函数项级数的一致收敛性及其应用

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1、 函数项级数的一致收敛性与其应用摘要：随着科学技术的开展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的开展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身与工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性与其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进展梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用.关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数Uniformly

2、Convergence Series of Functions and ApplicationAbstract:With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidlywith the in-depth study of

3、it. With the infinite series, series of functions came into being.Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of

4、 function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calcul

5、ation of series of functions.Key words:series of functions; uniformly convergence;series of powers目 录1 引言12 函数项级数的相关概念介绍2 2.1 函数列与其一致收敛性22.2 函数项级数与其一致收敛性32.3 一致收敛函数项级数的性质43 函数项级数的一致收敛性判别法53.1 一般判别法53.2 尔斯特拉斯判别法73.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法7 阿贝尔判别法 8 狄利克雷判别法 83.4 类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法 10 比式判别法10 根式判别法11 对数判别法

6、123.5 Dini判别法134 幂级数的应用 144.1 幂级数的定义 144.2 幂级数的应用 14 幂级数在近似计算中的应用14 幂级数在计算积分中的应用15 幂级数在求极限中的应用15 幂级数在数列求和中的应用16 幂级数在欧拉公式推导中的应用16 幂级数在求导中的应用17 幂级数在概率组合中的应用17 幂级数在证明不等式中的应用18 用幂级数形式表示某些非初等函数185 总结19致20参考文献2120 / 241 引言随着科学技术的开展，人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的

7、定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的开展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年尔斯特拉斯利用函数项级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子.其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个根本方法，特别是利用级数的理论进展函数的Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以与无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响(朱正佑,2001)1.函数项级数在数学科学本身与工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的

8、一致收敛性与其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定方法进展梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的函数项级数幂级数为例，对其在计算方面的应用进展举例说明.2 函数项级数的相关概念介绍2.1 函数列与其一致收敛性定义1设是一列定义在同一数集上的函数，称为定义在上的函数列，也可简单的写作：或，.设，以代入可得数列假设数列收敛，那么称函数列在点收敛，称为函数列的收敛点.假设数列发散，那么称函数列在点发散.假设函数列在数集上每一点都收敛，那么称在数集上收敛.这时上每一点，都有数列的一个极限值与之相对应，由这个对应法那么所确定的上的函数，称为

9、函数列的极限函数.假设极限函数记作，那么有，或 ，. 使函数列收敛的全体收敛点集合，称为函数列的收敛域.定义2 设函数列与函数定义在同一数集上，假设对任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有，那么称函数列在上一致收敛于，记作, .注：本文用“表示一致收敛.由定义看到，如果函数列在上一致收敛，那么对于所给的，不管上哪一点，总存在公共的即的选取仅与有关，与的取值无关，只要，都有.由此可以看到函数列在上一致收敛，必在上每一点都收敛.反之，在上每一点都收敛的函数列，在上不一定一致收敛.2.2 函数项级数与其一致收敛性定义3 设是定义在数集上的一个函数列，表达式+， 1称为定义在上的函数项级

10、数，简记为 或。称，为函数项级数的局部和函数列。假设，数项级数 2收敛，即局部和当时极限存在，那么称级数1在点收敛，称为级数1的收敛点假设级数2发散，那么称级数1在点发散.假设级数1在的某个子集上每点都收敛，那么称级数1在上收敛假设为级数1全体收敛点的集合，这时那么称为级数1的收敛域级数1在上每一点与其所对应的数项级数2的和构成一个定义在上的函数，称为级数1的和函数，并写作，,即，也就是说，函数项级数1的收敛性就是指它的局部和函数列的收敛性定义4 设是函数项级数的局部和函数列假设在数集上一致收敛于函数,那么称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛(华东师大学数学系，2001)2.2.3

