25一元二次方程的应用

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1、一元二次方程的应用一元二次方程的应用本节内容2.5列方程解应用题的步骤有列方程解应用题的步骤有: :审审设设列列解解即即审审题，找出题中的量，分清已知量、未知量，哪些题，找出题中的量，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。设设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量。用未知数字母的代数式表示其他相关量。根据等量关系根据等量关系列列出方程出方程解解方程并检验根的准确性及是否符合实际意义方程并检验根的准确性及是否符合实际意义并作答。并作答。列式填空

2、：列式填空：1、前前年的产量为年的产量为5万吨，万吨，每每年比年比上上年年均均增长了增长了20%，去去年的年的产量是产量是 ，今年的产量是，今年的产量是 。5x(1+20%)5x(1+20%)2（1 1）原产量）原产量+ +增产量增产量= =实际产量实际产量（2 2）单位时间增产量）单位时间增产量= =原产量原产量增长率增长率（3 3）实际产量）实际产量= =原产量原产量（1+ +增长率）增长率）2 2、一件价格为、一件价格为200元的商品连续两次两次降价，每次降价元的商品连续两次两次降价，每次降价的百分数为的百分数为15%，第一次，第一次降价后价格是降价后价格是 。第二次降价后价格是第二次降

3、价后价格是 。200(1-15%)200(1-15%)2规律总结：规律总结：这种增长率的问题在实际生活普遍存在这种增长率的问题在实际生活普遍存在, ,有一定的规律：有一定的规律： 若平均若平均 增长增长 百分率为百分率为x, ,增长增长 前的数量是前的数量是a, ,增长增长 n 次后的数量是次后的数量是b, ,则它们的数量关系可表示为则它们的数量关系可表示为: :a(1+x)n=b降低降低降低降低降低降低a(1-x)2=b23.某商店一月份的利润是某商店一月份的利润是500元，如果平均每月的增长率为元，如果平均每月的增长率为x；则二月份的利润是则二月份的利润是 元元。 三月份的利润是三月份的利

4、润是 元元。四月份的利润是四月份的利润是 元元。五月份的利润是五月份的利润是 元元。第第n月份的利润是月份的利润是 元元。500 x(1+x)3500 x(1+x)500 x(1+x)2500 x(1+x)4500 x(1+x)n-1动脑筋动脑筋 某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率的合理使用率. . 若今年的使用率为若今年的使用率为40%，计划后年，计划后年的使用率达到的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均，求这两年秸秆使用率的年平均增长率增

5、长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变假定该省每年产生的秸秆总量不变) ) . . 由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：关系是：今年的使用率今年的使用率（1+年平均增长率年平均增长率）2 = =后年的使用率后年的使用率. .设这两年秸秆使用率的年平均增长率为设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量，则根据等量关系，可列出方程：关系，可列出方程： 40%（1 + x ）2 = 90%.整理，得整理，得 （1 + x ）2 = 2.25.因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%. 解得解得

6、= 0.5 = 50% ， = - -2.5（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）x1x2举举例例例例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为元降为81元元. . 求平均每次降价的百分率求平均每次降价的百分率分析分析问题中涉及的等量关系是：问题中涉及的等量关系是：原价原价 （1- -平均每次降价的百分率平均每次降价的百分率) ) 2= =现行售价现行售价. .设平均每次降价的百分率为设平均每次降价的百分率为 x ，则根据等量关系得则根据等量关系得 100（ 1 - -

7、x ) ) 2 = 81，解解答：答： 平均每次降价的百分率为平均每次降价的百分率为10%.整理，得整理，得（ 1 - - x ) ) 2 = 0.81解解得得 = 0.1 = 10%， = 1.9（不合题意，舍去不合题意，舍去）x1x2 为什么为什么x = 1.9不合题意呢？不合题意呢？练习练习某校图书馆的藏书在两年内从某校图书馆的藏书在两年内从5 万册增加到万册增加到7.2 万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？1.设平均每年藏书增长的百分率为设平均每年藏书增长的百分率为 x ，则根据等则根据等量关系得量关系得 5（1 + x ) ) 2 = 7.2

8、，解解.答：答： 平均平均每年藏书增长的百分率是每年藏书增长的百分率是为为20%.整理，得整理，得（ 1+ x ) ) 2 = 1.44.解解得得 ， （不合题意，舍去不合题意，舍去）.10 2x . 22 2x 小结 若平均若平均 增长增长 百分率为百分率为x,增长增长 前的数量是前的数量是a,增长增长 n 次后的次后的数量是数量是b,则它们的数量关系可表示为则它们的数量关系可表示为: 若平均若平均 降低降低 百分率为百分率为x,降低降低 前的数量是前的数量是a,降低降低 n 次后的次后的数量是数量是b,则它们的数量关系可表示为则它们的数量关系可表示为:a(1+x)n=ba(1-x)n=b本

