金融工程第二版-郑振龙第十一章

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1、第十一章 在险价值无论是管理数百亿价值资产的银行还是只管理几百万元的投资者，精明投资者的标志之一就在于他们对金融市场典型的变动可能带来的损失在脑海中事先就已有一定的概念。已有大量众所周知的实例表明，许多机构对他们从事的一些较新型的交易，通常是与衍生证券有关的交易，可能带来怎样的后果全然不知。在对如何使投资变得更透明的研究过程中，金融界发展出了一种度量投资或投资组合下方（downside）风险的概念，即在险价值（Value at Risk， 简称VaR）。第一节 在险价值的定义VaR风险度量的出现是由于JP Morgan的前首席执行官，Dennis Weatherstone当时想要知道每个交易日

2、结束时银行所面临的风险状况。因此他要求他的手下设计一种将只产生一个数字的风险度量可以在每个交易日的下午4:15向他报告，以便对他提供一个银行风险的精确意见。他希望能提供给他的是一种对可能给银行造成困难的坏结果的风险概念。传统的三种风险度量，波动率、系统风险和非系统风险都无法直接回答Dennis Weatherstone希望回答的问题，但VaR可以做到。在险价值是试图用一个数据来总结评估金融投资组合的总风险的一种尝试。一般情况下，VaR与这三个风险度量之间不存在直接的联系。 我们将在下面看到正态分布对这个指令是一个例外，因为它使波动率与VaR之间存在着直接的联系。 尤其是对于更复杂的证券，完全有

3、可能在波动率增加的同时VaR下降。VaR的出现不仅被银行行长、公司财务主管和基金经理们广泛地运用，而且金融监督机构的要求也促使VaR更进一步得到推广。一、在险价值的定义在险价值的定义之一，也是目前通常采用的定义为：在险价值是按某一确定的置信度，对某一给定的时间期限内不利的市场变动可能造成投资组合的最大损失的一种估计。 这里的投资组合可以是针对机构中的某一个个体交易员的，用VaR来度量其在运用公司资金过程中承担的风险；它也可以是整个公司的投资组合。前者所度量的目的是为了考察交易员的效率，而后者所度量的则是公司股东们感兴趣的东西，他们希望知道股票市场变动可能造成的影响。更通俗地说VaR是要在给定的

4、置信度（典型的置信度为95、97.5、99等等）下衡量给定的资产或负债（即投资组合）在一段给定的时间内（针对交易活动的时间可能选取为一天，而针对投资组合管理的时间则可能选取为一个月）可能发生的最大（价值）损失。VaR 是一种对可能实现的价值损失的估计, 而不只是一种“账面”损失估计。为了更好地理解VaR，举一个简单的例子就可以描述清楚VaR方法的概念。假设一个基金经理希望在接下来的10天时间内存在 95% 概率其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000。则我们可以将其写作： , 其中为投资组合价值的变动。用符合表示, （11.1）其中为置信度,在上述的例子中是95% 。实际上，在VaR中

5、询问的问题是“我们有 X% 的信心在接下来的 T 个交易日中损失程度将不会超过多大的”? VaR的一个很吸引人的特点是它很容易理解。实际上，它问了这样一个简单的问题：“事情可能会变得多糟糕？” 变量是有价证券组合的VaR，它是如下两个参数的函数：时间长度 N 和置信度 X%。 二、选择合适的VaR参数要使用VaR就必须选择定义中的两个参数时间长度T和置信度X%。（一）时间长度在计算VaR时有一个隐含的假设就是投资组合在所选择的时间内不会发生变化。计算VaR的理由是金融机构想要监视和管理潜在损失的规模，以使金融机构将面临财务困境的概率保持在低水平上。经济上适当的损失是那些在度量期限金融机构对它们

6、无能为力的部分。如果一家金融机构能够一天一次度量它的风险并改变它的风险，唯一适当的度量是一天的VaR。在一天结尾时它将决定VaR对于第二天是否是可接受的。如果不可接受，它将采取措施改变它的风险。在第二天结尾时，它再一次重复这个过程。银行不可能会认为下一日的VaR将维护一年并保持不变。然而，对于一般企业一天的VaR将是毫无意义的，因为一般企业的投资组合主要是在缺乏流动性的市场交易，使得好几日无法做任何事来改变它的投资组合价值变动的分布，风险度量必须按它无法控制损失分布的时间期限来确定。实际上在选择合适的时间长度参数时必须考虑下列三个主要因素：1、 新交易发生的频率。如果新交易对投资组合的市场风险

