满足题意；当x=4时，y可以取4，得C中元素1个.故C中元素的个数为3+0+1=4个.3.将长为15的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形，求得到的不同三角形的个数.【解析】可采用分类讨论的方法，若最小段长为1，则三角形三边长可为1，7，7；若最小段长为2，则有2，6，7；若最小段长为3，则有3，5，7；3，6，6；若最小段长为4，则有4，4，7；4，5，6；若最小段长为5，则有5，5，5.共7种不同情况.得到的不同的三角形的个数为7.
2020届高三数学一轮复习 7.3 分类讨论思想学案
