高中数学 综合测试A 北师大版选修2-1

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1、高中数学 综合测试A 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1“a0且a1”是“loga30”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析a0且a1loga30，loga30a1.“a0且a1”是“loga30”的必要不充分条件2在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则()AabcBabcCabcDabc答案D解析()()()abc，故选D.3下列双曲线中，以直线x2y为渐近线的是()A1B1Cy21Dx21答案A解析1的渐近线方程为yx.故以x2

2、y为渐近线的双曲线为1.4(xx荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中高二期中)下列选项中，说法正确的是()A若命题“pq”为真命题，则命题p和命题q均为真命题B命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题C命题“若ab，则|a|b|”的否命题是真命题D命题“若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底”的逆否命题为真命题答案D解析由“pq”一真为真知，A错误；命题“若am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am2A，此时B为锐角，所以sin(B)sinA，即sinBsinA，综上：sinAsinB.反之亦成立，选A.分类讨论是解决本题的关键另解：由正弦正理得，a

3、b2RsinA2RsinB(R为ABC外接圆的半径)sinAsinB，故选A.6若双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则的最小值为()ABC2D1答案A解析由e2得2，从而ba0，所以a22.当且仅当a，即a时，“”成立故选A.7(xx新课标全国理，7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别为(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()答案A解析在空间直角坐标系中画出各点，可见这四点为正四面体的四个顶点，将其置于正方体ABCDA1B1C1D1中，易得此四面体在zOx平面投影图形为A.8以

4、1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A1B1C1D1答案D解析椭圆的顶点和焦点分别是1的焦点和顶点，椭圆的长半轴长为4，半焦距为2.b2a2c24，且焦点在y轴上，故所求方程为1.9已知椭圆y21的左，右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且0，则点M到y轴的距离为()ABCD答案B解析由题意，得F1(，0)，F2(，0)设M(x，y)，则(x，y)(x，y)0，整理得x2y23.又因为点M在椭圆上，故y21，即y21.将代入，得x22，解得x，故点M到y轴的距离为.10已知椭圆1(ab0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B

5、关于原点对称，则k1k2的值为()ABCD答案D解析依题意可知A，O，B三点在同一直线上，(O为坐标原点)，e21，.设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A、B两点关于原点对称，则k1k2.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCAA12，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为_答案30解析如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，B(0,0,0)，由D为A1C1中点知D(1,1,2)(1,1,2)，(0,2,2)cos，.异面直线AD与BC1所成的

6、角为30.12已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么在下列命题中：M的元素都不是P的元素；M中有不属于P的元素；M中有P的元素；M中元素不都是P的元素，真命题有_答案解析若命题p错误，则非p正确，即“非空集合M的元素不都是集合P的元素”正确，因此正确13在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_答案2解析本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识由双曲线标准方程1知a2m0，b2m24，c2a2b2mm24，由e得5，m0且5，m2.与圆锥曲线基本量计算有关的问题，一定要将方程化为标准形式14(xx江西文)设椭圆C：1(ab0)的左右焦点为F1，F2，作F2

7、作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_答案解析本题是椭圆综合性质的考查，如图ABx轴，不妨设A(c，)，B(c，)，又D是F1B与y轴的交点，可求得D(0，)且为BF1的中点ADF1B，F1AB为等腰三角形，|AF1|AB|2，|AF1|AF2|23，由椭圆定义得32a，e，此题要注意椭圆定义与已知几何关系的综合利用15.如图，在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D6，BC3，DC，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使PA平面ABCD.则下列命题正确的个数是_二面角PCDB成

8、45角；设折起后几何体的棱PD的中点为F，则AF平面PEC；平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小为60；点D到平面PEC的距离为.答案2解析如图，PA平面ABCD，PACD，CDAD，CD平面PAD，PDCD.PAD为二面角PCDB的平面角，在RtPDA中，PAAD，二面角PCDB成45角故正确；取PC的中点M，连接EM，FM，FMEA，且FMEA，则四边形EAFM为平行四边形，FAEM，AF平面PEC.故正确；设平面PEC和平面PAD所成二面角为，EA平面PAD，CD平面PAD，SPADPAAD33，SPECPCEM23，cos，.故错误；设点D到平面PEC的距离为h，连接BD、ED，

9、则VPECDSECDPA33，VDPECSPECh3hh，h，h.故错误综上，正确命题的个数为2.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16已知命题p：x|1cx0，命题q：(x3)216，且p是q的充分而不必要条件，求c的取值范围解析命题p对应的集合Ax|1cx0，由(x3)216可解得命题q对应的集合Bx|1x7，p是q的充分而不必要条件，AB，或0c2或0c2，0c2，所以所求c的取值范围为0c2.17已知动圆P过定点A(3,0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程解析如图，设动圆P和定圆B内切于点M，动

10、圆圆心P到两定点，即定点A(3，0)和定圆圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8. 所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长半轴长为4，短半轴长为b的椭圆，方程为：1.18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)若二面角B1DCC1的大小为60，求AD的长解析(1)如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)即(0,2,0)，

11、(1,0,1)，(1,0,1)，由(1,0,1)(0,2,0)0，得CDC1B1.由(1,0,1)(1,0,1)0，得.又DC1C1B1C1，CD平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.(2) 设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)则，z1，得m(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60，得，即a，故AD.19若椭圆C1：1(0b0)的焦点是椭圆的一个顶点(1)求抛物线C2的方程；(2)过M(1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切

12、线l1、l2，当l1l2时，求直线l的方程解析(1)已知椭圆的长半轴的长为2，半焦距c.e，b21.椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)抛物线的方程为x24y.(2)由已知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，yx2，yx，切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.当l1l2时，x1x21，即x1x24.由得：x24kx4k0.(4k)24(4k)0，解得k0，x1x24k4，即k1.此时k1满足，直线l的方程为xy10.20(xx重庆理)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上

13、一点，且BM，MPAP.(1)求PO的长；(2)求二面角APMC的正弦值解析(1)如图，连结AC，BD，因ABCD为菱形，则ACBDO，且ACBD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.因BAD，故OAABcos，OBABsin1，所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，(0,1,0)，(，1,0)由BM，BC2知，(，0)，从而(，0)，即M(，0)设P(0,0，a)，a0，则(，0，a)，(，a)，因为MPAP，故0，即a20，所以a，a(舍去)，即PO.(2)由(1)知，(，0，)，(，)，(，0，)，设平面AP

14、M的法向量n1(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10，n10，得故可取n1(1，2)，由n20，n20，得故可取n2(1，2)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2.故所求二面角APMC的正弦值为.21在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值

15、解析(1)设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.(2)当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y03，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3y46400.所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.