11、 一致收敛函数项级数的性质定理1 连续性假设函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，那么其和函数在上也连续.它指出：无限项求和运算与求极限运算可以交换顺序，即.定理2 (逐项求积)假设函数项级数在上一致收敛，且每一项都连续，那么.此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺序.定理3 (逐项求导)假设函数项级数在上每一项都有连续的导函数，为的收敛点，且在上一致收敛，那么.此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序(桂秀，2005)3.3 函数项级数的一致收敛性判别法3.1 一般方法判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点,又是

12、一个难点.一般的情况下,证明一致收敛会利用一致收敛的定义，即定义4来证明.定义4的条件太强，函数项级数固定一点,实际上是一个特殊数列.受此启发,利用数列的性质得到以下定理：定理4 一致收敛的柯西准那么函数项级数在数集上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数，使得当时，对一切和一切正整数，都有或 .此定理中当时，得到函数项级数一致收敛的必要条件.推论 函数项级数在数集上一致收敛的必要条件为：函数列在上一致收敛于零.设函数项级数在上的和函数为，称为函数项级数的余项.定理5 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是：.证明必要性 因为在区间上一致收敛,所以，使得当时，对一切,都有，即，所

13、以，所以.充分性 设在上不一致收敛,即，,，使得，即，所以.与矛盾(岚，2003)4. 例1假设在上可积，且与在上都可积，设，那么在上一致收敛于.证明()，所以利用定理1,当时，一致收敛于.例2 设，在上连续，又在收敛于连续函数，那么在一致收敛于.证明 其中是单调递减且趋于0，所以，有，且，时，有.将固定，令，因为在上连续,既然，所以，当时.从而时更有即仅当.如上所述,对每个点，可找到相应的邻域与相应的,使得时，对恒有.如此构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖.不妨记为，于是，总，使得当时，取，那么当时，恒有.由定理2得，在一致收敛于.3.2 尔斯特拉斯判别法判别函数项级数的一致收敛性除了定

14、义与定理4外，有些级数还可以根据级数各项的特性来判别.定理6(尔斯特拉斯判别法)设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，假设对一切，有， 3那么函数项级数在上一致收敛.证明由假设正项级数收敛，根据数项级数的柯西准那么，任给正数，存在某正整数，使得当与任何正整数，有.又由3式对一切有.根据函数项级数一致收敛的柯西准那么，级数在上一致收敛.例3 判断函数项级数在上的一致收敛性.证明 因为对一切有 ，而正项级数是收敛的，所以根据尔斯特拉斯判别法知，函数项级数在上是一致收敛的.定理6也称为判别法或优级数判别法.当级数与级数在区间上成立关系式3时，那么称级数在上优于级数，或称为的优级数.3.3 阿贝

15、尔判别法与狄利克雷判别法下面讨论定义在区间上形如 4的函数项级数的一致收敛判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝尔分部求和公式. 阿贝尔判别法定理7阿贝尔判别法设在区间上一致收敛；对于每一个,是单调的；在上一致有界，即对一切和正整数,存在正数，使得 .那么形如的级数在上一致收敛.证明 由，任给，存在某正整数，使得当与任何正整数，对一切，有又由，与阿贝尔引理得到.于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准那么就得到本定理的结论.例4 判断函数项级数，的一致收敛性.证明 记 ，,因为是收敛的数项级数，从而在上一致收敛.又因为每个，单调，且在上一致有界，于是由阿贝尔判别法易知级数4在上一致收敛(庆生，20

16、09；翟永恒，2009；桂仙，2009)5. 狄利克雷判别法定理8狄利克雷判别法设的局部和函数列，n=1，2，在上一致有界；对于每一个，是单调的；在上，那么形如的级数在上一致收敛.证明 由，存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时，.对任何一个，再由与阿贝尔引理，得到.再由，对任给的，存在正数，当时，对一切，有，所以，.于是由一致收敛性的柯西准那么，级数4在上一致收敛.例5 函数项级数 在上一致收敛.证明 因为记，时，一致收敛,单调且并且一致有界，所以由阿贝尔判别法得函数项级数在上一致收敛.例6 假设数列单调且收敛于零，那么级数在上一致收敛.证明 由，在上有，所以，级数的局部和函数列在上一致

