空间向量及其加减与数乘运算用学习教案

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1、空间向量空间向量(xingling)及其加减与数乘运算及其加减与数乘运算用用第一页，共32页。aABABaaABaAB平面平面(pngmin)向量向量空间空间(kngjin)向量向量具有具有(jyu)大小和方向大小和方向的量的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1的向量的向量模为模为1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等

2、且方向相同长度相等且方向相同 的向量的向量长度相等且方向相同的长度相等且方向相同的向量向量定义定义表示法表示法向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一：空间向量的基本概念一：空间向量的基本概念第1页/共32页第二页，共32页。ababOABb结论：空间任意两个向量结论：空间任意两个向量(xingling)都可以平移到同一个平面内，都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量内，成为同一平面内的两个向量(xingling)。思考：空间任意两个思考：空间任意两个(lin )(lin )向量向量是否都可以平移到同一平面内？为什是否都可以平移到同一平面内

3、？为什么？么？O第2页/共32页第三页，共32页。说明(shumng)空间向量的运算空间向量的运算(yn sun)就是平面向量就是平面向量运算运算(yn sun)的推广的推广2.凡是凡是(fnsh)只涉及空间任意两个向量的问题，平只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。面向量中有关结论仍适用于它们。第3页/共32页第四页，共32页。abba 加法交换律加法交换律加法(jif):三角形法则或平行四边形法则减法(jinf):三角形法则加法加法(jif)结合律结合律()()abcabc 第4页/共32页第五页，共32页。例如例如(lr(lr):):a3a3a三、空间(kngji

4、n)向量的数乘运算第5页/共32页第六页，共32页。加法加法(jif)交交换律：换律：a + b = b + a；加法加法(jif)结结合律：合律：(a + b) + c =a + (b + c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c 第6页/共32页第七页，共32页。（3）.空间向量空间向量(xingling)的数乘运算满足分配律的数乘运算满足分配律及结合律及结合律()( )()ababaaaaa 即： （）第7页/共32页第八页，共32页。五、共线五、共线(n xin)(n xin)向向量量: :零向量与任意零向量与任意(rny)(rny)向量共线向量

5、共线. .1.1.空间共线向量空间共线向量: :如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合, ,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作ba/2.2.空间共线向量定理空间共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在实的充要条件是存在实数使数使baobba/),(,ba由此可判断空间中两直线平行或三点由此可判断空间中两直线平行或三点(sn din)共共线问题线问题第8页/共32页第九页，共32页。中点公式中点公式(gngsh)： 若若P P为为ABAB中点中点, , 则

6、则12 OPOAOBOABP3.A、B、P三点三点(sn din)共线的充共线的充要条件要条件A、B、P三点三点(sn din)共线共线APt AB A(1)OP xOyOB x y 第9页/共32页第十页，共32页。六、共面向六、共面向(min xin)(min xin)量量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面平行于同一平面(pngmin)(pngmin)的向量的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .NoImage注意注意(zh y)：空间任意两个向量是共面的，：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面db

7、ac第10页/共32页第十一页，共32页。由平面由平面(pngmin)向量基本定理知，如果向量基本定理知，如果 ， 是平面是平面(pngmin)内的两个不共线的向量，内的两个不共线的向量，那么那么对于这一平面对于这一平面(pngmin)内的任意向量内的任意向量 ，有且有且只有一对实数只有一对实数 ， 使使 如果空间向量如果空间向量(xingling) 与两不共线向量与两不共线向量(xingling) ， 共共面，那么可将三个向量面，那么可将三个向量(xingling)平移到同一平面平移到同一平面 ，则，则有有 byxpapb那么那么(n me)什么情况下三个向量共面呢？什么情况下三个向量共面呢