9、节内容2.5一元二次方程的应用一元二次方程的应用1.1.某厂一月份的产值为某厂一月份的产值为1010万元万元, ,以后每月比上月增长率相以后每月比上月增长率相同，这样三月份同，这样三月份的产值为的产值为7070万元万元, ,求平均每月的增长率。求平均每月的增长率。2.2.个体户张某原计划按个体户张某原计划按600600元每套销售一批西服，但上市元每套销售一批西服，但上市后销售不佳，为使资金正常运转，减少库存积压，张某后销售不佳，为使资金正常运转，减少库存积压，张某将这批西服连续两次降价处理，调整价格到了将这批西服连续两次降价处理，调整价格到了384384元，如元，如两次降价率相同，求每次降价率

10、为多少？两次降价率相同，求每次降价率为多少？复习导入：复习导入：4.4.某房屋开发公司开发建设住宅面积由某房屋开发公司开发建设住宅面积由20122012年年4 4万平万平方米，到方米，到20142014年的年的7 7万平方米。设这两年的年平均增万平方米。设这两年的年平均增长率为长率为x x ，则可列方程为，则可列方程为_； 3.3.某彩电厂今年每个月的产量的增长率都相同。已知该某彩电厂今年每个月的产量的增长率都相同。已知该 厂今年厂今年4 4月份的彩电产量为月份的彩电产量为8 8万台，万台，6 6月份的产量为月份的产量为1212万台。万台。求月增长率。求月增长率。举举例例例例2 某商店从厂家以

11、每件某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商元的价格购进一批商品品若每件商品的售价为若每件商品的售价为x 元，则可卖出（元，则可卖出（350- -10 x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%若该商店计划从这批商品中获取若该商店计划从这批商品中获取400元利润元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少的售价是多少？分析分析问题中涉及的等量关系是：问题中涉及的等量关系是：（售价售价- -进价进价）销售量销售量= =利润利润. .解得解得 = 25， = 31.x1x2根据等

12、量关系得根据等量关系得 （x- -21）（）（350 - -10 x）= 400.解解整理，得整理，得 - - 56x + 775 = 0.x2又因为又因为 21 120% = 25.2，即售价不能超过，即售价不能超过 25.2 元，元， 所以所以 x = 31 不合题意，应当舍去不合题意，应当舍去故故 x=25，从而卖，从而卖出出 350 - -10 x = 350- -105 =100（件件）答：该商店需要卖出答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价件商品，且每件商品的售价 是是 25 元元2. 某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件

13、，每件可盈利件，每件可盈利44元元若每件降价若每件降价1 元，则元，则每天可多售出每天可多售出5件件若要平均每天盈利若要平均每天盈利1600元，元， 则应降价多少元则应降价多少元？解解设应降价设应降价x元，则由已知条件可得：元，则由已知条件可得：（44- -x）（）（20+5 x）=1600，答：若要平均每天盈利答：若要平均每天盈利1600元，则应降价元，则应降价36元元或或4元元.化简，得化简，得 2401440 xx.解得解得 136x,24x. 运用一元二次方程模型解决实际问题运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些的步骤有哪些？议一议议一议议一议议一议议一议议一议实际问题实际问题建

14、立一元二建立一元二次方程模型次方程模型解一元二次方程解一元二次方程一元二次方程的根一元二次方程的根实际问题的解实际问题的解分析数量关系分析数量关系设未知数设未知数检验检验一元二次方程的应用一元二次方程的应用本节内容2.5复习导入：复习导入：1.1.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售2020件，每件赢件，每件赢利利4040元为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决元为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价定采取适当降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1 1元，商场平均每天可多售出元，商场平均每天可

15、多售出2 2件若商场平均每天要赢利件若商场平均每天要赢利12001200元，每件衬衫应降价多少元？元，每件衬衫应降价多少元？ 2.2.某商场将进货价为某商场将进货价为3030元的台灯以元的台灯以4040元售出，平均每月能元售出，平均每月能售出售出600600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1 1元，其销元，其销售量就将减少售量就将减少1010个。为了实现平均每月个。为了实现平均每月1000010000元的销售利润，元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 1、在一个长为、在一个长为40cm，宽

16、为，宽为28cm的矩形铁皮的的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为若已知长方体盒子的底面积为364 cm2，求截去的四个小，求截去的四个小正方形的边长。正方形的边长。并求出长方体盒子的体积。并求出长方体盒子的体积。xx40-2x28-2x解：解：设截去小正方形的边长为设截去小正方形的边长为xcm.可得方程：可得方程：(40- -2x)(28-2x)=364即：即：x2- -34x+189=0解得：解得：x1=7，x2=27（不合题意，舍去。）（不合题意，舍去。）答：截去小正方形的边长是答

