《2018-2019学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.5 空间向量的数量积学案 苏教版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.5 空间向量的数量积学案 苏教版选修2-1（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、3.1.5空间向量的数量积学习目标：1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理1空间向量的夹角阅读教材P91P92上半部分，完成下列问题a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a，b，a，b的范围是0，如果a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.如图3127，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求向量与夹角的大小图3127解，CAD1的大小
2、就等于，ACD1为正三角形，CAD1，.向量与夹角的大小为.教材整理2空间向量的数量积阅读教材P92例1以上的部分，完成下列问题1数量积的定义设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b规定：零向量与任一向量的数量积为0.2数量积的性质(1)cosa，b(a，b是两个非零向量)(2)abab0(a，b是两个非零向量)(3)|a|2aaa2.3数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)(R)；(3)a(bc)abac.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab0，则a0或b0.()(2)在ABC中，B.
3、()(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量()(4)若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)2已知|a|，|b|，ab，则a与b的夹角为_. 【导学号：71392174】解析cosa，b，又a，b0，a，b.答案教材整理3数量积的坐标表示阅读教材P93P94例3以上的部分，完成下列问题1若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(1)abx1x2y1y2z1z2.(2)abab0x1x2y1y2z1z20(a0，b0)(3)|a|.(4)cosa，b(a0，b0)2空间两点间距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)
4、，则AB.1若a(1,0,2)，b(x，y,1)，且ab，则x_.解析ab，abx20，解得x2.答案22与向量a(1,2,2)方向相同的单位向量是_解析|a|3，故与a方向相同的单位向量是(1,2,2).答案合 作 探 究攻 重 难求空间向量的数量积已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求下列向量的数量积(1)；(2). 【导学号：71392175】精彩点拨法一(基向量法)：与，与的夹角不易求，可考虑用向量，表示向量，再求结论即可法二(坐标法)：建系求相关点坐标向量坐标数量积自主解答法一(基向量法)：如图所示，设a，b，c，
5、则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(ac)|c|2|a|222220.法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0，2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，(0,4,0)，(1,4,1)，(2,2,2)，(2,0,2)，(1)0(1)440116.(2)2220220.名师指津解决此类问题的常用方法(1)基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算.注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量.(2
6、)坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可.再练一题1在上述例1中，求.解法一：(abc)|a|2|b|22.法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0，2,2)，C1(2,4,2)，(1,2,1)，(2,2,0)，1222102.利用数量积求夹角和距离如图3128所示，在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.图3128(1)求AC的长；(2)求与的夹角的余弦值. 【导学号：71392176】精彩点拨求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到
7、表示AC的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用自主解答(1)，|2()2|2|2|22()4232522(0107.5)85.|.(2)法一：设与的夹角为，ABCD是矩形，|5.由余弦定理可得cos .法二：设a，b，c，依题意得(abc)(ab)a22abb2acbc160945cos 6035cos 6016910，cos .名师指津1求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2aa，即|a|通过向量运算求|a|.2对于空间向量a，b，有cosa，b.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为0
8、，而异面直线所成的角的取值范围为，故a，b时，它们相等；而当a，b时，它们互补再练一题2如图3129，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设a，b，c.图3129(1)用a，b，c分别表示向量，；(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值解(1)()()()(ac)(bc)(ab2c)，()()(ab)b(a2b)(2)设棱长为1，即|a|b|c|1且a，bb，cc，a，则|.又(ab2c)(a2b)(a2ab2ac2ab2b24bc)，cos，.异面直线DM与CN所成角的余弦值为.利用数量积解决平行和垂直问题已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值
9、；(2)若|a|，且a与c(2，2，)垂直，求a.精彩点拨利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解自主解答(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得实数，m3.(2)|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a(0,1，2)名师指津向量平行与垂直问题主要有两种题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用.再练一题3如图3130所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M是A1B1的中点求证：A1BC1M. 【导学号：71392177】图3130证明如图所示，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(
10、0,1,0)，A1(1,0,2)，C1(0，0，2)，B1(0,1,2)，则M，于是(1,1，2)，00，故A1BC1M.空间向量数量积的运算特征探究问题1数量积运算是否满足消去律？提示对于三个不为0的实数a，b，c，若abac，则bc.对于三个非零向量a，b，c，若abac，不能得出bc，即向量不能约分如图，在三棱锥SABC中，SC平面ABC，则SCAC，SCBC.设a，b，c，则abac0，但bc.2数量积运算是否有除法？提示数量积的运算不满足除法，即对于向量a，b，若abk，不能得到a，例如当非零向量a，b垂直时，ab0，但a显然是没有意义的3数量积运算满足结合律吗？提示由定义得(ab)
11、c(|a|b|cosa，b)c，即(ab)c1c；a(bc)a(|b|c|cosb，c)，即a(bc)2a，因此，(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)ca(bc)不一定成立如图3131，已知正四面体OABC的棱长为1.求：图3131(1)；(2)()()；(3)|.精彩点拨在正四面体OABC中，的模和夹角都已知，因此可以先把相关向量用，线性表示，再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可自主解答在正四面体OABC中，|1，60.(1)|cosAOB11cos 60.(2)()()()()()(2)2222122211cos
12、6012211cos 60111111.(3)|.再练一题4已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_. 【导学号：71392178】解析由条件知，(a3b)(7a5b)7|a|216ab15|b|20，及(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0.两式相减，得46ab23|b|2，ab|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b0，180，a，b60.答案60当 堂 达 标固 双 基1已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)(ab)的值为_解析ab(10，5，2)，ab(2,1，6)，(ab)(ab)2051213
13、.答案132已知向量a(2，3,0)，b(k,0,3)若a，b成120的角，则k_.解析cos a，b，得k.答案3如图3132，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_图3132解析，设棱长为1.又()()000，cos，0，直线AB1与BM所成的角为90.答案904已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析，()2240022.答案25如图3133所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值. 【导学号：71392179】图3133解由题意知，|cos ，|cos ， 84cos 13586cos 1202416，cos ，OA与BC所成角的余弦值为.11
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