复变函数的级数表示PPT学习教案

《复变函数的级数表示PPT学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数的级数表示PPT学习教案（64页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、会计学1复变函数的级数表示复变函数的级数表示21、 复数列的极限1 复数项级数定义1,),2 , 1(nnnniban 其其中中为为一一复复数数列列设设时时的的极极限限，当当称称为为复复数数列列那那么么，恒恒有有当当若若 nNnNnn,0,0.,lim 收收敛敛于于此此时时，也也称称复复数数列列时时，或或当当记记作作nnnnn .为为一一复复常常数数iba 不收敛的数列称为发散数列.第1页/共64页3.;:有有界界数数列列不不一一定定收收敛敛收收敛敛数数列列一一定定有有界界注注.21lim1nni 求求例例,021lim, 12221 nnii所所以以分分析析：因因为为.021lim nni于

2、于是是定理1.lim,limlimbbaannnnnn 证明., 0, 0,lim nnnNnN恒恒有有当当即即”已已知知“第2页/共64页4.lim,lim,)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn 故故.lim,)()(22, 0, 0,lim,lim nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa故故，恒恒有有当当即即”已已知知“第3页/共64页52、 复数项级数 nnn 211 niinns121 级数前n项的和-级数的部分和-无穷级数定义2), 2 , 1( nibannn 设复数列定义3的的和和，为为，收收敛敛于于则则说说

3、即即为为极极限限，以以有有限限数数若若部部分分和和数数列列 11,limnnnnnnnssssss 1.nns记记作作：第4页/共64页6发发散散没没有有有有限限极极限限，则则称称若若部部分分和和数数列列 0nnns根据复数项级数收敛的定义，我们有.111都都收收敛敛和和收收敛敛级级数数 nnnnnnba定理2.1111 nnnnnnnnbia收收敛敛，则则若若 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.第5页/共64页7常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；4）交错级数的莱布尼兹判别法. 注意：定理3的逆命题不成立！收收敛敛的的必必要要条条件件级

4、级数数 1nn 定理3. 0lim: nn 注意经常应用定理3的逆否命题！.,1有有界界则则收收敛敛级级数数nnn 性质第6页/共64页8定理4.,11收收敛敛则则收收敛敛若若 nnnn证明(*),2222nnnnnnnnnnnbabababaiba 绝绝对对收收敛敛，再再由由比比较较法法知知 11,nnnnba.,111也也收收敛敛收收敛敛，从从而而于于是是 nnnnnnba定理5.111都都收收敛敛和和收收敛敛级级数数 nnnnnnba由不等式*，我们得到第7页/共64页9定义4.11111条条件件收收敛敛为为收收敛敛，则则称称发发散散，而而若若为为绝绝对对收收敛敛；收收敛敛，则则称称若若

5、 nnnnnnnnnn吗？吗？一定一定，思考题：思考题：收敛收敛 收敛收敛若若 11)1(nnnn吗？吗？问问发散，发散，收敛收敛 收敛收敛若若)()2(111 nnnnnnn吗？吗？问问都发散，都发散，和和收敛收敛 若若)()3(111 nnnnnnn第8页/共64页10解.)21(211)1(111发发散散收收敛敛，发发散散， nnnnninn例2否否绝绝对对收收敛敛？下下列列级级数数是是否否收收敛敛？是是 11;)2();21()1(nnnnniin 01.!)8()4(;2) 1()3(nnnnnniin.1)2(11不不绝绝对对收收敛敛发发散散， nnnnin第9页/共64页11.2

6、)1(21)1()3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛， nnnnnnninn.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条件件又又 nnn.!)8(!8!8)4(000绝绝对对收收敛敛收收敛敛， nnnnnnninni)7151311()614121(1 ininn由由于于 1.nnni条条件件收收敛敛于于是是第10页/共64页12定义1设复变函数列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( nDzzfn-称为复变函数项级数；级数前n项的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-级数的部分和；.)()1()()(lim00000称

7、称为为它它的的和和处处收收敛敛，在在则则称称级级数数存存在在，内内一一点点，如如果果为为设设zszzszsDznn 第11页/共64页13.)()(lim).()1(,)1(称称为为它它的的和和函函数数，即即记记为为内内的的一一个个函函数数，的的和和就就是是级级数数任任一一点点内内的的内内处处处处收收敛敛，则则对对于于在在如如果果级级数数 zszszsDzDDnn) 2()(00 nnnzzc形形如如 00.)2( ,)2(nnnczz变变为为中中令令在在定义2的函数项级数称为幂级数.第12页/共64页14关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：)3(.0 nnnzc后后主主要要讨讨论

