2015年广州二模理科数学试卷与答案(完整)

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1、试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动

2、，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5. 考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：球的表面积公式，其中是球的半径 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1命题“若，则”的逆否命题是 ( )A若，则 B若，则C若，则 D若，则2已知，则下列不等关系式中正确的是 ( )A B C D3已知函数则 ( )yxO153-3图1 A B C D4函数的图象的一部分如图1

3、所示，则此函数的解析式为 ( )A BC D5已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为 ( )AVCB图2A B C D6如图2，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ( )A B C D 7已知两定点，若直线上存在点，使得，则称直线为“型直线”给出下列直线：；其中是“型直线”的条数为 ( )A1 B2 C3 D48设是函数的图象上一点，向量，且.数列是公差不为0的等差数列，且，则 ( )A.0 B.9 C.18 D.36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9已知为虚

4、数单位，复数，则 10执行如图3所示的程序框图，则输出的的值是 图311已知，若，则 125名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排2人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）13在边长为1的正方形中，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若为的最小值，其中，则 BACDFG图4（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形中，点为边的中点， 与的延长线交于点，且平分，作，垂足为，若，则的长为 15（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系中，已知曲线和的方程分别为（为参数）和（ 为参

5、数），则曲线和的交点有 个三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知的三边，所对的角分别为，且1) 求的值；2) 若的面积为，求外接圆半径的大小17（本小题满分12分）年龄频率/组距304050600.010 c0.0350.0250某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）现从回收的年龄在2060岁的问卷中随机抽取了份，统计结果如下面的图表所示组号年龄分组答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率120,30)28230,40)270.9340,50)50.5450,600.41) 分别求出，的值

6、；2) 从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记为第3组被授予“环保之星”的人数，求的分布列与数学期望18（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，分别是棱，上的点，且1) 证明：，四点共面；2) 求直线与平面所成角的正弦值C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1图519（本小题满分14分）已知点在直线：上，是直线与轴的交点，数列是公差为1的等差数列（1）求数列，的通项公式；（2）求证：20（本小题满分14分）已知圆心在轴上的圆过点和，圆的方程为（1）求圆的方程；（2）由圆上的动点向圆作两条切线分

7、别交轴于，两点，求的取值范围21（本小题满分14分）已知函数，（其中为自然对数的底数）1) 若函数在区间内是增函数，求实数的取值范围；2) 当时，函数的图象上有两点，过点，作图象的切线分别记为，设与的交点为，证明2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得

8、分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题，满分40分 题号12345678答案CDAABBCC 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题题号9101112131415答案1323016（本小题满分12分）解：（1）因为，所以可设，2分由余弦定理得，3分 4分（2）由（1）知，因为是的内角，所以6分由（1）知，因为的面积为，所以，8分即，解得10分由

9、正弦定理，即，11分解得所以外接圆半径的大小为12分17（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得，解得1分第3组人数为，所以2分第1组人数为，所以3分第4组人数为，所以4分（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.5分依题意的取值为0，1，26分，7分，8分，9分所以的分布列为：0110分2 所以 12分18（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1（1）证明：连接，在四边形中，且，在四边形中，且，所以且，所以四边形是平行四边形所以2分在中，所以，所以4分所以C1ABA1B1D1CDMNEF

10、E1F1所以，四点共面6分（2）解：以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，8分则，10分设是平面的法向量，则即取，则，所以是平面的一个法向量12分设直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成角的正弦值为14分第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点为坐标原点，所在的直线C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，2分所以， 3分因为，且与不重合，所以5分所以，四点共面6分（2）解：由（1）知，10分 （特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设是平面的法向量，则

11、即取，则，所以是平面的一个法向量12分设直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成角的正弦值为14分第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接，在四边形中，且，在四边形中，且，C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1所以且，所以四边形是平行四边形所以2分在中，所以，所以4分所以所以，四点共面6分（2）连接，因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角7分连接，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，则8分因为，即9分在边长为3的正六边形中，在中，由余弦定理可得，在中，所以在中，所以在中，由余弦定理可得，所以所以11分又，12分所以13分所以故直线与平面所成角的正弦值为14分19（本小题

12、满分14分）（1）解：因为是直线：与轴的交点，所以，2分因为数列是公差为1的等差数列，所以4分因为点在直线：上，所以所以数列，的通项公式分别为，6分（2）证明：因为，所以所以7分所以8分因为，10分所以，当时，11分12分 又当时，13分所以14分20（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆的方程为：，1分因为圆过点和，所以3分解得，所以圆的方程为4分方法二：设，依题意得，圆的圆心为线段的垂直平分线与轴的交点1分因为直线的方程为，即，2分所以圆心的坐标为3分所以圆的方程为4分（2）方法一：设圆上的动点的坐标为，则，即，解得5分由圆与圆的方程可知，过点向圆所作两条切线的斜率必存在，设的方程为：

13、，则点的坐标为，同理可得点的坐标为，所以，因为，是圆的切线，所以，满足，即，是方程的两根，7分即所以9分因为，所以10分设，则11分由，可知在上是增函数，在上是减函数，12分所以，所以的取值范围为14分方法二：设圆上的动点的坐标为，则，即，解得5分设点，则直线：，即，因为直线与圆相切，所以，化简得 同理得， 由知，为方程的两根，7分即 所以 9分因为，所以10分11分令，因为，所以所以，12分当时，当时，所以的取值范围为14分21（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数在区间内是增函数， 所以1分即，即2分，因为在内恒成立，所以故实数的取值范围为4分解法二：因为函数在区间内是增函数， 所以1分即，即，2分设，当时，得，此时不合题意当时，需满足即解得，此时不合题意当时，需满足或或解得或，所以综上所述，实数的取值范围为4分（2）证明：因为函数，所以过点，作曲线的切线方程为：，：，因为与的交点为，由 6分消去，解得 7分下面给出判定的两种方法：方法一：设，8分因为，所以，且所以9分设，则10分令，则当时，所以，11分所以函数在上是增函数，所以，即，12分所以函数在上是增函数，所以13分因为当时，所以14分方法二：由得设，8分因为，所以，且于是，9分所以10分由（1）知当时，在区间上是增函数，11分所以，即 12分即，13分已知，所以14分