17、：截去小正方形的边长是7cm.为什么？为什么？注意：注意：解出方程后，要检验方程的根在实际问题中的解出方程后，要检验方程的根在实际问题中的合理性。合理性。求得的方程的解是否符合实际情况求得的方程的解是否符合实际情况540540即：即：x2- -34x+145=0解得：解得：x1=5，x2=295cmV =3647=2548V =5405=2700 学校为了美化校园学校为了美化校园, ,准备在一块长准备在一块长32米米, ,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路, ,余下部分作草坪余下部分作草坪, ,并并请全校同学参与设计请全校同学参与设计, ,现在有两位学生各设计

18、了一种方案现在有两位学生各设计了一种方案( (如图如图),),根据两种设计方案各列出方程根据两种设计方案各列出方程, ,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少? ?使图使图(1),(2)(1),(2)的草坪面积为的草坪面积为540米米2. .(1)(2)(3)(5)(4)设道路宽为设道路宽为x米。米。得方程：得方程： (1) (32-2x)(20-2x)=540(2) 3220-(32x+20 x-x2)=540还有其他的设计方案吗？还有其他的设计方案吗？解答过程自己完成。解答过程自己完成。 答：道路宽答：道路宽2米。米。注意注意P51例例3利用利用“图形平移，它的面积大小不会改变图

19、形平移，它的面积大小不会改变”的道理的道理3 3. .一张桌子的桌面长一张桌子的桌面长6 6米宽为米宽为4 4米。长方形台布的面积是桌米。长方形台布的面积是桌面面积的两倍。若将台布铺在桌子上四边（四个角除外）面面积的两倍。若将台布铺在桌子上四边（四个角除外）垂下的长度相同，求这块台布的长和宽。垂下的长度相同，求这块台布的长和宽。1.在一块长为在一块长为92m，宽为宽为60m的矩形耕地上挖三条的矩形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为为885m2的的6个矩形小块，水渠应挖多宽？个矩形小块，水渠应挖多宽？ 3292x260 x2.2.在

20、一幅长在一幅长90cm, ,宽宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边色纸边, ,制成一幅挂画制成一幅挂画. .如果要求挂画的面积是整个面积的如果要求挂画的面积是整个面积的72%,那么金边的宽应是多少那么金边的宽应是多少? ?(6+x)(4+x)=246台布的长、宽分别为台布的长、宽分别为8、6 一元二次方程的应用一元二次方程的应用本节内容2.5例例4 4 如图所示，在如图所示，在ABC 中，中，C = 90，AC = 6cm， BC = 8cm. . 点点P沿沿AC边从点边从点A向终点向终点C以以1cm/s 的速度移动；的速度移动；同时点同时点Q沿沿C

21、B边从点边从点C向终点向终点B以以2cm/s的速度移动，且当的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. .问点问点P，Q出发几秒后，可使出发几秒后，可使PCQ的面积为的面积为9cm2？根据题意得根据题意得 AP=xcm，PC=（6- -x）cm，CQ=2xcm. .设点设点P，Q出发出发xs后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm2. .解解答：点答：点P，Q同时出发同时出发3s后可使后可使PCQ的面积为的面积为9cm2 . .整理，整理， 得得.269 = 0 xx+-解得解得.12= 3xx.16292xx（）则由则由SPCQ= 可得

22、可得 12PC CQ2.2.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB= =6 cm，BC=12 cm，点，点P从从点点A沿边沿边AB向点向点B以以1cm/s的速度移动；同时，点的速度移动；同时，点Q从点从点B沿边沿边BC向点向点C以以2cm/s的速度移动，问几秒后的速度移动，问几秒后PBQ的面的面积等于积等于8cm2？QPDCBA解：解：设设x秒钟后秒钟后PBQ的面积等于的面积等于8cm2AP=x，PB=6-x，BQ=2x由三角形面积公式，得：由三角形面积公式，得： 212x(6-x)=8整理整理，得得：x2-6x+8=0 解得解得：x1=4，x2=2答答：2秒或秒或4秒后秒后PBQ的面积

23、等于的面积等于8cm2.如果把问题改成如果把问题改成“几秒后几秒后PDQ的面积等于的面积等于31cm2？”怎么解？怎么解？SPDQ=S矩形矩形ABCD- -SADP- -SPBQ- -SDCQ2. 如图，在如图，在Rt ABC 中，中，C = 90 ，AC = 8 cm，BC = 6 cm. 点点P，Q 同时从同时从A，B 两点出发，分别两点出发，分别沿沿AC，BC向终点向终点C移动，它们的速度都是移动，它们的速度都是1 cm/s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点问点P，Q 出发几秒后可使出发几秒后可使PCQ的面积为的面积为Rt

