2022年高中数学 2.4.1二次函数的图像教学设计 北师大版必修1

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1、2022年高中数学 2.4.1二次函数的图像教学设计 北师大版必修1教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的本节教材从三个递进的问题开始：1.解决二次函数的形状问题；2.解决其移动问题；3.解决配方问题在教师引导和学生动手的基础上，围绕三个问题，每走一步都抽象概括，再明晰一次这部分教材，信息技术大有用武之地可以充分利用信息技术的动态特点，画出各种曲线族，把变化极其形象地表现出来，以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响三维目标理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生变换作

2、图的能力重点难点教学重点：二次函数图像的变换教学难点：将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数课时安排1课时导入新课思路1.在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题思路2.高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习，教师引出课题推进新课请回顾二次函数的定义.二次函数的解析式有几种形式？二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？讨论结果一般地，函数yax2bxc( a，b，c为常数且a0)叫作二次函数其中自变量的最高

3、次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数有三种形式：一般式：yax2bxc(a0)；顶点式：ya(xh)2k(a0)；零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有零点式当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式二次函数的图像是抛物线画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画“三点”是指：顶点，抛物线与x轴的两个交点；“一线”是指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴

4、的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点”画出yx2的图像并填写表1.表1x3210123x22x2观察表2，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大为原来的几倍？这种情况是如何在图像上表现的？如何由yx2的图像得到y2x2的图像？如何由函数yf(x)的图像得到函数yAf(x)(A0，A1)的图像？讨论结果：如图1是yx2的图像，图1如表2为所填表格：表2x3210123x294101492x2188202818要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大为原来的2倍这种情况表现在图像上如图2所示，就是把AB伸长为原来的2倍，即AC的长度，得到当x1时y2x2对应的值 图2 图3将yx2的图像

5、上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y2x2的图像将yAf(x)的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的A(A1)倍或缩短为原来的A(0A1)倍得到yAf(x)的图像在同一坐标系中画出y2x2，y2(x1)2，y2(x1)23的图像，观察图像，如何由y2x2的图像得到y2(x1)23的图像？如何由yax2的图像得到ya(xh)2k(h0，k0)的图像？如何由yf(x)的图像得到yf(xh)k(h0，k0)的图像？由yax2的图像如何平移得到yax2bxc的图像？讨论结果：y2x2，y2(x1)2，y2(x1)23的图像，如图4.图4观察图4，得把y2x2的图像向左平移一个

6、单位长度得y2(x1)2的图像，再把y2(x1)2的图像向上平移3个单位得y2(x1)23的图像把yax2的图像向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位长度得ya(xh)2的图像，再把ya(xh)2的图像向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得ya(xh)2k的图像把yf(x)的图像向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位长度得yf(xh)的图像，再把yf(xh)的图像向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得yf(xh)k的图像一般地，二次函数yax2bxc(a0)可通过配方得到它的恒等形式ya(xh)2k，从而就可以知道由yax2的图像如何平移得到yax2bxc的图像二次函数ya

7、(xh)2k(a0)中，h，k对函数的图像有何影响？二次函数yax2bxc(a0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？写出一个开口向下，顶点为(3，1)的二次函数的解析式，并画出其图像.讨论结果：h，k只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状确定函数图像开口大小及方向的参数是a，确定函数图像位置的参数是a，b，c.例如y(x3)21.其图像如图5所示，图5例1 二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式；(1)函数g(x)x2，f(x)图像的顶点是(4，7)；(2)函

8、数g(x)2(x1)2，f(x)图像的顶点是(3,2)活动：学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数，以及二次函数解析式的顶点式解：如果二次函数的图像与yax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(h，k)，则其解析式为ya(xh)2k，(1)因为f(x)与g(x)x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，7)，所以f(x)(x4)27x28x9；(2)因为f(x)与g(x)2(x1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)2(x1)2又与y2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y2x2的图像开口大小也相同，开口方向也相同又因为f(x