8、论所所以以，不不失失一一般般性性，今今定理1 (-Abel定理）.,)0(000级数必绝对收敛的则对满足收敛在若级数zzzzzzcnnn.,00级数必发散的则对满足发散若级数在zzzzz第13页/共64页15001zzzz ，只只要要为为收收敛敛点点，则则对对任任意意点点）若若级数皆收敛且绝对收敛.002zzzz ，只只要要为为发发散散点点，则则对对任任意意点点）若若级数皆发散. 0nnnzc，有有所所以以，对对于于z0 收敛点0.xyz0发散点0.yx第14页/共64页16(?),2,1 ,0,00 nMzcMnn使使得得于于是是，存存在在常常数数证明. 0lim,)1(000 nnnnnn

9、zczc则则收收敛敛, 1|,00 qzzzz所所以以因因为为,00nnnnnnMqzzzczc ,0收收敛敛由由于于 nnMq,0收收敛敛由由比比较较判判别别法法得得 nnnzc.0绝对收敛绝对收敛 nnnzc第15页/共64页17(2)用反证法，收收敛敛，若若存存在在 01011,nnnzczzz.)1(00收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾，得得证证知知由由 nnnzc对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.的的逆逆否否命命题题呢呢？是是否否可可以以作作为为定定理理中中的的)1()2(Abel不能）处发散？而在处收敛，能否在思考题：(30)2()1(0zzzcnnn.!)2(0的敛散性讨论n

10、nnz第16页/共64页183、幂级数的收敛圆与收敛半径由Abel定理，幂级数（3）的收敛情况不外乎下述三种情况：(1)对所有的z，级数(3)都收敛.(2 )仅在z=0处级数(3)收敛. 这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.00处处收收敛敛仅仅在在例例如如 zznnnn.!10平平面面上上处处处处收收敛敛在在例例如如zznnn 第17页/共64页19显然， .否则，级数(3)将在处发散. .,)0()3(020121发发散散收收敛敛使使得得和和存存在在点点 nnnnnnzczczz.,0,000发发散散收收敛敛使使得得于于是是，存存在在 nnnnnncc:定理，在圆周由.)3(:)

11、3(发散数外，级在圆周收敛；内，级数z cz cAbel第18页/共64页20故,RzcR ：存存在在在在一一定定 .,级级数数发发散散的的点点的的点点，然然后后到到达达使使必必定定先先经经过过使使级级数数收收敛敛运运动动时时向向沿沿着着正正实实轴轴由由点点当当点点 zzz.33）发发散散外外级级数数（在在）绝绝对对收收敛敛；内内级级数数（在在RRCC.)3()3(|的的收收敛敛半半径径为为级级数数和和收收敛敛圆圆周周；的的收收敛敛圆圆分分别别称称为为级级数数和和此此时时，RRzRz 第19页/共64页21 幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散.请分析幂级数(2)

12、的收敛范围. 如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的一个定理:.|200收收敛敛半半径径有有相相同同的的与与级级数数定定理理 nnnnnnzczc.|2100RRzczcnnnnnn和和收收敛敛半半径径分分别别为为的的和和设设级级数数证证明明： 第20页/共64页22.|2100RRzczcnnnnnn 收收敛敛，所所以以收收敛敛，则则因因为为.,21*21RRAbelzzzRR 定定理理不不符符，从从而而处处不不绝绝对对收收敛敛，这这与与收收敛敛圆圆内内，但但级级数数在在位位于于：则则说说明明存存在在这这样样的的点点如如果果，我我们们有有幂幂级级数数收收敛敛半半径径的的方方法法已已经经学

13、学过过求求联联系系在在高高等等数数学学中中收收敛敛半半径径数数径径可可以以转转化化为为求求实实幂幂级级则则求求复复幂幂级级数数的的收收敛敛半半，定定理理为为实实的的幂幂级级数数，注注意意到到因因为为.2|0 nnnzc第21页/共64页23 .0001),(|lim)(lim01，的收敛半径的收敛半径则则根值法根值法或或比值法比值法Rzccccnnnnnnnnn合合于于的的系系数数如如果果幂幂级级数数定定理理nnnnczc 03第22页/共64页24例1.120的收敛范围及和函数的收敛范围及和函数求幂级数求幂级数 nnnzzzz121 nnzzzs又又),1(11 zzzn解; 11lim1