7、有很大的影响，选择太长的时间长度就没有太大的意义，因为投资组合的市场风险在达到我们所设定的风险水平之前已可能发生显著的变化。2、 收集市场风险数据的频率。虽然金融机构可以每天至少一次确认其大部分投资组合，但对非金融性公司而言，正常的只能进行月度或季度报告。因此，一般性企业更可能采用月度、季度、半年或年度VaR。3、 对风险头寸套期保值（对冲）的频率。另外一个需考虑的因素就是可以接受的费用水平。因为在快速对风险进行套期保值以避免更大损失和保值成本之间必须加以权衡。否则，保值的频率越快反而可能造成损失越大。如果套期保值的费用成本超过保值要避免的风险损失，这样的保值就毫无意义。在金融机构中，内部Va

8、R的计算最常选用1天的时间期限。国际清算银行规定的作为计算银行监管资本的VaR的时间期限为10天。（二）置信度X% 在计算VaR中通常使用的置信度是95、97.5或99。如果我们选用的是95，如图11.1所示（横轴表示投资组合价值变化范围，而纵轴表示变化发生的概率），就是要在图中找到如向下箭头表示的位置，该位置使得价值变化的95落在右边而5落在左边，这个位置上的横轴数值就是VaR的值。95置信度的含意是我们预期100天中只有5天的损失会超过对应的VaR值。同理，97.5的置信度表示100天中预期只有2天半的时间会出现损失超过其VaR值；而99的置信度则表示100天中预期只有1天会出现损失超过其

9、相应的VaR值。但必须知道的是VaR并没有告诉我们在可能超过VaR损失的时间内（如95置信度的5/100天中；或99的1/100天中）的实际损失会是多少。大多数金融机构在内部风险管理中选用95至99之间的某一置信度；而国际清算银行对监管资本计算所规定的置信度为99。VaR的定义除了告诉我们损失大于某一水平的可能性之外并没有提供任何关于整个收益/损失分布状况方面的信息。图11.1和图11.2所表示的投资组合价值变化分布具有相同的VaR，但从图形分布形态上看，显然图11.2的损失机率要大于图11.1。图11.1 VaR的定义图11.2 具有与图11.1相同VaR，但不同的尾部三、VaR的使用基本上

10、可以说，任何暴露在金融风险下的机构都应该应用VaR。VaR的最大特点是：它用一个单一的数字捕捉住了风险的一个重要方面；它容易理解；它询问简单的问题: “情况究竟有多糟糕”? 根据VaR应用的历史发展，我们可以将其应用做如下划分：1、被动式地应用：信息报告。最早期的VaR应用是为了度量总风险。它被用来向高层管理报告金融机构的市场交易与投资的业务风险。同时，VaR也以一种非技术的、用户友好的形式向机构的股东传达机构的金融风险。2、防御式地应用：控制风险。随后VaR被用来为交易员和营业部门设置头寸限额。VaR的优点之一是它创立了一种在不利市场中对不同的风险业务活动都能进行相互比较的共同标准尺度。3、

11、积极式地应用：管理风险。现在VaR越来越多地被不同机构用来在交易员、业务单位部门、产品以和整个机构内部之间配置资本。这一过程来自风险调整后的收益（risk-adjusted return, RAR）概念。由于采用风险调整后的业绩度量（risk-adjusted performance measure, RAPM）具有期权特征的奖励会自动修正交易员承担的过度风险。以风险为基础的资本成本正引导机构朝着更优的风险/收益配比方向发展。VaR技术还帮助基金经理能以更全面的视角审视各种交易对基金投资组合的影响，从而做出更明智的决策。结果，VaR正被全球广泛的公司机构所应用。归结起来，它们包括：1、金融机构

12、拥有大量交易资产组合的银行是风险管理领域的先驱。金融机构通常需要处理大量的不同金融风险来源以和许多复杂的金融工具。VaR出现使金融机构现在得以实施集中式的风险管理系统，从而大大提高了风险管理的效率。2、监管机构对金融机构审慎监管要求金融机构为防范金融风险保证达到最低资本金要求。发达国家的金融监管机构都已将VaR作为金融监管的一种标准风险度量。它们包括国际清算银行的银行监管巴塞尔委员会、美国联邦储备银行、美国证券与交易委员会、以和欧盟的监管机构。3、非金融机构集中式风险管理对于任何具有金融风险暴露的公司都是非常有用的。跨国公司或国际经营公司都涉和多种货币的现金流问题。在险现金流分析（cash f

