RLC串联电路的零输入响应学习教案

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1、会计学1RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应第一页，编辑于星期日：一点 四十六分。91 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应一、一、RLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程图图91 RLC串联二阶电串联二阶电路路)()()()(SCLRtutututu 2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi 为了得到图为了得到图91所示所示RLC串联电路的微分方程，先列出串联电路的微分方程，先列出KVL方程方程第1页/共42页第二页，编辑于星期日：一点 四十六分。 根据前述方程得到以下微分方程根据前述方程得到以下

2、微分方程 ) 19()(ddddSCC2C2 tuutuRCtuLC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。)29(0ddddCC2C2 utuRCtuLC 其特征方程为其特征方程为 ) 39(012 RCsLCs 其特征根为其特征根为 )49(122221 LCLRLRs， 零输入响应方程为零输入响应方程为 第2页/共42页第三页，编辑于星期日：一点 四十六分。 电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 1. 时，时，

3、 为不相等的实根。过阻尼情况。为不相等的实根。过阻尼情况。 CLR2 21,ss 2. 时，时， 为两个相等的实根。临界阻尼情况。为两个相等的实根。临界阻尼情况。21,ssCLR2 3. 时，时， 为共轭复数根。欠阻尼情况。为共轭复数根。欠阻尼情况。CLR2 21,ss第3页/共42页第四页，编辑于星期日：一点 四十六分。二、过阻尼情况二、过阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2 )59(ee)(2121C tstsKKtu 式中的两个常数式中的两个常数K1

4、，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uc(0) 确定。确定。 )69()0(21C KKu 对式对式(95)求导，再令求导，再令t=0得到得到 )79()0(d)(dL22110C CisKsKttut第4页/共42页第五页，编辑于星期日：一点 四十六分。 求解以上两个方程，可以得到求解以上两个方程，可以得到 CiusssKCiusssK)0()0(1 )0()0(1LC1212LC2121 由此得到电容电压的零输入响应，再利用由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。可以得到电感电流的零输入响应。 第5页/共42页第六页，编辑于

5、星期日：一点 四十六分。例例9-1 电路如图电路如图9-1所示，已知所示，已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输，求电容电压和电感电流的零输 入响应。入响应。 42138331222221LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（94）计算出固有频率）计算出固有频率图图91 RLC串联二阶电串联二阶电路路第6页/共42页第七页，编辑于星期日：一点 四十六分。 将固有频率将固有频率s1=-2和和s2=-4代入式（代入式（95）得到）得到 )0(ee)(4221C tKKtutt 利用电容电压的初始值

6、利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：得到以下两个方程： 4)0(42d)(d2)0( L210C21C CiKKttuKKutK1=6K2=-4)0(V)e4e6()(42C ttutt 最后得到电容电压的零输入响应为最后得到电容电压的零输入响应为 第7页/共42页第八页，编辑于星期日：一点 四十六分。 利用利用KCL和电容的和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响应方程得到电感电流的零输入响应 )0(A)e4e3(dd)()(42CCL ttuCtititt 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换

7、过程。从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。第8页/共42页第九页，编辑于星期日：一点 四十六分。V)()e4e6()(42Cttutt 电容电压的零输入响应波形第9页/共42页第十页，编辑于星期日：一点 四十六分。 DNAP程序可以画出响应的波形。 )A()e4e3()(42Lttitt 电感电流的零输入响应波形第10页/共42页第十一页，编辑于星期日：一点 四十六分。三、临界情况三、临界情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实数为两个相同的实数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式。齐次微分方程的解答具有下面的形

8、式 CLR2 )89(ee)(21C ststtKKtu 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0) 确定。令式确定。令式(9-5)中的中的t=0得到得到 )99()0(1C Ku第11页/共42页第十二页，编辑于星期日：一点 四十六分。 联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 )0()0()0(C1L2C1usCiKuK 将将 K1, K2的计算结果，代入式（的计算结果，代入式（98）得到电容电压的零输入响应，再利用）得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。可以得到电感电流

9、的零输入响应。 对式对式(95)求导，再令得到求导，再令得到 )109()0(d)(dL210C CiKsKttut第12页/共42页第十三页，编辑于星期日：一点 四十六分。例例9-2 电路如图电路如图9-1所示。已知已知所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电，求电容电压和电感电 流的零输入响应。流的零输入响应。 22024221222221LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图91 RLC串联二阶电串联二阶电路路第13页/共42页第十四页，编辑