17、有界，于是令，那么由狄利克雷判别法可得级数在上一致收敛. 对于级数，只要单调且收敛于零，那么级数在不包含的任何闭区间上都一致收敛.3.4 类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法函数项级数作为数项级数的推广,在研究容上同数项级数有许多极其相似的地方,比方它们的收敛性、和的问题,但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是它的一致收敛性，比照数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们判别法的名称上,比方它们都有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等.对于函数项级数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的方法,是

18、一个值得研究的课题.有鉴于此,结合数项级数的比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时利用级数的收敛性和优级数判别法还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法(毛一波，2006)6. 比式判别法 定理9设为定义在数集上正的函数列,记，存在正整数与实数、,使得:,对任意的,成立,那么函数项级数在上一致收敛.证明易见,而等比级数，当公比时收敛，从而由函数项级数一致收敛的优级数判别法知，在上一致收敛.定理9有极限形式：定理10设为定义在数集上正的函数列,记，假设：,且在上一致有界，那么函数项级数在上一致收敛.例7 设为定义在上的函数列，证明级数在上一致收敛.证明

19、 由于：，由定理10，知函数项级数在上一致收敛.根式判别法定理11 设为定义在数集上的函数列，假设存在正整数,使得，成立，那么函数项级数在上一致收敛.证明 由定理条件，成立，而几何级数收敛，由优级数判别法，函数项级数在上一致收敛.注：当定理11条件成立时，级数在上还绝对收敛.定理11的极限形式为：定理12 设为定义在数集上的函数列，假设，成立，那么函数项级数在上一致收敛.例8 证明函数项级数在上一致收敛其中为大于1的实常数.证明 因为 ，由定理12知，函数项级数在上一致收敛吴良森，毛玉辉，20027. 对数判别法定理13设为定义在数集上正的函数列,假设 存在，那么假设,，那么函数项级数在上一致

20、收敛.假设,，那么函数项级数在上不一致收敛.证明 由定理条件知，对，,使得，有，即 ，那么当，成立时，有，而级数当时收敛，由优级数判别法知函数项级数在上一致收敛；当对成立时，有，级数当时发散，从而函数项级数在上不一致收敛.3.5 Dini判别法定理14假设每个均在上连续且非负；在上收敛于连续函数；那么在上一致收敛于.例9 证明：在闭一致收敛.证明 显然，在上一致有界.任取对，易证当充分大时单调递减且，每个与均在上连续，故由Dini定理知在上一致收敛于0，于是，由狄利克雷判别法知原级数在上一致收敛.所以，由的任意性知，原级数在上闭一致收敛(吉米多维奇，1987)8.4 幂级数的应用幂级数是一类最

21、简单的函数项级数，下面我们以幂级数为例，说明函数项级数的一致收敛性在计算中的应用4.1 幂级数的定义定义5 由幂函数列所产生的函数项级数，称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上讲，它可以看作是无穷多项式函数的延伸.4.2 幂级数的应用幂级数是高等数学中的一个非常重要的容，其简单的结构形式和逐项求导、逐项求积的优良性质使之成为一种有效的计算工具，它能应用于近似计算、积分计算、数项级数求和、欧拉公式的推导等问题中.巧妙地利用函数的幂级数展开式与幂级数的性质能够把一个复杂的性质以与一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚(瑜,2009)

22、9.幂级数在近似计算中的应用我们可以利用幂级数展开式进展近似计算,即在展开式有效的区间上,函数值可以近似的利用这个级数按准确度要求计算出来(同济大学应用数学系，2002)10.例10 计算积分的近似值，要求误差不超过0.0001.解 由于，因此所给积分是反常积分.如果定义被积函数在处的值为1，那么它在积分区间上连续.展开被积函数，有，在区间上逐项积分，得.因为第四项的绝对值，所以取前三项的和作为积分的近似值：，算得 .幂级数在计算积分中的应用当的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算的定积分就遇到了困难.现在,我们可以利用幂级数展开式取有限项的方法近似计算这些定积分的值.具体计算时，要