14、Rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn 时，时，当当.,0lim1级级数数发发散散时时，当当 nnzz 所以且且的收敛范围是的收敛范围是, 1|0 zznn第23页/共64页25).1|(|11120 zzzzzznnn 综上 .1,;1,11,0时时当当发散发散时时当当且和函数为且和函数为收敛收敛zzzznn2461.zzz求幂级数的收敛范围及和函数思考题:提示:本题不能直接利用定理3（为什么？）.第24页/共64页26例2 求下列幂级数的收敛半径：解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1()2(1 nnnz.!)3(1 nnnnznnnncc1lim , 1)1

15、(lim pnnn; 1 R. 1| z收收敛敛圆圆nnncc1lim)2( , 11lim nnn; 1 R. 1|1| z收收敛敛圆圆.的的思思想想，直直接接计计算算收收敛敛比比值值判判别别法法当当然然，也也可可以以利利用用绝绝对对第25页/共64页27nnncc1lim)3( ,11lim!)!1()1(lim1ennnnnnnnnn .1eR .)ln(1的收敛半径的收敛半径思考题：求思考题：求nninz ，提提示示：根根据据0lim nnnc. R第26页/共64页284、幂级数的性质定理4,),()(000（收敛圆）（收敛圆）设设Rzzzfzzcnnn 且且内内解解析析在在则则,)

16、()1(0Rzzzf ;,)()( )()( 01100000Rzzzznczzczzczfnnnnnnnnn -幂级数的逐项求导运算 实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至任意阶导数.第27页/共64页29.)()()()2(0000zdzzcdzzzcdzzfncnncnnnc -幂级数的逐项积分运算,1)()(0100 nnnzznzzcdf或或.,00RzzCRzz 其中其中注：定理4为今后将函数展开成幂级数提供了极大的方便.第28页/共64页305、 幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算.|),(,|),(2010rzzgzbrzzfzannnnnn 设设,),()

17、()(000Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn ).,min(21rrR 其中其中-幂级数的加、减运算则第29页/共64页31).,min(21rrR 其中其中,),()()(0022110Rzzgzfzbabababannnnnn -幂级数的乘法运算（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数.） 303122130202112001100000)()()()()(zbabababazbababazbababazbzannnnnn注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立. 但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径.第30页/共64

18、页32,)(|)(,)(0rzgrzzgrzzazfnnn 内内解解析析，且且在在设设.)()(0Rzzgazgfnnn ，则则-幂级数的代换(复合)运算在函数展成幂级数中很有用.例3.,)(10baazcbznnn 的的幂幂级级数数表表成成形形如如把把解：注意到.)()(11abazbz 第31页/共64页33.,1)1)( ,)()()(1)(1122Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn 所以 abzgabazabbz1)(111111.)()(1)()(1)()(11)(11111232Razazabazabazababzgabbznn 代换展开还原第32页/共64

19、页34本讲小结1、级数收敛的定义和性质2、Abel定理3、幂级数的收敛半径4、幂级数的性质第33页/共64页35 我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？1、泰勒展开定理 对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数. 对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的.下面给出关于这一问题的结论.第34页/共64页36定理1（Taylor定理）.,2 , 1 ,0),(!1)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中时时则则当当上上各

20、各点点的的最最短短距距离离的的边边界界到到为为内内解解析析在在区区域域设设级级数数的的处处在在Taylorzzf0)(Dk0z .:)(21010Rrzkdzficknn 取取证明：.|0任任意意一一点点为为设设Rzzz 第35页/共64页37Dk0z)2(,)(21)( kdzfizf首首先先z,100 qzzz,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到.)()(11100200000 nzzzzzzzzzzz把上面的式子代入(2),并把它改写成下面的形式第36页/共64页38.)()()(21)()3().()()()(21)(01010010dzzzfizRzRdzzzfi

21、zfkNnnnNNkNnnn 其其中中而(3)又可以写为)4().()(!)()(1000)(zRzznzfzfNNnnn .)1(),4(0)(lim成成立立则则可可以以证证明明由由内内成成立立，在在如如果果能能够够证证明明kzRNN .0)(lim内内成成立立在在下下面面证证明明kzRNN 第37页/共64页39上上连连续续，因因此此内内解解析析，从从而而在在在在由由于于kDzf)(.,| )(|,0kMfM 使使得得存存在在.1|000 qrzzzzz又又由由于于.1221| )(|21|)()()(|21| )(|010010qMqrqrMdszzzfdszzzfzRNNnnkNnnn