10、于星期日：一点 四十六分。 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 0)0(2d)(d1)0( L210C1C CiKKttuKut 将两个相等的固有频率将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（代入式（98）得到）得到 )0(ee)(2221c ttKKtutt第14页/共42页第十五页，编辑于星期日：一点 四十六分。 得到电感电流的零输入响应得到电感电流的零输入响应 )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCL ttttuCtititttt 求解以上两个方程得到常数求解以上

11、两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2，得到电容电压的零输入响应，得到电容电压的零输入响应 )0( V )e2e()(22C tttutt第15页/共42页第十六页，编辑于星期日：一点 四十六分。 根据以上两个表达式用计算机程序根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图画出的波形曲线，如图93所示。所示。 (a) 电容电压的波形电容电压的波形 (b) 电感电流的波形电感电流的波形图图93 临界阻尼情况临界阻尼情况 )0( Ae4)()()0(V )e2e()(2CL22C tttititttuttt第16页/共42页第十七页，编辑于星期日：一点 四十六分。V)()e2e()(

12、22Ctttutt 电容电压的零输入响应波形第17页/共42页第十八页，编辑于星期日：一点 四十六分。)A(e4)(2Ltttit 电感电流的零输入响应波形第18页/共42页第十九页，编辑于星期日：一点 四十六分。四、欠阻尼情况四、欠阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复数根，它们可以表示为为为两个共轭复数根，它们可以表示为 CLR2 d20 jj1222221 LCLRLRs， 其中其中 称称为为衰衰减减谐谐振振角角频频率率称称为为谐谐振振角角频频率率称称为为衰衰减减系系数数2200 1 2 dLCLR第19页/共42页第二十页，编辑于星期日：一点 四十

13、六分。 齐次微分方程的解答具有下面的形式齐次微分方程的解答具有下面的形式 )119()cos(e)sin()cos(e)(21C tKtKtKtuttddd 式中式中 122221arctanKKKKK 由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定常数确定常数K1，K2后，得到电容电压的零输入响应，再利用后，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL和和VCR方程得到电感电流的零输入响应。方程得到电感电流的零输入响应。 第20页/共42页第二十一页，编辑于星期日：一点 四十六分。例例9-3 电路如图电路如图9-1所示。已知所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，i

14、L(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的，求电容电压和电感电流的 零输入响应。零输入响应。j4351222221 233LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图91 RLC串联二阶电串联二阶电路路第21页/共42页第二十二页，编辑于星期日：一点 四十六分。 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL得到以下两个方程得到以下两个方程 7)0(43d)(d)0( L210C1C CiKKttuKut 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=

15、4，得到电容电压和电感电流的零输入响应，得到电容电压和电感电流的零输入响应: )0( A)74.73cos(e)sin(24)cos(7e04. 0dd)()0( V )1 .53cos(e5)sin(4cos3e)(cLc tttttuCtitttttutttt4444443333 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和和 s2=-3-j4 代入式（代入式（911）得到）得到 )0( )sin(cose)(21C ttKtKtut443第22页/共42页第二十三页，编辑于星期日：一点 四十六分。 用计算机程序用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图画出的波形曲线，

16、如图94(a)和和(b)所示所示 (a) 衰减系数为衰减系数为3的电容电压的波形的电容电压的波形 (b) 衰减系数为衰减系数为3的电感电流的波形的电感电流的波形(c) 衰减系数为衰减系数为0.5的电容电压的波形的电容电压的波形 (d) 衰减系数为衰减系数为0.5的电感电流的波的电感电流的波形形 图图94 欠阻尼情况欠阻尼情况第23页/共42页第二十四页，编辑于星期日：一点 四十六分。 从式从式(9-11)和图和图9-4波形曲线可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。波形曲线可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间

17、交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。 当例当例93中电阻由中电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变为变为0.5时，用计算机程序时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图94(c)和和(d)所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。 第24页/共42页第二十五页，编辑于星期日：一点 四十六分。V)()1 .

