（全国版）2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第2讲 函数的单调性与最值学案

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1、第2讲函数的单调性与最值板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1函数的单调性1单调函数的定义2单调性、单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间考点2函数的最值考点3利用定义判断函数单调性的步骤1任取；2.作差；3.化简；4.判断；5.结论必会结论1对勾函数yx(a0)的增区间为(，和，)；减区间为，0)和(0，且对勾函数为奇函数2设x1，x2D(x1x2)，则x1x20(0(0(0)，f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递减；0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递增；0

2、(或(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编函数yx26x10在区间(2,4)上是()A递减函数 B递增函数C先减后增 D先增后减答案C解析对称轴为x3，函数在(2,3上为减函数，在3,4)上为增函数32018陕西模拟下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x Bf(x)x3Cf(x)x Df(x)3x答案D解析根据各选项知，选项C，D中的指数函数满足f(xy)f(x)f(y)又f(x)

3、3x是增函数，所以D正确4课本改编给定函数yx，ylog (x1)，y|x1|，y2x1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是_答案解析yx在(0,1)上递增；tx1在(0,1)上递增，且01，故y2x1在(0,1)上递增故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是.5已知函数f(x)为(0，)上的增函数，若f(a2a)f(a3)，则实数a的取值范围为_答案(3，1)(3，)解析由已知可得解得3a3.所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)板块二典例探究考向突破考向确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)解(1)由于y即y画出函数图象如

4、图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上，ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)触类旁通确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用

5、“”连接【变式训练1】求出下列函数的单调区间：(1)f(x)|x24x3|；(2)f(x).解(1)先作出函数yx24x3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y|x24x3|的图象如图所示由图可知f(x)在(，1和2,3上为减函数，在1,2和3，)上为增函数，故f(x)的增区间为1,2，3，)，减区间为(，1，2,3(2)32xx20，3xx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac答案D解析f(x)的图象关于x1对称，ff，又由已知可得f(x)在(1，)上单调递减，f(2)ff(e)，即f(2)ff(e)选D.命题角度2利用函数的单调性

6、解不等式例3f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9 C8,9 D(0,8)答案B解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得80，00，f(x)在1,2上为增函数，又f(1)5，f(2)7.f(x)3x，x1,2的值域为5,7触类旁通求函数最值(值域)的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)基本不等

7、式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值【变式训练2】(1)函数yx的最大值为_答案解析定义域为，而yx在上为单调增函数当x时，ymax.(2)已知函数y的最大值为M，最小值为m，则的值为_答案解析由题意，得所以函数的定义域为x|3x1两边平方，得y24242.所以当x1时，y取得最大值M2；当x3或1时，y取得最小值m2，.核心规律1.函数的单调区间是定义域的子集，研究函数单调性的方法有：定义法、图象法、导

8、数法等要注意掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调性2.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解3.求函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值中的应用满分策略1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域2.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.板块三启智培优破译高考易错警示系列1利用分段函数的单调性求参数的范围出错 2018山东泰安模拟已知函数f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是(

9、)A(1，) B4,8) C(4,8) D(1,8)错因分析解答本题时，易忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而致误解析由f(x)在R上单调递增，则有解得4a8.答案B答题启示解决分段函数的单调性问题时，要高度关注以下几点：(1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；(3)弄清最终结果取并还是交.跟踪训练已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.答案C解析f(x)在R上单调递减，则有解得a.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln (x2)

10、ByCyx Dyx答案A解析函数yln (x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数22018山西模拟若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x2对称，且f(x)在(，2)上是增函数，则()Af(1)f(3)Cf(1)f(3) Df(0)f(3)答案A解析依题意得f(3)f(1)，且112，于是由函数f(x)在(，2)上是增函数，得f(1)0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)0，ab，ba.f(a)f(b)，f(b)f(a)选A.5若函数yf(x)在R上单调递增，且f(m21)f(m1)，则实数m的取值范围是()A(，1

11、) B(0，)C(1,0) D(，1)(0，)答案D解析由题意得m21m1，故m2m0，故m0.62018海南模拟函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)答案A解析f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,272018深圳模拟函数y2x23x1的单调递增区间为()A(1，) B.C. D.答案B解析令u2x23x122.因为u22在上单调递减，函数yu在R上单调递减所以y2x23x1在上单调递增，即该函数的单调递增区间为.82018苏州模拟若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.答案6解析由f(x)可得函数f(x)的单调递增区间为，

12、故3，解得a6.9函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.答案6解析易知f(x)在a，b上为减函数，即ab6.102018湖南模拟函数yx(x0)的最大值为_答案解析令t，则t0，所以ytt22，所以，当t，即x时，ymax.B级知能提升12018安徽合肥模拟若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0答案B解析设函数f(x)2x5x，易知f(x)为增函数，又f(y)2y5y，由已知得f(x)f(y)，xy，xy0.22018郑州质检函数f(x)的单调增区间是()A(，3) B2，)C0,2) D3,2答案B解析x2x60，x2或x3，又y是由y，t0，

13、)和tx2x6，x(，32，)两个函数复合而成，而函数tx2x6在2，)上是增函数，y在0，)上是增函数，又因为y的定义域为(，32，)，所以y的单调增区间是2，)故选B.3已知函数f(x)x22axa在区间(0，)上有最小值，则函数g(x)在区间(0，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数答案A解析f(x)x22axa在(0，)上有最小值，a0.g(x)x2a在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，h(x)h(1)3.g(x)在(0，)上一定有最小值42018四川模拟已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)2x在(1，)上恒成立

14、，求实数a的取值范围解(1)证明：当x(0，)时，f(x)a，设0x10，x2x10，f(x2)f(x1)0，f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意，a2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x，则ah(x)在(1，)上恒成立任取x1，x2(1，)且x1x2，h(x1)h(x2)(x1x2).1x1x2，x1x21，20，h(x1)h(1)3，ah(x)在(1，)上恒成立，故ah(1)，即a3，a的取值范围是(，35已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x2)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)，得ff(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.12