8、？2211eea1e2e12aa1e2e第11页/共32页第十二页，共32页。反过来，对空间反过来，对空间(kngjin)任意两个不共线的向量任意两个不共线的向量 ， ，如果如果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 , 有什么位有什么位置关系？置关系？abbyxpab共线，分别与 bbya, a x确定的平面内，都在 bbya, ax确定的平面内，并且此平行四边形在 ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPp Cp共面共面第12页/共32页第十三页，共32页。2.共面向量定理：如果两个不共线共面向量定理：如果两个不共线(n xin)向量向量 ， ，pxayb abp ab

9、 那么那么(n me)(n me)向量向量 与向量与向量 ， 共面的充要条件是共面的充要条件是存在存在(cnzi)(cnzi)实数对实数对x,yx,y使使abABPp C第13页/共32页第十四页，共32页。OAabBCPp C3.空间空间(kngjin)四点四点P、A、B、C共面共面 存存在在唯唯一一实数对实数对,（）使得xyAPxAByAC(1) 其中，OPxOAyOBzOCxyz第14页/共32页第十五页，共32页。例例1、给出以下命题：、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则

10、，则 ；（3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ；（4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（5）空间中任意两个单位向量必相等。）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是（其中不正确命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4a b 、ab| |ab1111ABCDABC D11ACACm n p 、 、,mn np mp C第15页/共32页第十六页，共32页。化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体DCBAABCD ；BCAB ；AAADAB21CCADAB) (31AAADABABCDABCD例2第16页/共32页第十七页，共32页。ABC

11、DA B C D例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC第17页/共32页第十八页，共32页。ABCDA B C D例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：21CCADAB设M是线段(xindun)CC的中点，则解：21CCADABCMAC AMABCDABCDM第18页/共32页第十九页，共32页。) (31AAADAB设G是线段(xindun)AC靠近点A的 三等分点，则GABCDA B C D例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向

12、量：) (31AAADABABCDABCDM解：31ACAG第19页/共32页第二十页，共32页。例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (第20页/共32页第二十一页，共32页。例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBABACxCCDAAB1111 ) 1 (第21页/共32页第二十二页，共32页。

13、例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x解：第22页/共32页第二十三页，共32页。例3：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1， 求满足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC. 2x111ACxADABAC解：第23页/共32页第二十四页，共32页。 1.下列命题中正确的有：下列命题中正确

14、的有：(1)pxaybpab 与与、 共共面面 ; ;(2) pabpxayb 与与、 共共面面；(3) MPxMAyMBPMAB 、 、 共共面面；(4) PMA BMPxMAyMB 、 、 、 共共面面；A.1个个B.2个个C.3个个D.4个个例例4:B不共线与ba不共线与ba第24页/共32页第二十五页，共32页。2.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量2MAMBMAMB 、A第25页/共32页第二十六页，共32页。3.已知点已知点M在平面在平面ABC内

15、，并且对空间任内，并且对空间任意一点意一点O， ,则则x的值为：的值为：OMxOAOBOC 111133331.1. 0.3.3ABCDD第26页/共32页第二十七页，共32页。4.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？212(1);555OPOAOBOC (2)22OPOAOBOC ；第27页/共32页第二十八页，共32页。例例5.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、OC、OD，在，在四条射线上分别四条射线上分别(fnbi

16、)取点取点E、F、G、H，并，并且使且使求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD第28页/共32页第二十九页，共32页。例例5 (课本例课本例)已知已知 ABCD ，从平面，从平面(pngmin)AC外一点外一点O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证求证(qizhng)：四点：四点E、F、G、H共面；共面；平面平面(pngmin)AC/平面平面(pngmin)EG.BCDOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k O

17、COA kAC （）代入）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 第29页/共32页第三十页，共32页。例例5 已知已知 ABCD ，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：四点求证：四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证明证明(zhngmng)：由面面平行判定由面面平行判定(pndng)定理的推论定理的推论得：得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由由知知EGkAC /EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH第30页/共32页第三十一页，共32页。 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共面，或直线判断四点共面，或直线平行于平面平行于平面) 0(/ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结小结(xioji)共面共面) 1(APyxOByOxO) 1(0zyxOCzOByOAxOP第31页/共32页第三十二页，共32页。