高二数学两条直线位置关系

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1、word某某市控江中学 王蕙萱一、教学内容分析本小节的内容大致可以分为两局部：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，表现了解析几何用方程研究曲线的根本思想.本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以与根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的根底上，抓住“形与数的对应，

2、理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解.然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式.本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以与两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的

3、生长点，利用数形结合使学生理解“形与数之间的联系，以与利用数量关系处理几何关系的方法.对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题.二、教学目标设计理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量与其法向量的关系上的反映，理解“形与“数之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力.三、教学重点与难点求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直

4、线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计课堂小结并布置作业两条直线的位置关系与方程组的解的关系两条直线的交点坐标问题引出如何用直线方程判断两直线的位置关系两条直线的位置关系相交、平行、重合情境引入运用与深化(概念辨析、例题解析、巩固练习、问题拓展)六、教学过程设计 一、情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.思考并回答如下问题1、平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合.从几何特征上看：相交有唯一的公共点；平行没有公共点；重合至少有

5、两个公共点，进而有无数个公共点.说明通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况.2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样表现的呢？说明 通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题暂不要学生回答，给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性.二、学习新课关于两直线的交点、位置关系1、概念引入引例：解如下方程组：1；2；3然后，请你回答：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系

6、？解答：由直线方程的概念，我们知道方程组1有唯一的解，两条直线有且只有一个公共点为；方程组2有无数组解，两条直线有无数个公共点；方程组3无解，两条直线无公共点.说明 启发学生观察，并得出如下结论：方程组13的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是一样的；方程组1的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.2、概念形成一般地，设两条直线的方程分别为：不全为零：不全为零两条相交直线的交点坐标思考并回答：如何求直线

7、、的交点？解答：由直线与直线方程的对应关系，假如两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，如此交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，假如两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线、交点的求法：联立与的方程:()，此方程组的解,即为直线、交点.n 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系思考并回答：由方程如何判断直线、的位置关系？解答：由引例分析、归纳出：直线、的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线、的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线、的位置关系.联立与的方程，得方程组:()，此方

8、程组的解的个数与直线、交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:，.如此当时，方程组()有唯一的解为，此时、相交于一点，交点坐标是.当且中至少有一个不为零时，方程组()无解，此时、没有公共点，即直线与平行.当时，方程组()有无穷多个解，此时、有无数多个公共点，即直线与重合.说明这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮；指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.n 回到引例请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系.

9、说明与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式、的值，判断两直线的平行、重合、相交. 通过引例23指出，前提条件是直线方程为一般形式.3、概念的辨析n 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:与相交方程组()有唯一解即；与平行方程组()无解且中至少有一个不为零；与重合方程组()有无穷多解.n 时，与平行或重合，即是与平行的必要非充分条件.换言之，；假如两条直线不重合，如此/ 说明 引导学生得出：两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；对易出错的概念进展反思.4、例题分析例1直线：与：，某某数的值，使直线与平行.

10、补充例题解：先把直线的方程化为一般形式：. ,由,，解得或，当两方程化为与显然平行；当 两方程化为与两直线重合.不符合，即为所求 说明学生在练习中的“错误体验将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的强调是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验.例2 讨论直线如下各组直线之间的位置关系. 课本p17例2(1)与 ;(2)与.说明与时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规X的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示X作用，并与时归纳总结，培养学生分析、思考，以与严谨认真的数学学

11、习习惯;小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.例3求经过原点且经过直线与直线的交点的直线方程解：解方程组： 得，与的交点是，设经过原点的直线方程为，把点代入，得，所以，所求的直线方程为说明例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求.例4 假如三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？补充例题解:三条直线不能构成三角形三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.1假如三条直线交于同一点时,解方程组, 得，即与的交点是，把点代入直线的方程得2假如其中至少有两条直线平行时，由/得：; 由得:，综上：当或或时三条直线不能构成三角形.

12、说明本例为直线位置关系的综合运用，涉与到求直线的交点与直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上，列式求解.5问题拓展n 从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的表现呢?与的一个方向向量分别是=,=;一个法向量分别是=,=.如此与有如下关系：相交不平行不垂直;平行平行垂直;重合平行垂直.n 三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在分类讨论.假如至少有一条直线的斜率不存在，如此设此直线方程为,通过图示观察,易知其关系.假如两

13、直线的斜率都存在,直线方程可以化为:，:,如此有/且；和重合且；和相交.说明判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比拟单纯，这种方法更具一般性，便于使用，是本节课学习的重点.三、巩固练习练习11.31说明 进一步强化判断两条直线位置关系的方法，反应学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.四、课堂小结本课我们主要学习了哪些知识？应当注意什么？运用了那些思想方法？ 知识点：本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定方法，求两条直线的交点坐标的方法.讨论了两直线的位置关系，求字母系数值的方法.解决问

14、题时，注意区分两条直线平行与重合满足的条件. 数学思想方法：类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法说明 引导学生从知识内容和思想方法两个方面进展小结，使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，反思、巩固所用到的数学方法，达到巩固知识，明确方法的目的.五、作业布置1、书面作业：习题11.3-2,3,4,5,6,7,8,92、思考题：设直线的方程为，求证：不论m为何值，所给的直线经过一定点.解 方法一：取m=0,1得:,把交点坐标(3,4)代入原方程,可知对于任意m,原方程均成立, 即不论m为何值，所给的直线经过一定点(3,4).方法二：对于任意实数m,关于的方程的解都一样对于任意实数m恒成立, 得:,即不论m为何值，所给的直线经过一定点(3,4).说明作业布置1是课本习题，通过它来反应知识掌握效果，巩固所学知识，强化根本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；作业布置2设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由开展的空间，学生可以根据实际情况选用.- 8 - / 8