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1、会计学1多元函数微分学多元复合函数求导多元函数微分学多元复合函数求导第三节第三节 复合函数的微分法复合函数的微分法一一. 复合函数的微分法复合函数的微分法一元复合函数的微分法则-链导法:dxdududydxdy推广)(),().1 (xxfz定理1 设 和 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 在点x可导,且)(xv)(),(xxfz)(xudxdvvfdxduufdxdz注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.全导数2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.(证明略)uzvx第1页/共13页例如:)(),(),(),(xhwx
2、vxuwvufzdxdwwfdxdvvfdxduufdxdz),(),().2(yxyxfz定理2 设 和 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可微,则复合函数 在 点(x,y)可偏导,且),(yxv),(yxu),(),(yxyxfzxvvzxuuzxzyvvzyuuzyzzuvwxzuvxy第2页/共13页),(),(),(),(yxhwyxvyxuwvufz类似的:xwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyzzuvwxy类似的:,),(),(),(yxyxfzyxuyxufzxfxuufxzyfyuufyz 对x的偏导数,),(yxyxfz),(yx
3、ufz 对x的偏导数注意符号的区别zxuyxy第3页/共13页例1.,sinyxvxyuvezu求yzxz,解法一: 将 u,v 带入解出偏导数;解法二: 用链导法:xvvzxuuzxz1cossinveyveuu)cos()sin(yxyxyexyyvvzyuuzyz1cossinvexveuu)cos()sin(yxyxxexy由此例看出,链导法对于具体函数帮助不大第4页/共13页例2.yxzeuzyxsin,2222求xz解法一: 解法二: yxyxeu2422sin)sin42(23sin2422yxxexuyxyxxfxzzfxu2222222sin22zyxzyxxeyxze例3.
4、)(),(ufxyfz 可微,证明0yzyxzx)()(2xyufxududzxzxufyududzyz1)(0yzyxzx第5页/共13页例4.)(,)(22ufyxfyz可微,证明211yzyzyxzx2)2(fxf yxz yfyzyxzx11122ffxy 2)2(fyf yfyz 222ffyf2yz第6页/共13页二二. 复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数例5.fxyyxfz),(22具有二阶连续偏导数,求yxzxz222,xyvyxuvufz,),(22xvvzxuuzxz212yfxf 注意:),(1vuffu),(2vuffv2222211211122xvfxufyxv
5、fxufxfxz222121121442fyxyffxf第7页/共13页22221212112yvfyufyfyvfyufxyxz221222112)(24xyffyxxyff例6.fxyzzyxfw),(具有二阶连续偏导数,求zxw221yzffxw)(2221212112xyffyzyfxyffzxw22221211)(zfxyyfyfzxf第8页/共13页三三. 全微分形式不变性全微分形式不变性dxxvvzxuuz)(dyyvvzyuuz)(dvvzduuzdzvufz: ),(),(yxv),(yxu若:),(),(yxyxfz则对dyyzdxxzdz)()(dyyvdxxvvzdyy
6、udxxuuzdvvzduuz全微分形式不变性第9页/共13页注:(1).利用全微分形式不变性可得出与一元函数类似的微分 法则;(2).可以利用全微分形式不变性及微分法则求微分和偏导数.例如前面例1:vdvevdueveddzuuucossin)sin(解法三:)cos()sin(yxyxyexzxy)cos()sin(yxyxxeyzxyxdyydxxyddu)(dydxyxddv)(dxyxyxyexy)cos()sin(dyyxyxxexy)cos()sin(第10页/共13页. 4 )cossin(e2 cossinecose) 2cose (2) 2cose (sinecose2sine,2sine 2212112122x2112x11x121221xyffyxyyyfyyfyfyfxyfyfyyfxffyyyxzxfyfxzxxxxxxyxzfyxyfzx222,),sine (. 1求有二阶连续偏导数其中练习第11页/共13页.d) (d) (d) (d, , ,322131322131zxfyfyzfxfxzfyfsxfyfzszfxfyszfyfxsdsfzxyzxyfs求有连续偏导数其中,),(. 2第12页/共13页
多元函数微分学多元复合函数求导PPT学习教案
