2-1导数的概念

《2-1导数的概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2-1导数的概念（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2021/6/301第二章 一元函数微分学及其应用第一节 导数的概念作业作业 习题习题2.1(A)2.1(A)1(4),2(3)(4),7,8,9,11,16,171(4),2(3)(4),7,8,9,11,16,17(B)1,2,3(B)1,2,32021/6/302第二章微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)一元函数微分学及其应用导数思想最导数思想最早由法国数早由法国数学家学家 Fe

2、rma 在研究极值在研究极值问题中提出问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton2021/6/303一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系第一节第一节导数的概念导数的概念 五、导数在其它学科中的含义五、导数在其它学科中的含义2021/6/304一、 引例1. 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tt v)()(0tftf 0tt 而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t

3、lim0ttv )()(0tftf 0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动自由落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/305 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 曲线曲线)(:xfyC 在在 M 点处的点处的切线切线割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T)(时时当当MN 2. 平面曲线切线平面曲线切线的的斜率斜率

4、2021/6/306两个问题的共性:瞬时速度瞬时速度 lim0ttv )()(0tftf 0tt 切线斜率切线斜率 lim0 xxk )()(0 xfxf 0 xx 所求量为函数改变量与自变量改变量之比的极限所求量为函数改变量与自变量改变量之比的极限 .类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度改变量速度改变量与与时间改变量时间改变量之比的极限之比的极限是是转角改变量转角改变量与与时间改变量时间改变量之比的极限之比的极限是是质量改变量质量改变量与与长度改变量长度改变量之比的极限之比的极限是是电量改变量电量改变量与与时间改变量时间改变量之比的极限之比的

5、极限变化率问题变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/307二、导数的定义定义定义1.1 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx 00)()(xxxfxf xyx 0lim存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记作记作:;0 xxy ;)(0 xf ;dd0 xxxy 0d)(dxxxxf 即即0 xxy )(0 xf xyx 0limxxfxxfx )()(lim000hxfhxfh)()(lim000 则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点在点0 x处处可导可导, 在点在点0 x的的导数导数. xxfxxfx )()(

6、lim0002021/6/308例例1 1.0,0, 00,1sin)(2处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解xxxx01sinlim20 xxx1sinlim0 0)0()(lim0 xfxfx0)0(,0)( fxxf且且处可导处可导在在0 可导，可导，在在设设0 xfhhxfhxfh)3()2(lim000 求求极极限限) 3(3)()3(22)()2(lim00000 hxfhxfhxfhxfh)(50 xf 例例2 22021/6/309例例3 3.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhf

7、hh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 .0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy不不存存在在，hfhfh)0()0(lim0 2021/6/30102.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim000000 xxfxxfxxxfxfxxx ;)()(lim)()(lim000000 xxfxxfxxxfxfxxx 定理定理左导数左导数)(0 xf 和右导数和右导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等. )(0 xf )(0 xf一般地，分段函数分段点处的可导性要利用一般地，分段函数分段点处的可导

8、性要利用左右导数来判定。左右导数来判定。2021/6/3011若若)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导. . 0limxx00)()(xxxfxf xyx 0lim若上述极限不存在若上述极限不存在 ,在点在点 不可导不可导. 0 x若若,lim0 xyx也称也称)(xf在在0 x若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数.记作记作:;y ;)(xf ;ddxy.d)(dxxf就说函数就说函数就称函数就称函数在在

9、 I 内可导内可导. 的导数为的导数为无穷大无穷大 .)(0 xf 0)(xxxf 2021/6/3012例例5 5.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 44cos)(sin xxxx.22 例例4 4.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即.sin)(cosxx . 0)( C2021/6/3013例例6 6.)(的的导导数数为

10、为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 2021/6/3014例例7 7.)1, 0()(的的导导数数求求函函数数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx .)(xxee 例例8 8.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .1)(lnxx

11、 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa axln1axxaln1)(log2021/6/3015oxy)(xfy T0 xM1、几何意义、几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 三、导数的几何意义、物理意义2021/6/30162.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间

12、的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.2021/6/3017四、可导与连续的关系定理定理1.11.1证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)0(0 x.)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x ,)(0可可导导在在点点如如果果函函数数x

13、xf.0处处一一定定连连续续则则它它在在 x注意注意: : 该定理的逆定理不成立，即连续不一定可导。该定理的逆定理不成立，即连续不一定可导。处处在在例例如如0)( xxxf2021/6/3018五、导数在其它学科中的含义变化率,)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 平均变化率平均变化率,)()(00 xxfxxfxy 变化率变化率例例1: 直流电路中，电量直流电路中，电量q= q(t) 对对t 的变化率为的变化率为)(tq 它表示它表示t 时刻的电流强度时刻的电流强度2021/6/3019例2：设N=N(t)表示某生物种群在t时刻个体的数目,)()(lim)(0000t

14、tfttNtNt 则则例例: 经济学中的边际成本经济学中的边际成本设设p=p(x)它表示生产它表示生产x个某种产品的总成本个某种产品的总成本表示表示t时刻种群的增长率时刻种群的增长率0t平均成本平均成本,)()(00 xxpxxpxp ,)()(limlim0000 xxpxxpxpxx 边际成本边际成本2021/6/3020内容小结.sin)(cosxx . 0)( C.cos)(sinxx 1. 导数的实质导数的实质:3. 导数的几何意义导数的几何意义:4. 可导必连续可导必连续, 但连续不一定可导但连续不一定可导;5. 已学求导公式已学求导公式 :6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,

15、 一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.axf )(02. axfxf )()(00改变量之比的极限改变量之比的极限;切线的斜率切线的斜率;.ln)(aaaxx .)(xxee axxaln1)(log)(.)(1Rxx .1)(lnxx 2021/6/3021思考与练习1. 已知已知,)0(,0)0(0kff 则则._)(lim0 xxfx0k2. 若若),( x时时, 恒有恒有,)(2xxf 问问)(xf是否在是否在0 x可导可导?解解:由题设由题设 )0(f00)0()( xfxfx 0由夹逼准则由夹逼准则0)0()(lim

16、0 xfxfx0 故故)(xf在在0 x可导可导, 且且0)0( f2021/6/30223. 设 0,0,sin)(xxaxxxf, 问问 a 取何值时取何值时,)(xf 在在),( 都存在都存在 , 并求出并求出.)(xf 解解: )0(f00sinlim0 xxx1 )0(f00lim0 xxaxa 故故1 a时时,1)0( f此时此时)(xf 在在),( 都存在都存在, )(xf0,cos xx0,1 x显然该函数在显然该函数在 x = 0 连续连续 .2021/6/3023解解: 因为因为4. 设设)(xf 存在存在, 且且, 12)1()1(lim0 xxffx求求).1(f xxffx2)1()1(lim0 所以所以. 2)1( fxfxfx2)1()1(lim0 )()1()(1(lim210 xfxfx 1)1(21 f2021/6/3024)(xf在在 0 x处连续处连续, 且且xxfx)(lim0存在，存在， 证明证明:)(xf在在0 x处可导处可导.证：证：因为因为xxfx)(lim0存在，存在， 则有则有0)(lim0 xfx,0)(处连续处连续在在又又 xxf0)0( f所以所以 xxfx)(lim0即即)(xf在在0 x处可导处可导.5. 设xfxfx)0()(lim0 )0(f 故故 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！