22、kNnnnN 于于是是第38页/共64页40.)1(0)(lim成成立立内内成成立立，在在所所以以kzRNN .)(,)1(0000离离的的边边界界上上各各点点的的最最短短距距到到从从于于级级数数的的收收敛敛半半径径至至少少等等处处的的解解析析点点在在故故内内即即可可及及其其内内部部包包含含在在只只要要圆圆可可以以任任意意增增大大的的半半径径圆圆的的圆圆域域为为半半径径为为中中心心，的的收收敛敛范范围围是是以以级级数数DzTaylorzzfDkrkrzrz .)()()(000 zRzfzRTaylorzzfzf即即之间的距离,之间的距离,的最近的一个奇点的最近的一个奇点到到等于从等于从展开式

23、的收敛半径展开式的收敛半径的的在解析点在解析点那么那么有奇点,有奇点,若若(1)(1)注注第39页/共64页411010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:导导性性质质得得，再再由由幂幂级级数数的的逐逐项项求求则则00)(azf , 2 , 1 , 0),(!1,0)( nzfnann依依此此类类推推得得，.)(0是是唯唯一一的的在在注注展展开开式式的的( (2 2) )Taylorzzf由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor级数，因而是唯一的.第40页/

24、共64页42级级数数为为：时时当当Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2解析的四种等价说法：解析的四种等价说法：在一点在一点注注0)(zzf(3)(3).)()4(;0)()3(;,)()2()()()1(0000级级数数的的某某一一邻邻域域内内可可展展成成幂幂在在点点正正向向封封闭闭路路线线的的积积分分为为域域内内的的任任一一条条的的某某邻邻域域内内连连续续且且沿沿邻邻在在点点方方程程且且满满足足导导数数的的某某邻邻域域内内有有连连续续偏偏在在点点和和；定定义义的的某某一一邻邻域域内内可可导导在在点点zzfzzfRCzvuivuzfzzf

25、 第41页/共64页43(1)直接法-利用公式;(2)间接法-由已知函数的展开式，运用级数的代数运算、分 析运算等方法来展开.函数展开成Taylor级数的方法：.,2 , 1 ,0),(!1,)()(0)(00 nzfnczzczfnnnnn其其中中即即例如. 1,1112 zzzzzn第42页/共64页44.,.!1!3!21)., 2 , 1 , 0(, 1)(03200)( Reznnzzzzeneeznnnzzzznz该该级级数数的的收收敛敛半半径径在在复复平平面面上上解解析析2、 几个初等函数的泰勒展开式.0)(展展开开式式的的在在求求Taylorzezfz 例1 解:展展开开式式？

26、的的在在如如何何求求Taylorzezfz0)(2 思考题: 第43页/共64页45 00!)(!)(212sinnnnniziznizniziieez,)!2()1(!4!21)(sincos242 nzzzzznn又又 Rzz它们的半径它们的半径在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin,)!12()1(012 nnnnz;!7! 5! 3sin753 zzzzz第44页/共64页46例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:).1ln()()2(;)1(1)()1(2zzfzzf 解. 1,111)1(2 zzzzzn. 1,) 1(1)(1111 zzzzznn. 1,) 1(321)

27、11()1 (11122 znzzzzznn第45页/共64页47:,1逐逐项项积积分分得得内内任任意意取取一一条条路路径径在在收收敛敛圆圆cz . 1,1) 1(312)1ln(132 znzzzzznn,)1(10000 znnzzzdzzzdzdzzdz(2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,所以它的展开式的收敛范围为z1.（逐项积分、求导，收敛半径不变）第46页/共64页48例3 .)1()2(1)()2(2的幂级数的幂级数展成展成将将 zzzf解. 1,111)1(2 zzzzzn.)1(521151)1(25123

28、1 zzz.3)1(1 191)1(31)2(1)()2(222 zzzzf;)1(231)()1(的幂级数的幂级数展成展成将将 zzzf第47页/共64页49 若 f (z) 在 z0 解析，则 f (z)可以在 z0 的某邻域 内展开成 z - z0 的幂级数. 一个自然的问题是: 如果在环域 r z - z0 R 内解析， f (z)能否用级数表示呢？4 洛朗(Laurent)级数 本节将讨论在以z 0为中心的圆环形区域内解析的函数的级数表示法. 它是后面研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础.第48页/共64页501、 双边幂级数-含有正负幂项的级数定义 具有

