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1、2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，全集，若，则有（ ） A B C D2.若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）A-2 B4 C D-43.已知，成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）A B C 或 D 4.如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）A相关系数变大 B残差平方和变大 C.相关指数变大 D解释变量与预报变量的相关性变强5.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A B C. D6.一个
2、四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A B C. D7.函数的图像大致为（ ）A B C. D8.更相减损术是中国古代数学专著九章算术中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入，则输出的值是（ ）A 68 B17 C.34 D369.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A B C. D10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次
3、播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）A6，3 B5，2 C. 4，5 D2，711.已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C. D 12.已知，其中，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）A B C. D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1
4、3.如图，在半径为2的扇形中，为弧上的一点，若，则的值为 14.若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为 15.已知在中，角，的对边分别为，则下列四个论断中正确的是 （把你认为是正确论断的序号都写上）若，则；若，则满足条件的三角形共有两个；若，成等差数列，成等比数列，则为正三角形；若，的面积，则.16.设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18.如图，在四棱柱中，底面是
5、梯形，侧面为菱形，.（1）求证：.（2）若，在平面内的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为，三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）. （1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望
6、利润. 20.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，且点在轴的同一侧. （1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数，函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围；（3）若，求证不等式成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原
7、点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，(为参数). （1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）设直线与曲线交于两点，求.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围. 试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）当时，所以；当时，则，即.又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.（2）由（1）得，所以， ， ，得，所以.18.（1）证明：如图，连接，设
8、交于点，连接.由，得，所以.又是线段的中点，所以，又根据菱形的性质得，且，所以平面，从而.（2）解：由题意知平面，又，即，所以，两两垂直. 以，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，由，可知，所以，从而，.所以.由，得，所以.设平面的法向量为，由，得，令，则，所以.又平面的一个法向量为，所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19.解：（1）设工种的每份保单保费为元，保险公司每单的收益为随机变量元，则的分布列为保险公司的期望收益为（元）. 由题意得，解得(元). 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为（元），则保险公司的期望利润为元. 由题意得，解得（元）. 设工种的每份保单保费
9、为元，赔付金期望值为（元），则保险公司的期望利润为元. 由题意得，解得（元）. 综上，工种的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元. （2）购买类产品的份数为（份），购买类产品的份数为（份），购买类产品的份数为（份），企业支付的总保费为（元），保险公司在这宗交易中的期望利润为（元）. 20.解：（1）由题意知，椭圆离心率，即，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.所以椭圆的焦点坐标为，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为.（2）设，则，因为点在双曲线上，所以.设，直线的方程为，所以直线的方程为，联立，得，所以，所以.同理可得.由题知，即.因为，
10、即，又因为，所以，所以，.即存在满足题意的点，且点的坐标为.21.（1）解：函数的定义域为，因为，所以.当时，在区间内恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解：在区间内恒成立，即在区间内恒成立.设，则，在区间内单调递增，所以.当时，在区间内为增函数，所以恒成立；当时，因为在区间内单调递增，所以，在区间内，有，所以在区间内单调递减，所以，这时不合题意. 综上所述，实数的取值范围为.（3）证明：要证明在区间内，只需证明，由（2）知，当时，在区间内，有恒成立.令，在区间内，所以函数在区间内单调递增，所以，即.所以，所以原不等式成立. 22.解：（1）由，得，令，得.因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.（2）点的直角坐标为，点在直线上. 设直线的参数方程为，（为参数），代入，得.设点对应的参数分别为，则，所以.23.解：（1），即，此不等式等价于或或，解得或，所以的解集为或.（2）因为，使得成立，所以.又，所以.当，即时，解得，所以；当，即时，解得，所以；当，即时，解得或，所以或.综上，实数的取值范围为. - 12 -
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