9、)图像的顶点是(3,2)，所以f(x)2(x3)222x212x16.点评：本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质，以及数形结合的能力已知二次函数的顶点坐标求其解析式时，常设二次函数的顶点式变式训练1函数y2x24x1的对称轴和顶点分别是()Ax2，(2，1)Bx2，(2，1)Cx1，(1，3) Dx1，(2,3)解析：由y2x24x12(x1)23得对称轴是x1，顶点是(1，3)答案：C2已知f(x)则f()等于()A2 B2C D无法确定解析：1,6，f().答案：C3将函数yx22x的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为()Ayx26x7 Byx26x7Cyx2

10、2x1 Dyx22x1解析：所得解析式为y(x2)22(x2)1x26x7.答案：B例2 已知抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)且xx，试问该抛物线由y3(x1)2的图像向上平移几个单位得到？分析：利用题设条件，再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数，之后利用二次函数图像的平移规律得到答案解：由题意可设所求抛物线的解析式为y3(x1)2k，展开，得y3x26x3k，由题意得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x2，得4.解得k.所以该抛物线是由y3(x1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y3(x1)2，即y3x26

11、x.点评：本题考查利用二次函数的知识解决问题函数图像的平移会对解析式产生影响，但函数图像中的某些特征不会产生变化我们要抓住变化的关键，对函数解析式中变化的系数进行讨论变式训练如果把函数y f(x)的图像平移，可以使图像上的点P(1,0)变成Q(2,2)，则函数y f(x)的图像经过此种变换后所对应的函数为()Ayf(x1)2Byf(x1)2Cyf(x1)2 Dyf(x1)2解析：点P(1,0)变成Q(2,2)可以看成将点P(1,0)向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到点Q(2,2)，则将函数y f(x)的图像向右平移一个单位，再向上平移2个单位得函数y f(x1)2的图像答案：A1已知二次

12、函数yax2bxc的图像的顶点坐标为(2，1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则()Aa1，b4，c11Ba3，b12，c11Ca3，b6，c11 Da3，b12，c11解析：由题意得答案：D2设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则f(x)的解析式为f(x)_，关于x的方程f(x) x的解的个数为_解析：f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，画出函数yf(x)，yx的图像，它们的图像有3个交点，故关于x的方程f(x) x有3个解答案：f(x)33已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，2)，且过点(2,4)，则f(x)_.解析：设f(x)a(x1)22，因为过点(2,4)，所以

13、有a(21)224，得a6.所以f(x)6(x1)226x212x4.答案：6x212x4问题：两个二次函数f(x)ax2bxc与g(x)bx2axc的图像只可能是图6中的()图6解析：这是一道考查二次函数解析式中a，b，c的性质与函数图像特征的相关题目由于f(x)，g(x)图像的对称轴方程分别是x，x，且与同号，即它们的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；又由C，D中给出的图像可断定它们开口方向相反，故ab0.于是0，0，即它们的对称轴都位于y轴右侧，排除C.答案：D本节学习了：(1)二次函数的解析式及其求法(2)变换法画二次函数的图像习题24A组2、3、4.本节课的教学设计中，主要涉及

14、图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的数的认识函数图像的变换函数的变换，教材中给出的实际是函数的平移变换，而变换还可以有对称变换、放缩变换等所谓对称变换，是指对于两个函数yf(x)和yg(x)，如果对于定义域内的所有x都有f(x)g(x)，那么它们的图像关于y轴对称，如果f(x)g(x)，那么它们的图像关于x轴对称，如果f(x)g(x)，那么它们的图像关于原点O成中心对称，则称其中一个函数由另一个函数经对称变换而得到所谓放缩变换，是指对于两个函数yf(x)和yg(x)，如果对于定义域内的所有x都有f(x)kg(x)，那么函数yf(x)的图像由函数yg(x)的图像在y轴方向上扩大a倍，如果f(x) g(kx)，那么函数yf(x)的图像由函数yg(x)的图像在x轴方向上压缩a倍，则称其中一个函数由另一个函数经放缩变换而得到