高三数学一轮复习 5.4数列求和精品试题

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1、高三数学一轮复习 5.4数列求和精品试题一、选择题(每小题5分,共40分)1.(xx温州模拟)已知数列an的通项公式是an=2n-3,则其前20项和为()A.380-B.400-C.420-D.440-【解析】选C.由an=2n-3,得S20=2(1+2+3+20)-3=2-3=420-.2.(xx成都模拟)已知an是首项为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.【解析】选C.设等比数列的公比为q,则当公比q=1时,由a1=1得,9S3=93=27,而S6=6,两者不相等,故不合题意.所以q1,又a1=1,9S3=S6,所以9=,解之得

2、q=2,所以的前5项和为1+=.3.已知定义在(0,1)上的函数f(x),对任意m,n(1,+)且m0,所以b4b6=100,当且仅当b4=b6时等号成立.因此b4b6的最大值是100.7.(能力挑战题)数列an的前n项和Sn=2n-1,则+等于()A.(2n-1)2B.(2n-1)2C.4n-1D.(4n-1)【解析】选D.an=Sn-Sn-1=2n-1(n1),又a1=S1=1=20,适合上式,所以an=2n-1(nN*),所以是=1,q=22的等比数列,由求和公式得+=(4n-1).8.已知数列xx,xx,1,-xx,-xx,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这

3、个数列的前xx项之和Sxx等于()A.xxB.2010C.1D.0【解析】选C.由已知得an=an-1+an+1(n2),所以an+1=an-an-1.故数列的前8项依次为xx,xx,1,-xx,-xx,-1,xx,xx.由此可知数列为周期数列,其周期为6,且S6=0.因为xx=6335+5.所以Sxx=S5=xx+xx+1+(-xx)+(-xx)=1.【加固训练】数列an的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(nN*),则S100=.【解析】由an+2-an=1+(-1)n,知a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0,所以a1=a3=a5=a2n-1=

4、1,数列a2k是等差数列,a2k=2k.所以S100=(a1+a3+a5+a99)+(a2+a4+a6+a100)=50+(2+4+6+100)=50+=2600.答案:2600二、填空题(每小题5分,共20分)9.(xx广州模拟)若已知数列的前四项是,则数列前n项和为.【解析】因为通项an=,所以此数列的前n项和Sn=+=-.答案:-【误区警示】利用裂项相消法求和时的注意点(1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差.(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下两项.10.对正整数n,若曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,

5、则数列的前n项和为.【解析】由题意,得y=nxn-1-(n+1)xn,故曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n,切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=k(x-2).令x=0得an=(n+1)2n,即=2n,则数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-2.答案:2n+1-211.在数列an中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(nN*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列an的前100项的和S100=.【解析】设定值为M,则an+an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数

6、列an是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a3=a6=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=a98=4,共33项,其和为132.故数列an的前100项的和S100=68+99+132=299.答案:29912.对于一切实数x,令x为不大于x的最大整数,则函数f(x)=x称为高斯函数或取整函数.计算f(-0.3)+f(1)+f(1.3)=.若an=f,nN*,Sn为数列an的前n项和,则S3n=.【解析】由题意f(-0.3)+f(1)+f(1.3)=-1+1+1=1;S3n=f+f+f+f+f+f+f

7、+f+f+f=0+0+1+1+1+2+2+2+3+(n-1)+(n-1)+n=3(1+2+3+n-1)+n=3+n=.答案:1三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(xx湖南高考)设Sn为数列an的前n项和,已知a10,2an-a1=S1Sn,nN*.(1)求a1,a2,并求数列an的通项公式.(2)求数列nan的前n项和.【思路点拨】(1)本题是利用递推关系an=求数列的通项公式.(2)根据第(1)问可知应利用错位相减法求数列前n项和.【解析】(1)令n=1,得2a1-a1=,因为a10,所以a1=1,令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n2时,由2an-1

8、=Sn,2an-1-1=Sn-1,两式相减,整理得an=2an-1,于是数列an是首项为1,公比为2的等比数列,所以,an=2n-1.(2)由(1)知nan=n2n-1,记其前n项和为Tn,于是Tn=1+22+322+n2n-1,2Tn=12+222+323+n2n,-得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n,从而Tn=1+(n-1)2n.【加固训练】设数列an的前n项和为Sn=n2,bn为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.(1)求数列an,bn的通项公式.(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)a1=S1=1,当n2时,an=Sn-S

9、n-1=n2-(n-1)2=2n-1,a1适合上式,所以an=2n-1,nN*.因为b1=a1=1,b2=,又bn为等比数列,所以其公比q=,所以bn=,nN*.(2)cn=anbn=.所以Tn=1+,所以Tn=+.-,得Tn=1+1+-=3-,所以Tn=6-.14.(xx浙江高考)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解析】(1)由题意得,5a3a1=(2a2+2)2,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6.(2)设数列an前n项和为

10、Sn,因为d0,d0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列an分成两段处理.(3)等差数列an中,a10,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.15.(能力挑战题)(xx绍兴模拟)已知等比数列an的首项为1,公比q1,Sn为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.(1)求an和Sn.(2)设bn=log2an+1,数列的前n项和为Tn,求证:Tn.【解析】(1)因为a1,a2,a3为某等差数列的第一、第二、第四项,所以a3-a2=2(a2-a1),所以a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为a1=

11、1,所以q2-3q+2=0,因为q1,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=2n-1.(2)由(1)知an+1=2n,所以bn=log2an+1=log22n=n.所以=.所以Tn=+=-.【加固训练】已知数列an满足a1=3,an+1-3an=3n(nN*),数列bn满足bn=3-nan.(1)求证:数列bn是等差数列.(2)设Sn=+,求满足不等式的所有正整数n的值.【解析】(1)由bn=3-nan得an=3nbn,则an+1=3n+1bn+1.代入an+1-3an=3n中,得3n+1bn+1-3n+1bn=3n,即得bn+1-bn=.所以数列bn是等差数列.(2)因为数列bn是首项为b1=3-1a1=1,公差为的等差数列,则bn=1+(n-1)=,则an=3nbn=(n+2)3n-1,从而有=3n-1,故Sn=+=1+3+32+3n-1=.则=,由,得.即33n127,得1n4.故满足不等式的所有正整数n的值为2,3,4.