江苏省2019高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间中的平行与垂直学案

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1、第1讲空间中的平行与垂直考情考向分析自从江苏实施新课标以来，命题者严格执行江苏高考对立体几何的考试说明要求，大幅度降低难度，命题的焦点是空间平行与垂直试题总体在送分题的位置，但是对考生的规范答题要求比较高热点一空间线面关系的判定例1(1)若直线a与平面不垂直，则在平面内与直线a垂直的直线有_条答案无数(2)(2018江苏泰州中学调研)已知a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为_(填序号)若ac，bc，则ab；若，则；若a，b，则ab；若a，a，则.答案解析可以借助长方体进行判断，中的a，b也可能相交或异面；中的，可能相交，正确思维升华解决空间点、线、面位置关系

2、的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中跟踪演练1如图，平面与平面相交于BC，AB，CD，点ABC，点DBC，则下列叙述正确的是_(填序号)直线AD与BC是异面直线；过AD只能作一个平面与BC平行；过AD只能作一个平面与BC垂直；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行答案解析由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线；在平面内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与B

3、C平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；若AD垂直于平面，则过AD的平面都与BC垂直，因此错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行故正确热点二直线与平面的平行与垂直例2(2018江苏扬州中学调研)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点(1)求证：FG平面PBD；(2)求证：BDFG.证明(1)连结PE，因为G，F分别为EC和PC的中点，FGPE，又FG平面PBD，PE平面PBD，FG平面PBD.(2)四边形ABCD为菱形，BDAC，又PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA，PA平面

4、PAC，AC平面PAC，且PAACA，BD平面PAC，FG平面PAC，BDFG.思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练2(2018苏锡常镇四市调研)如图，在四棱锥PABCD中，ADB90，CBCD，

5、点E为棱PB的中点(1)若PBPD，求证：PCBD；(2)求证：CE平面PAD.证明(1)取BD的中点O，连结CO，PO，因为CDCB，所以CBD为等腰三角形，所以BDCO.因为PBPD，所以PBD为等腰三角形，所以BDPO.又POCOO，PO，CO平面PCO，所以BD平面PCO.因为PC平面PCO，所以PCBD.(2)由E为PB的中点，连结EO，则EOPD，又EO平面PAD，PD平面PAD，所以EO平面PAD.由ADB90及BDCO，可得COAD，又CO平面PAD，AD平面PAD，所以CO平面PAD.又COEOO，CO，EO平面COE，所以平面CEO平面PAD，而CE平面CEO，所以CE平面

6、PAD.热点三平面与平面的平行与垂直例3(2018江苏盐城中学模拟)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，点P是CD中点，点Q是A1B1中点(1)求证：AQ平面PBC1；(2)若BCCC1，求证：平面A1B1C平面PBC1.证明(1)取AB中点为R，连结PR，B1R.由已知点P是CD中点，点Q是A1B1中点可以证得，四边形AQB1R，PRB1C1都为平行四边形，所以AQB1R，B1RPC1，所以AQPC1，因为AQ平面PBC1，PC1平面PBC1，所以AQ平面PBC1.(2)因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，BCCC1，所以B1CBC1，因为A1B1平面BB1C1C，BC1平

7、面BB1C1C，所以A1B1BC1，因为A1B1B1CB1，A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，所以BC1平面A1B1C，又因为BC1平面PBC1，所以平面A1B1C平面PBC1.思维升华证明面面平行或面面垂直的关键是寻找线面平行或线面垂直，充分体现了转化与化归思想跟踪演练3如图，在四面体ABCD中，ADBD，ABC90，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG平面BCD.(1)求的值；(2)求证：平面EFD平面ABC.(1)解因为平面EFG平面BCD，平面ABD平面EFGEG，平面ABD平面BCDBD，所以EGBD，又G为AD的中点，所以E为AB的中点，同

8、理可得，F为AC的中点，所以.(2)证明因为ADBD，由(1)知，E为AB的中点，所以ABDE，又ABC90，即ABBC，由(1)知，EFBC，所以ABEF，又DEEFE，DE，EF平面EFD，所以AB平面EFD，又AB平面ABC，所以平面EFD平面ABC.1(2018江苏)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，

9、四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.2(2018江苏南京师大附中模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因

10、为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF，又ABAD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以F点异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.A组专题通关1设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，lb”是“l”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析若a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，la，lb，ab，则l可以与平面斜交，推不出

