2022年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案苏教版选修5

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1、2022年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案苏教版选修5 (1)如何确定二元一次不等式所确定的平面区域？ (2)如何画出二元一次不等式组所表示的平面区域？ (3)如何用不等式组表示平面区域？ 1一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线点睛确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法2由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐

2、标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面 区域1不等式2xy60表示的平面区域在直线2xy60的_解析：作直线2xy60，将原点(0,0)代入检验答案：右下方2ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(2,0)，C(2,0)，则ABC内任意一点(x，y)所满足的条件为_解析：将点(0,0)代入直线AB：2xy40，得40，代入直线AC：2xy40，得40，故可知ABC的内部位于x轴的上方，故答案：3点(1,3)和点(4,2)在直线2xym0的两侧，

3、则m的取值范围是_解析：(1,3)和(4,2)在2xym0的两侧，(213m)2(4)2m0，即(m5)(m6)0，即5m6.答案：(5,6)4不等式组表示的平面区域的面积是_解析：如图所示，区域为ABC，S424.答案：4二元一次不等式表示的平面区域典例画出不等式2xy60表示的平面区域解先画直线2xy60(画成实线)取原点(0,0)，代入2xy6.200660(0)表示的区域不包括直线axbyc0，该直线要画成虚线(2)测试点选取要恰当一般地选原点(0,0)，(0,1)或(1,0)，如果测试点的坐标满足不等式，则所求区域为包括测试点的直线一侧，否则在直线的另一侧，最后将区域用阴影表示出来

4、活学活用1图中的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为_解析：直线过(4,0)，两点，故直线为2x3y80，则阴影部分表示为2x3y80.答案：2x3y802已知点A(0,0)，B(1,1)，C(2,0)，D(0,2)，其中不在不等式2xy2)的距离为a2.易知直线xa与xy0，xy40的交点坐标分别是(a，a)，(a,4a)结合图形及题意知(4a)a(a2)9，即(a2)29.又易知a2，因此a1.答案：1题点三：确定区域内整点的个数3由满足上题中的a所确定的区域内的整点有_个解析：满足上题中的a所确定的平面区域如图中的ABC的内部(包括边界)ABC三个顶点为A(2,2)，B(1,5)，C(1

5、，1)则在直线x1上的整点有7个在直线x0上的整点有5个，在直线x1上的整点有3个，在直线x2上的整点有1个，故共有753116个答案：16(1)求区域面积的2个注意点求平面区域的面积，先要画出不等式组表示的区域，然后根据区域的形状求面积求面积时，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点坐标，这样易求底与高，必要时分割区域为特殊图形(2)求区域内整点个数的方法画出满足不等式组的区域作出直线xn(nZ)，观察xn上有满足不等式组的区域内的多少个整点求出所有整点的和 层级一学业水平达标1若点P(a,3)在y2x3表示的区域内，则实数a的取值范围是_解析：点P(a,3)在y2x3表示的区域内，则32a3，解

6、得a0表示的平面区域内的有_解析：把各点坐标逐一代入不等式检验知B，D点符合不等式答案：B，D3图中阴影部分表示的区域满足不等式_解析：把原点(0,0)代入检测可知，阴影部分表示的区域满足不等式2x2y10.答案：2x2y104若直线y2x上存在点(x，y)满足不等式组则实数m的最大值为_解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示所以，若直线y2x上存在点(x，y)满足不等式组，则3m2m，即m1.故实数m的最大值为1.答案：15由直线xy20，x2y10和2xy10围成的三角形区域(包括边界)用不等式组表示为_解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示取原点(0,0)，将x0，

7、y0代入xy2得20，代入x2y1得10；代入2xy1得10.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为答案：6设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y02，则m的取值范围是_解析：不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y02，必须使点A位于直线x2y20的右下侧，即m2(m)20，m.答案：7在平面区域(x，y)|x|2，|y|2上恒有ax3by4，则动点P(a，b)所形成平面区域的面积为_解析：由条件可知，已知区域是以(2，2)，(2,2)，(2,2)，(2，2)为顶点的正方形内部及边界，从而动点P(a，b

8、)所形成平面区域是一个菱形，所求面积为S42.答案：8设不等式组表示的平面区域为M，若函数yk(x1)1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是_解析：作出平面区域，如图所示因为函数的图象是过点P(1,1)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点A(1,2)时，k取最大值；当直线l过点B(3,0)时，k取最小值，故k.答案：9画出下列不等式(组)表示的平面区域(1)2xy60；(2)解：(1)如图，先画出直线2xy60，取原点O(0,0)代入2xy6中，2010660，与点O在直线2xy60同一侧的所有点(x，y)都满足2xy60，因此2xy60表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所

9、示)(2)不等式xy5表示直线xy50及左下方的区域不等式x2y3表示直线x2y30右下方的区域不等式x2y0表示直线x2y0及右上方的区域所以不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示10已知不等式组表示的平面区域为，求当a从2连续变化到1时，动直线xya0扫过中的那部分区域的面积解：如图所示，为BOE所表示的区域，而动直线xya扫过中的那部分区域为四边形BOCD，而B(2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，CDE为直角三角形S四边形BOCD221.层级二应试能力达标1直线x2y10上方的区域可用不等式_表示解析：作图知，原点(0,0)在直线下方，所以直线上方区域不包括原点(0

10、,0)，把(0,0)代入得00110表示答案：x2y102若mxny60(mn0)所表示的区域不含第三象限的点，则点(m，n)在第_象限解析：由题意知，直线mxny60在两轴上的截距均大于0，m0，n0，点(m，n)在第一象限答案：一3若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_解析：如图，当直线ya位于直线y5和y7之间(不含y7)时满足条件，故5a1，SABC2，(1a)12，a3.答案：35若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_解析：由图可知，不等式组所表示的平面区域为ABC边界及内部，ykx恰过C，ykx将区域平均分成面积相等的两部分，故过

