2018年高中数学 第1章 计数原理 1.4 计数应用题教学案 苏教版选修2-3

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1、1.4 计数应用题例13个女生和5个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？思路点拨本题涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置，相邻问题可采用捆绑法，不相邻问题可采用插空法精解详析(1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A种不同排法对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A种不同的排法，因

2、此共有AA4 320种不同的排法(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于5个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A种方法，因此共有AA14 400种不同的排法(3)法一：(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A种排法，所以共有AA14 400种不同的排法

3、法二：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的AA种排法和女生排在末位的AA种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有AA种不同的排法，所以共有A2AAAA14 400种不同的排法法三：(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A种不同的排法，所以共有AA14 400种不同的排法(4)法一：因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有AA种不同的排法；

4、如果首位排女生，有A种排法，这时末位就只能排男生，这样可有AAA种不同的排法因此共有AAAAA36 000种不同的排法法二：3个女生和5个男生排成一排有A种排法，从中扣去两端都是女生的排法有AA种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有AAA36 000种不同的排法(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有20 160种不同的排法一点通(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种

5、方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中1(四川高考改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种解析：当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种故不同的排法共有ACA924216种答案：2162用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之

6、间的五位数的个数为_种解析：符合题意的五位数有ACA233236.答案：363某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？解：法一：(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类；第一节课排数学，第六节课排体育，共有A种排法；第一节课排数学，第六节课不排体育，共有AA种排法；第一节课不排数学，第六节课排体育，共有AA种排法；第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有AA种排法由分类加法计数原理，所求的不同排法共有A2AAAA504(种)法二：(排除法)不考虑受限条件下的排法有A种，其中包括数学课在第六节的排法有A

7、种，体育课在第一节的排法有A种，但上面两种排法中同时含有数学课在第六节，体育课在第一节的情形有A种故所求的不同排法有A2AA504(种).例2某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷，现要选派划左舷的3人，划右舷的3人，共6人参加比赛，则不同的选派方法有多少种？思路点拨既会划左舷又会划右舷是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论精解详析选派的3名会划左舷的选手中，没有既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有CC种选派方法；选派的3名会划左舷的选手中，有一人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有CCC种选派方法；选派的3名会划左舷的选手中，有两人是

8、既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有CC种选派方法故共有CCCCCCC20601292种选派方法一点通(1)解决简单的分配问题的一般思路是先选取，后分配(2)如果涉及的元素有限制条件，则一般以特殊元素，特殊位置为分类标准4将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种，所以满足条件的分配方案有A36种答案：365将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方

9、案共有_种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC12种安排方案答案：126有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本解：(1)分3步完成：第1步，从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C种方法；第2步，从余下的5本书中，任取3本给乙，有C种方法；第3步，把剩下的书给丙有C种方法所以，共有不同的分法为CCC1 260种(2)分2步完成：第1步，按4本、3本、2本分成三组有CCC种方法；第2步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法所以，

10、共有CCCA7 560种.例3从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？思路点拨排数问题和站队问题是排列、组合中的两类典型问题，其解决的思路相似，需考虑特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等的处理方法精解详析(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，可有C种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以符合题意的七位数有CCA10

11、0 800(个)(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA14 400(个)(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA5 760(个)(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空，共有CCAA28 800(个)一点通解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类解决时通常从三个途径考虑：以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数7将标号为1，

12、2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有_种解析：标号1，2的卡片放入同一封信有C种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有A种方法，共有CA18种答案：188某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲乙两人至少有一人参加当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为_解析：若甲乙同时参加，则可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有CAA种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有CCA种不同的发言顺序，综合可得不同的发言顺序有CAACCA6

13、00种答案：6009某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止若次品恰好在第6次检测时被全部选出，则这样的检测方案有多少种？解：问题相当于从9件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品. 可分三步，先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法，再从5件正品中取2件，有C种方法，再把另3件次品和取出的2件正品排在前5位有A种方法，所以检测方案种数为4CA4 800.解决排列组合问题的常用方法(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个条件的同时，也要兼顾其他条件考虑两个条件之间是

14、否有影响(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个元素的同时，也要兼顾其他元素(3)间接法：也叫排异法直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题，在此方法中，对立面要“不重不漏”(4)插空法：先把无限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中，要注意无限制元素的排列数及所形成空的个数此方法适用于含有“不相邻”的问题(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看作一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列此法比较适合“必须在一起”的问题课下能力提升(七)一、填

15、空题1甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有_种解析：第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为CCC225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为CCC120(种)共有225120345(种)答案：3452某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有_种解析：据题意可先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然后再分到两

16、部门去共有CA种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种方法，由分步计数原理得共有2CAC36(种)分配方案答案：363从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有_种解析：分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内；故不同的放法种数为CA120 960(种)答案：120 9604如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲

17、学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有_种解析：先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，任选一种为C，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法CA120种答案：1205甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_种解析：根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有CA种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A种不同的站

18、法根据分类计数原理，得共有CAA336种不同的站法答案：336二、解答题6有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C种亮灯办法然后分步确定每个二极管发光颜色有2228(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C222160(种)7现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有几种放法？(2)

19、若恰有1个空盒，有几种放法？(3)若恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)44256(种)(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A种不同的放法根据分步计数原理，共有CA144种不同的放法(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个小盒中有A种放法，共有CA种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法故恰有2个盒子不放球的放法共有CACC84种8已知抛物线yax2bxc的系数a、b、c是在集合3，2，1，0，1，2，3，4中选取的3个不同的元素，求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？解：由图形特征分析得知，若a0，开口向上，坐标原点在抛物线内部f(0)c0，若a0；所以对于抛物线yax2bxc来讲，坐标原在其内部af(0)ac0.确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b.故满足题设的抛物线共有CCAC144条9