23、求被积函数能够展成收敛的幂级数，且积分区间必须在幂级数的收敛域之，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算所求积分的值.例11证明： 证明 因为 ，所以 =，幂级数在求极限中的应用求函数极限的方法很多，幂级数法也是其中之一.例12 求的值.解 因为 ， 所以幂级数在数项求和中的应用一致收敛的幂级数的性质：幂级数在收敛区间可逐项求导与逐项求积分，可用于计算幂级数的和裴礼文，198311.例13 求解 当 时，设 =.设， 那么 ，且,从而 当时， ,此时，.令，可得 .幂级数在欧拉公式推导中的应用例14试用幂级数的展开式来推导欧拉公式.解当为实数时，由指数函数的幂级数展开式知,因为所以,即,在上式中以

24、置换可得,再由两式联立，解得：.幂级数在求导中的应用例15 求在处的阶导数.解因为函数在处的泰勒级数为，所以可先将用间接方法展成的幂级数，然后从的系数中解出，进展两次积分：那么，即 .幂级数在概率组合计算中的应用定义6 设是一个数列，假设存在一个函数，使得成立，那么称为数列的生成函数.例16将一颗骰子连续投掷10次，问：出现20点的概率是多少？解设表示共出现点的方式的总数，显然.从而的生成函数为：,因为所以的展开式中项的系数为,于是出现20点的概率为:.幂级数在证明不等式中的应用幂级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明不等式(淑辉，2005)12.例17 证明不等式.证明因为,而，,由于

25、，故. 用幂级数形式表示某些非初等函数例18 求连续函数的原函数.解 的原函数为，.，.令，有对幂级数在收敛区间逐项求积分，可得，另外，幂级数还可以定义三角函数和指数函数等等.幂级数的应用非常广泛，我们要在实际应用中善于发现，充分利用，以求最好的解决问题. 总结数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美，18世纪是分析的时代，数学进入到更高层次的研究，函数项级数是数学分析中的重要组成局部，因此研究函数项级数的一致收敛性具有重大的意义.目前，对于函数项级数的研究已经有了非常丰富的研究资料，并且其应用领域越来越广泛，在数学本身以与自然现象、工程技术，物理研究都有很大的作用.本文介绍了

26、函数项级数的历史背景、给出了函数项级数的概念、性质、函数列与其一致收敛性、函数项级数与其一致收敛性，归纳梳理函数项级数的一致收敛性的判定方法，以最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数的应用.随着科学技术的开展，函数项级数作为数学分析中的一项重要容，会在更多的领域拥有更广泛的应用，对其的研究也将更加的深入、透彻.参考文献1 朱正佑.数学分析下册M.:大学,2001.2 华东师大学数学系.数学分析下册M.:高等教育, 2001.3 桂秀.关于一致收敛函数项级数的注记J.学院学报,2005,(2):75.4 岚.函数项级数一致收敛定义的推广与其应用J.教育学院学报,2003,19 (2):86

27、-87.5 庆升,翟永恒,桂仙.函数项级数一致收敛的判别法J.科技信息,2009,(9):5316 毛一波.函数项级数一致收敛性的判定J.文理学院学报(自然科学版),2006,5(4):55-56.7 吴良森,毛羽辉等.数学分析习题精解M.:科学,2002.8 吉米多维奇.数学分析习题集四M.费定晖,周学圣译.:科学技术.1987.9 瑜.浅谈幂级数在计算中的应用J.前沿,2009,(8):282-283.10 同济大学数学系.高等数学下册M.:高等教育,2002.11 裴礼文.数学分析中典型例题与方法M.:高等教育,1993.12 淑辉.幂级数的应用J.教育学院学报,2005,(23):94-96.York:Springer-Verlag,1964.14 XU Chang-qing.BoursuksProblem in a Special Normed SpaceJ.Northeast Math.J,2004,(1):79-83.