11、AB的中点D，所以k，k.答案：6不等式组表示的平面区域内的整点坐标为_解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，区域图形为直角三角形(不包括x轴和y轴)，x的整数值只有1,2.当x1时，代入4x3y12，得y，整点坐标为(1,2)，(1,1)当x2时，代入4x3y12，得y，整点坐标为(2,1)综上所述，平面区域内的整点坐标为(1,1)，(1,2)和(2,1)答案：(1,1)，(1,2)和(2,1)7已知点P(1，2)及其关于原点对称点均在不等式2xby10表示的平面区域内，求b的取值范围解：点P(1，2)关于原点对称点P(1,2)由题意知解得b.故满足条件的b的取值范围为.8设不等式组表示

12、的平面区域是Q.(1)求Q的面积S；(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合解：(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)由解得A(4，4)，由解得B(4,12)，由解得C(4,4)于是可得|AB|16，AB边上的高d8.S16864.(2)由已知得即亦即得t1,0,1,2,3,4.故整数t的取值集合是1,0,1,2,3,4第二课时简单的线性规划问题预习课本P8790，思考并完成以下问题 (1)线性规划的基本概念有哪些？ (2)利用线性规划解决实际问题的步骤有哪些？ (3)利用线性规划求目标函数的最值分哪几步进行？ 线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组

13、成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1已知实数对(x，y)满足则2xy取最小值时的最优解是_解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z2xy，y2xz，作初始直线l0：y2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点A(1,1)时，(2xy)min3.答案：(1,1)2已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点

14、(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是_解析：如图，根据题意得C(1，2)作直线xy0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1，2)时，zxy取范围的边界值，即(1)2z1.答案：(1，)4若变量x，y满足约束条件则zx2y的最大值为_解析：如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数zx2y经过xy0与xy20的交点A(1，1)时，取到最大值3.答案：35如图所示，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2xy的最小值为_解析：由图知，目标函数在点A(1,1)时，2xy1；在点B(，)时，2xy21；在点C(，1)时，2xy211；在点D(1,0)时，2xy2021，故最

15、小值为1.答案：16已知实数x，y满足若zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为_解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示要使zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线zyax必平行于直线yx10，于是有a1.答案：17如果实数x，y满足条件那么z4x2y的最大值为_解析：可行域为如图所示的阴影部分，A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(2，1)，(0，1)，直线y2xt过点B(2，1)时，t取得最大值3，故z4x2y22xy的最大值为8.答案：88设变量x，y满足约束条件且不等式x2y14恒成立，则实数a的取值范围是_解析：不等式组表示的

16、平面区域如图中阴影部分所示，显然a8，否则可行域无意义由图可知x2y在点(6，a6)处取得最大值2a6，由2a614得，a10.答案：8,109直线l：xmyn(n0)过点A(4,4)，若可行域的外接圆直径为.求实数n的值解：作出可行域如图所示，过原点的直线OA的倾斜角为60，由直线l：xmyn(n0)过点A(4，4)，可得44mn.又由可解得两直线的交点坐标即为A(4,4)，又点B坐标为(n,0)，AB7，(4n)2(4)249，n3或5.10已知x，y满足条件：求：(1)4x3y的最大值和最小值；(2)x2y2的最大值和最小值解：(1)作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示其中A(4,

17、1)，B(1，6)，C(3,2)，设z4x3y.直线4x3y0经过原点(0,0)作一组与4x3y0平行的直线l：4x3yt.则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大z最大值4(1)3(6)14，z最小值4(3)3218.故4x3y的最大值为14，最小值为18.(2)设ux2y2，则为点(x，y)到原点(0,0)的距离结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.u最大值(1)2(6)237，u最小值0，x2y2的最大值为37，最小值为0.层级二应试能力达标1设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_解析：

18、作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1，0)到直线2xy0的距离最小，d1，故最小距离为.答案：2若实数x，y满足则z3x2y的最小值是_解析：由已知不等式组作可行域如图阴影部分所示令x2yk，则yx，问题由求k的最小值转化为求直线yx的纵截距的最小值显然当直线yx过原点O时，截距最小，此时kmin0，z3x2y的最小值为1.答案：13已知x，y满足不等式组且z2xy的最大值是最小值的3倍，则a_.解析：依题意可知a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是_解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)当yax过A(1,9)时，a取最大值，此时a

19、9；当yax过C(3,8)时，a取最小值，此时a2，2a9.答案：2,95设变量x，y满足约束条件则满足函数y2xt的t最大值为_解析：由约束条件作出可行域如图所示，可知(x，y)是由点A(1,0)，B(2,1)，C(2，1)三点组成的三角形区域，令t2xy，即当经过C(2，1)时，t有最大值5.答案：56若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则loga(b)_.解析：由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分由z5yx，得y.由图知目标函数y，过点A(8,0)时，zmin5yx5088，即b8.目标函数y过点B(4,4)时，zmax5yx54416，即a16.所以log

20、a(b)log168.答案：7某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0

21、经过点A时，有最大值，由得最优解为A(50,50)，此时max550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元8已知x，y满足约束条件(1)求目标函数z2xy的最大值和最小值；(2)若目标函数zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；(3)求z的取值范围解：作可行域如图所示(1)作直线l：2xy0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A点时，z取最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取得最大值由得A.由得B(5,3)zmax25313，zmin21.(2)一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线zaxy平行于直线3x5y30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个又kBC，a.a.(3)z，可看作区域内的点(x，y)与点D(5，5)连线的斜率，由图可知，kBDzkCD.由得C.kBD，kCD，z的取值范围是.