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1、一、 尺规作图1. 作一个角等于已知角的方法已知：AOB，求作：AOB=AOB.OABCDOABCD作法：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；2.画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；3.以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D；4.过点D画射线OB，则AOB=AOB.2. 先任意画出一个ABC.再画一个ABC，使A B=AB , BC=BC，CA =CA.作法：画一个ABC ，使AB=AB, AC=AC，BC=BC ：（1）画BC=BC；（2)分别以点B,C为圆心，线段AB，AC长为半径 画弧，两弧相交于点A; (3)连接
2、线段AB，AC.二、 角的平分线导入：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看.角的平分线的画法图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就 是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？作已知角的平分线的方法.已知：AOB.求作：AOB的平分线.作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分
3、别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求（如图).理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS”拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线注意： “大于 MN的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交如图所示，已知AOB，求作：AOM AOB.角的平分线的性质 如图12.3-3，任意作一个角AOB，作出 AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，点P 画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取 几个点试一试. 通
4、过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 要点精析： (1)点一定要在角平分线上； (2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度； (3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等2.书写格式：如图，OP平分AOB， PD OA于点D，PEOB于 点E, PDPE. 例1、如图, AOC=BOC，点 P 在OC 上，PDOA,PEQB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.证明：PDOA, PEOB, PDO=PEO=90. 在PDO和PEO中， PDO=PEO, AOC=BOC, OP=OP, PDO PEO(AAS). PD=PE.例1】如图，在
5、ABC中，C90，AD平分CAB，DEAB于E，F在AC上，BEFC， 求证：BDDF. 导引：要证BDDF，可考虑证两线段所在的 BDE和FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DECD即可，这可由AD平分CAB及垂直条件证得1、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA 和OB 的距离相等.2、如图，在ABC中，C90，ACBC，AD 平分CAB交BC于D，DEAB于E，若AB 6 cm，则DBE的周长是() A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm3、如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分ABC，交CD于点E，BC50，DE14，则BCE的面积等于_
6、总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分AOB，PDOA于D，PEOB于E，DE交OC于点F. (1)角的相等关系：AOCBOCPDFPEF；ODPOEPDFOEFODFPEFP 90；DPOEPOODFOEF. (2)线段的相等关系：ODOE，DPEP，DFEF.三、 角平分线的判定 角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边距离相等.交换上述已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上书写格式：如图，PDOA，PEOB，PDPE, 点P在AOB的平分线上(或AOCBOC)【例1】 如图，BECF，DFAC于点
7、F，DEAB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分BAC.导引：要证AD平分BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明BDE和CDF全等来完成证明角平分线的“两种方法”(1)定义法：应用角平分线的定义.(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.1、在正方形网格中，AOB的位置如图所示，到AOB 两边距离相等的点应是() A点M B点N C点P D点Q2、 如图，在四边形ABCD中，ABCD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得SP
8、AB SPCD，则满足此条件的点P() A有且只有1个 B有且只有2个 C组成E的平分线 D组成E的平分线所在的直线(E点除外)三角形的角平分线如图，ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等. 三角形得角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心.1 到ABC的三条边距离相等的点是ABC的() A三条中线的交点 B三条角平分线的交点 C三条高的交点 D以上均不对2 如图，ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则 SABOSBCOSCAO_.3 如图，ABC的ABC的外角的平分线BD与 ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到 三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.角的平分线的性质与判定定理的关系：性质判定定理(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备(2) 点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等 (3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上
尺规作图 角平分线
