球面正弦余弦定理证明

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1、 4球面余弦定理和正弦定理平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角学，把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最根本的就是三角 形的余弦定理：设三角形 ABC的三条边分别是a、 b、 c ,它们的对角分 别是公、a、上白，那么匚=a2 +1/ - 2abcoSjCb2 = ca -F a.2 2cacosZB .-bs+ c2bccosZA其中，分别表示 4、上从zc的余弦。三角形的正弦定 理：设三角形ABC的三条边分别是a、b、c ,它们的对角分别是、NB、 ”,那么sin ftn/B gixiNCa b co类似地，球面三角形也有有效能算的边角函数关系

2、，其中最主要的结果就是球面 三角的正弦定理和余弦定理。为证明球面三角余弦定理，我们介绍有关向量的另 一种乘积一外积。两向量a与b的外积是一个矢量，记做ax b,它的模是|ax b|=|a|b|疝、(a,b)它的方向与a,b者B垂直，并且按a,b,ax b这个顺序构成右手 标架。对于向量的外积，有拉格朗日包等式成立。ax b (a x b )=(a a(b) b ) -(a- b ) (b a)定理4.1球面三角余弦定理在单位球面上，对于任给球面三角形 &43c ,其三边津也二和三角H包满足下述函数关系cost; = cosZjcosc H-Slll 3SUI CCOS j4cosi = cos

3、iicosc -i-ciii a sin ccosB+ sdii d sin Bjz C-证法一证明：如图4-1所示，图4-1乩3c是单位球面上的三点，以a,b,c分别表示单位长向量孔色 ,那么球面 三角形 庄8。的三角角度和三边边长分别可以用空间向量a,b,c表达如下：&是b,c之间夹角的弧度，所以 8ss =b c,同理有coS =a - c, coS =a b。/工是“a,b 所X的平面和“ a,c所X的平面之间的夹角，所以也等于ax b和ax c之间的夹角，即ax b（ax c）=| a x b| |a x c| cosA=，1n 匚*1nAe人同理亦有bxc(bXaT如sswQBcx

4、 a(cx b)=sm 951nles 由a* 扪(ax c)=sin e sin/? cos /= coS3 一cosicosc所以-1 ： ；同理可证cosb = cosacosic + sin a sin treesBcos = coscos-fe + sin a sin ices C当单位球面上的球面三角形三边都小于 2时，可以用平面三角余弦定理证明球面 三角余弦定理。证明如下：取球面三角形将各顶点与球心O连接，过顶点A作b,c边的切线，分别 交OC,OB的延长线于N,M,由此得到两个平面直角三角形月队AEN和两个 平面三角形”0M凯为必在心。班 中，根据平面三角形的余弦定理，有2cM

5、口。同理在 A24M 中叱二工产十二2工城,枷3 A因此0犷 WM2-2OM 0MC8A工产+ 2AM-HMcxH 即0A 0A , AM AN Aq - - COB COSS2。必-2Q!/(Wc9 = -即加加0M因即得2s式=8$配80+血占血。同理可证cosi = costicosc + sin ci sin s j证明：由的极对偶三角形口”的余弦定理g荷=cosi*cos/+sin 8sin;*csH利用上节定理3.1将4BC中相应的元素代入上式即有乘以一 1,化简得cos(闱-j4) = s式元- 5)cos(jt - C) + 5m(- B) sin(后一 口匚。式帝一0)835二-C8msscT +汕 sm 085口同理可证其他两式0