29、如下形式的级数)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc称为双边幂级数，正幂项(包括常数项)部分：)2( ,)()()(001000 nnnnnzzczzcczzc.), 2, 1, 0(0都是常数都是常数及及其中其中 nczn负幂项部分：)3.()()()(010110 nnnnnzzczzczzc第49页/共64页51级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R ， 则当z - z0R时，级数发散. 则则若若令令对对于于级级数数,1),3(0zz .;, ,)4(时时，级级数数发发散散时时，级级数数收收敛敛则则当当设设其其收收敛敛半半径径为为为为幂

30、幂级级数数级级数数对对变变数数RRR )4.()(221110 nnnnnnnncccczzc)4(,11100则则级级数数代代回回得得将将令令rRzzzz .;00时时，发发散散当当时时，收收敛敛当当rzzrzz 第50页/共64页52z0rR有有公公共共收收敛敛域域Rr z0Rr无无公公共共收收敛敛域域Rr .)3()2()1(,)()3()2(00的的和和与与视视作作且且把把收收敛敛称称，此此时时，区区域域即即圆圆环环域域：有有公公共共收收敛敛及及时时，级级数数当当且且仅仅当当 nnnzzcRzzrRr第51页/共64页53.)()2(00和逐项求导和逐项求导而且可以逐项积而且可以逐项积

31、和函数是解析的,和函数是解析的,内的内的在在级数级数分分Rzzrzzcnnn .00,)1(0 zzRr：，可以为可以为，可以为可以为特殊情形特殊情形注注收敛域为收敛域为此时此时 现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出的问题. 关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面要讨论的洛朗定理.第52页/共64页542、 函数展开成双边幂级数定理):)(0展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzrDzf )5()()(,:)(00则内解析在设.0的任何一条简单闭曲线内绕是zDczzczfRzzrDzfnnn , 2, 1, 0,)(2110 n

32、dzficcnn其其中中第53页/共64页55.)(!)(,)1(0)(内不是处处解析的)内不是处处解析的)在在相同相同形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数czfnzfccnnn 但但注注 (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的去心邻域内解析，需要把f (z)展成级数， 那么就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开.级数（5）中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.)(|)3(0的洛朗展式是唯一的的洛朗展式是唯一的该区域该区域，函数函数内内一个在一个在内内在在解析的解析的zfRzzr 第54页/共64页56 由唯一性，将函数展开成Lau

33、rent级数，可用间接法. 在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式.例1解：.0sin内展开成洛朗级数内展开成洛朗级数在在求求 zzz 012,)!12()1(1sinnnnnzzzz)0( z !5!31!5!314253zzzzzz第55页/共64页57例2解：.01级级数数内内展展成成在在将将Laurentzez ,!1! 2112 nttntte在在复复平平面面上上，,!1!211121 nznzzez. )0( z例3.01cos2级数级数内展成内展成在在将将Laurentzzz .)! 41! 211(1cos4222 zzzzz提示：提示：第

34、56页/共64页58例4.2)3(; 21)2(; 10)1)2)(1(1)(级数级数内展开成内展开成（分别在以下圆环域分别在以下圆环域将将Laurentzzzzzzf xyo12; 21)2( zxyo12.2)3( zxyo12; 10)1( z第57页/共64页59解:.2111)(zzzf 2112111)(zzzf 故故, 12110) 1 ( zzz 01010.)211(21nnnnnnnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn第58页/共64页602112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又, 11121 )2( zzz;218421111)421(

35、21)111(10112122 nnnnnnnzzzzzzzzzzzz第59页/共64页61, 122,2)3( zzzzzzzzzzf211111112111)( .1221112100 nnnnnnnzzzzz 2242111111zzzzzz第60页/共64页62.2, 1)2)(1(1)(级数级数域内展开成域内展开成的去心邻的去心邻分别在点分别在点将将Laurentzzzzzf 解 (1) 在(最大的)去心邻域例5yxo12) 1(11112111)( zzzzzf;)1(110nnzz ,110内内 z第61页/共64页63 (2) 在(最大的)去心邻域内，内，120 zxo12) 2(11212111)( zzzzzf.)2()1(210nnnzz .1011)2(内内展展为为洛洛朗朗级级数数在在将将 zezz练习：y.10)1(1)1(2内内展展为为洛洛朗朗级级数数在在将将 zzzz第62页/共64页641、泰勒展开定理（函数展成幂级数的条件，系数计算公式， 收敛半径）2、几个简单函数的泰勒展式3、函数的间接展开第63页/共64页