11、l.若l，a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则la，lb.“la，lb”是“l”的必要不充分条件2已知平面平面，l，点A，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是_(填序号)ABm；ACm；AB；AC.答案解析如图所示，ABlm；ACl，ml，ACm；ABl，AB，l，AB，只有不一定成立3在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是锐角三角形，下列一定正确的是_(填序号)平面ABD平面ADC；平面ABD平面ABC；平面ADC平面BCD；平面ABC平面BCD.答案解析由ADBC，BDAD，BCBDB，BC，BD平面BCD，AD平面BCD，

12、又AD平面ADC，平面ADC平面BCD.4已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_. (填写所有正确命题的序号)答案解析，lllm，命题正确；，ll，m可平行，可相交，可异面，命题错误；m，llml与可平行，l可在内，l可与相交，命题错误； l，lm，命题正确5如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为_答案解析由题意可得图中GH与MN平行，不合题意；图中GH与MN异面，符合题意；图中GH与MN相交，不合题意；图中GH与MN异面，符合题意则表示GH，MN是异面直线的图形

13、的序号为.6给出下列四个命题：如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行，那么a；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面其中真命题的个数为_答案3解析对于，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行，那么a，故正确；对于，因为垂直于同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于，平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；对于，因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在

14、两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确故真命题的个数为3.7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA16，AB3，AD8，点M是棱AD的中点，N在棱AA1上，且满足AN2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界)，若C1P平面CMN，则线段C1P长度的最小值是_答案解析取A1D1的中点Q，过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于E，则易知平面C1QE平面CMN，在C1QE中作C1PQE，则C1P为所求8.如图，在三棱柱ABCA1

15、B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，又CF平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.9. (2017江苏)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)

16、ADAC.证明(1)在平面ABD内，ABAD，EFAD，则ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又AC平面ABC，ADAC.10.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，GAD为等边三角形，BF平面ABCD，GDC90，点P为线段GD的中点(1)求证：AP平面GCD；(2)求证：平面ADG平面FBC.证明(1)GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，APGD.ADCD，GDCD，且ADGDD

17、，AD，GD平面GAD，故CD平面GAD，又AP平面GAD，故CDAP，又CDGDD，CD，GD平面GCD，故AP平面GCD.(2)BF平面ABCD，CD平面ABCD，BFCD，BCCD，BFBCB，BF，BC平面FBC，CD平面FBC，由(1)知CD平面GAD，平面ADG平面FBC.B组能力提高11.如图，平面平面，l，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点下列判断正确的是_(填序号)当CD2AB时，M，N两点不可能重合；M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交；当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交；

18、当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行答案解析由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACDB是平行四边形，因此ACBD，而BD，AC，所以由线面平行的判定定理可得AC，又因为AC，l，所以由线面平行的性质定理可得ACl，故正确12如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是_(填序号)答案(1)解析对于(1)，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交；

19、对于(2)，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；对于(3)，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；对于(4)，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故四个正方体中直线AB与平面MNQ不平行的是(1)13.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且ABEACF，AEBB1，AFCC1.求证：(1)平面AEF平面BB1C1C；(2)BC平面AEF.证明(

20、1)在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1CC1.因为AFCC1，所以AFBB1.又AEBB1，AEAFA，AE平面AEF，AF平面AEF，所以BB1平面AEF，又因为BB1平面BB1C1C，所以平面AEF平面BB1C1C.(2)因为AEBB1，AFCC1，ABEACF，ABAC，所以AEBAFC.所以BECF.又由题意知，BECF.所以四边形BEFC是平行四边形从而BCEF.又BC平面AEF，EF平面AEF，所以BC平面AEF.14(2018江苏启东中学模拟)如图，在三棱锥PABC中，ACBC，O为AC的中点，PO底面ABC，M为AB的中点(1)证明：AC平面POM；(2)设E是棱PA上的一点，若PB平面EOM，求的值(1)证明因为M，O分别是AB，AC的中点，所以MOBC，因为ACBC，所以ACMO.因为PO底面ABC，AC底面ABC，所以POAC.因为PO平面POM，MO平面POM，POMOO，所以AC平面POM.(2)解因为PB平面EOM，PB平面PAB，平面EOM平面PABEM，所以PBEM.因为M是AB的中点，所以E是PA的中点，所以.14