24、ABC面积的一半面积的一半？答：点答：点P，Q同时出发同时出发2s后可使后可使可使可使PCQ的面积为的面积为 RtABC面积的一半面积的一半.整理，整理， 得得.21424 = 0 xx+-. 111686 8222xx（）（）则由则由SPCQ= 可得可得 12PC CQ解得解得12= 2 =12，xx（不合题意，舍去不合题意，舍去）.则根据题意得则根据题意得AP=BQ=xcm，PC=（8- -x）cm，CQ=（6- -x）cm. .解解设点设点P，Q 出发出发x秒后可使秒后可使PCQ的面积为的面积为RtABC面积的一半，面积的一半，小结与复习小结与复习1. 什么样的方程是一元二次方程什么样的

25、方程是一元二次方程？它的一般形式是什么它的一般形式是什么？2. 分别举例说明如何运用配方法、公式法、因式分解法分别举例说明如何运用配方法、公式法、因式分解法 解一元二次方程解一元二次方程. .3. . 如何根据一元二次方程根的判别式来判断方程是否如何根据一元二次方程根的判别式来判断方程是否 有实根有实根？*4. 一元二次方程的根与系数之间有什么关系一元二次方程的根与系数之间有什么关系？5. 利用一元二次方程模型解决实际问题有哪些步骤利用一元二次方程模型解决实际问题有哪些步骤？一元二次方程一元二次方程一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式*一元二次方程根

26、与系数的关系一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的应用一元二次方程的应用因式分解法因式分解法一元二次方程的有关概念一元二次方程的有关概念公式法公式法配方法配方法一元二次方程的二次项系数不能为一元二次方程的二次项系数不能为0. .1.2. 解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法、解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法、因式分解法，使用时要根据方程的特征灵活选因式分解法，使用时要根据方程的特征灵活选择合适的方法择合适的方法. . 解一元二次方程的基本思路是解一元二次方程的基本思路是降次，其本质是将一元二次方程降次，其本质是将一元二次方程 左边的二次多项式进行因式分解，转化为一元左边的二次多项

27、式进行因式分解，转化为一元一次方程来求解一次方程来求解. .ax2+bx+c = 0( (a0) )建立一元二次方程模型解决实际问题时，要注重对建立一元二次方程模型解决实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析，在得到方程的根之后，还数量关系的抽象和分析，在得到方程的根之后，还需检验所得根是否符合题意需检验所得根是否符合题意. .在这种在这种“问题情境问题情境建立模型建立模型求解验证求解验证”的过程中，我们需进一步体的过程中，我们需进一步体会模型思想会模型思想. .3.中考中考 试题试题例例1 某某百货商店服装柜在销售中发现：百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐宝乐”牌童装平均每天牌童装平均每天可

28、售出可售出20件，每件盈利件，每件盈利40元，为了迎接元，为了迎接“六一六一”国际儿童节，商国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可元，那么平均每天就可多售出多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么元，那么每件童装应降价多少元？每件童装应降价多少元？解解设每件童装应降价设每件童装应降价x元，根据题意，得元，根据题意，得( (40- -x)()(20+2x) )=120

29、0.整理，得整理，得 x2- -30 x+200=0.解得解得 x1=10，x2=20.因要尽快减少库存，故因要尽快减少库存，故x应取应取20.故每件童装应降价故每件童装应降价20元元. .中考中考 试题试题解解设甲组单独完成此项工作需设甲组单独完成此项工作需x天，则乙组需天，则乙组需( (x+12) )天，天，根据题意，得根据题意，得 ，方程两边都乘以方程两边都乘以x( (x+12) ), ,约去分母并整理得：约去分母并整理得： x2- -4x- -96=0，解这个方程，得：解这个方程，得：x1=12, ,x2=- -8.经检验：经检验：x1=12，x2=- -8都是原方程的根，都是原方程的根，但负数不合题意，所以只取但负数不合题意，所以只取x=12.当当x=12时，时，x+12=24.故单独完成全部工作甲组、乙组分别需故单独完成全部工作甲组、乙组分别需12天，天，24天天. .118+=1+12xx例例2 某项工作，甲、乙两组合做某项工作，甲、乙两组合做8天可以完成，已知甲组单独完天可以完成，已知甲组单独完成全部工作所需时间比乙组单独完成全部工作所需时间少成全部工作所需时间比乙组单独完成全部工作所需时间少12天，天，问单独完成全部工作甲组、乙组各需多少天？问单独完成全部工作甲组、乙组各需多少天？结结 束束