18、53cos(e5)(ctttut 43电容电压的零输入响应波形u3 (t) =( t)*( 5.00 )* exp ( -3.00 t)cos( 4.00 t -53.13 )第25页/共42页第二十六页，编辑于星期日：一点 四十六分。)A()74.73cos(e)(Ltttit 43i2 (t) =( t)*( 1.00 )* exp ( -3.00 t)cos( 4.00 t +73.74 )电感电流的零输入响应波形第26页/共42页第二十七页，编辑于星期日：一点 四十六分。u3 (t) =(t)*( 3.45 )* exp ( -.500 t)cos( 4.97 t -29.66 )A(

19、)66.29cos(e45. 3)(5 . 0Ctttut 4.97电容电压的零输入响应波形第27页/共42页第二十八页，编辑于星期日：一点 四十六分。i2 (t) =( t)*( .690 )* exp ( -.500 t)cos( 4.97 t +66.08 )A()08.66cos(e69. 0)(5 . 0Ltttit 4.97电感电流的零输入响应波形第28页/共42页第二十九页，编辑于星期日：一点 四十六分。例例9-4 电路如图电路如图9-1所示。已知所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零，求电容电压和电

20、感电流的零 输入响应。输入响应。j551222221 LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（94）计算出固有频率的）计算出固有频率的 数值数值 图图91 RLC串联二阶电串联二阶电路路第29页/共42页第三十页，编辑于星期日：一点 四十六分。 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率s1=j5和和s2=-j5代入式（代入式（9-11）得到）得到 )0()sin()cos()(21c ttKtKtu55 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下两个方程得到以下两个方程 7)0(5d

21、)(d3)0( L20C1C CiKttuKut 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=1.4，得到电容电压和电感电流的零输入响应，得到电容电压和电感电流的零输入响应: )0(A)65cos(66. 0)cos(7)sin(1504. 0dd)()0(V)25cos(31. 3)sin(4 . 1)cos(3)(CLC tttttuCtitttttu555555第30页/共42页第三十一页，编辑于星期日：一点 四十六分。 用计算机程序用计算机程序DNAP画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图95所示。所示。 图图95 无阻尼

22、情况无阻尼情况 第31页/共42页第三十二页，编辑于星期日：一点 四十六分。u3 (t) =(t)*( 3.31 )* exp ( .000 t)cos( 5.00 t -25.02 )V ()25cos(31. 3)( Ctttu 5 电阻为零，响应不再衰减，形成等幅振荡。第32页/共42页第三十三页，编辑于星期日：一点 四十六分。i2 (t) =(t)*( .662 )* exp ( .000 t)cos( 5.00 t +64.98 ) )A()65cos(66. 0)( Lttti 5 电阻为零，响应不再衰减，形成等幅振荡。第33页/共42页第三十四页，编辑于星期日：一点 四十六分。

23、从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90 ，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存

24、于电场中。 从以上分析计算的结果可以看出，从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图96上。上。第34页/共42页第三十五页，编辑于星期日：一点 四十六分。图图9-6第35页/共42页第三十六页，编辑于星期日：一点 四十六分。 由图由图96可见：可见： 1. 在过阻尼情况，在过阻尼情况，s1和和s2是不相等的负实数，固有频率出现在是不相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 2.在临界阻尼情况

25、，在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率出现在是相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 3.在欠阻尼情况，在欠阻尼情况，s1和和s2是共轭复数，固有频率出现在是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率越大，衰减越快。衰减振荡的角频率 d 越大，振荡周期越小，振荡越快。越大，振荡周期越小，振荡越快。第36页/共42页第三十七页，

26、编辑于星期日：一点 四十六分。 图中按图中按Ke- t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。 4.在无阻尼情况，在无阻尼情况，s1和和s2是共轭虚数，固有频率出现在是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为 0的等幅振荡。的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频

27、率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 第37页/共42页第三十八页，编辑于星期日：一点 四十六分。第38页/共42页第三十九页，编辑于星期日：一点 四十六分。在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。第39页/共42页第四十页，编辑于星期日：一点 四十六分。根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。 名名 称称时间时间1 1RLCRLC串联电路响应串联电路响应1:492 2RLCRLC串联电路的阶跃响应串联电路的阶跃响应2:223 3回转器电感应用回转器电感应用2:594 4电阻器和电感器串联电路响应电阻器和电感器串联电路响应3:08第40页/共42页第四十一页，编辑于星期日：一点 四十六分。郁金香第41页/共42页第四十二页，编辑于星期日：一点 四十六分。