13、low at risk analysis）能为企业提供可能面临资金短缺的临界值。4、机构投资者机构投资者现在也开始采用VaR来管理他们的金融风险。尤其是在险资本（capital at risk）的概念已被机构投资者广泛接受。虽然，在险价值的技术正不断被大量采用，并得到不断发展。但VaR不可能是万能的，它主要针对的是金融市场风险。另外，VaR是在假定正态分布的市场环境中计算出来的, 这意味着不考虑像市场崩盘这类极端的市场条件。因此,实际上, VaR度量的是机构日常经营期间预期能够发生的情况。VaR的计算至少需要下列数据:投资组合中所有资产的现价和波动率以和它们相互之间的相关关系。如果资产是可交易

14、的我们可以从市场得到资产的价格（这种做法被称为盯市，marking to market）。对于场外市场合约我们必须运用某些“已被承认的”模型来得到价格,例如Black-Scholes 类型的模型，这样做则是盯模（marking to model）。通常，人们假设投资组合构成的变动是随机的并服从正态分布。我们这里也这么假定。 关于更多的VaR 资讯及波动率和相关关系的数据集可访问 网站。 第二节 单一资产的在险价值计算让我们从估计由单个资产组成的投资组合的VaR开始。 假设我们持有某一股票，其价值为 S ，年波动率为。我们想要知道在接下来一个星期内具有99% 确定性的最大可能损失是多少。在图 1

15、1.3 中体现了一个星期时间中收益率的可能分布状况。我们将如何估计VaR? 首先我们假定股票收益率是正态分布的。由于时间期限非常短, 我们可以合理地假定均值为零。一、 波动率换算在期权定价中我们将波动率表示成年波动率，在计算VaR中，我们将波动率表达成日波动率或周波动率。严格来说，我们应该将定义成一天中连续复利收益率的标准差。但在实务中，我们假定它是一天百分比变动的标准差。由于在计算市场可交易证券收益率的波动率时，通常认为市场交易本身是产生波动率的来源。因此，对于股票这样具有活跃交易市场的证券计算的时间期限是按交易日天数来进行计算的。因此有：一周时间期限的标准差为： 即时间期限是1/52年。

16、图 11.3 将来股票收益率的分布。二、单个资产在险价值（VaR）的计算我们必须计算出对应1%=(100-99)% 分布最左边的尾部位置。我们只需计算标准正态分布中的对应位置, 由于任何一个正态分布我们都可以通过因子换算来得到。即N(x)=0.01，其中为标准正态分布的累计函数。设为的逆函数（如图11.4所示），则。参阅表11.1,我们得到99% 置信度对应于均值的 2.33个标准差（实际上，我们可以通过查标准正态分布的累计函数N表来获得）。既然我们持有价值为S的股票，VaR被确定为：一般地，如果时间期限是（以天为单位），而要求的置信度是X ,我们有： (11.2) 其中为单位股票日收益率在险

17、价值（DEaR）；为股票收益率的日波动率（标准差）。表11.1置信度与均值离差之间的关系。 置信度偏离均值的标准差数99%2.32634298%2.05374897%1.8807996%1.75068695%1.64485390%1.281551在(11.2)中我们假定股票的收益率具有均值为零的正态分布。零均值的假定对很短时间期限是有效的: 收益率的标准差按时间的平方根比例变化，但均值按时间本身的比例变化。对于较长的时间期限，收益率（如同人们所希望的）以时间的比例量向右移。 因此，对于较长的时间度量，表达式 (11.2) 应该考虑对资产价值的漂移加以修正。如果这个漂移率为，那么(11.2)式变

18、成 (11.3)注意我们采用的是实际漂移率，而不是风险中性下的漂移率。在本章的其余部分中我们不必为这样的调整而感到忧虑。图 11.4标准正态分布累积分布函数的逆函数。例11.1我们持有一个价值为 $100万的X公司的股票头寸，X公司股票的日波动率为 3% ( 约为年48% )，假定该投资组合的价值变动是正态分布的并且投资组合价值的预期变动为零 (这对很短的时间期限是正确的)，计算10 天时间置信度为99的在险价值。 在这个例子中我们使用 T =10 和 X = 99，S = $1,000,000。也就是说我们关心的是10天内置信度为99%的可能最大损失。根据公式（11.2），我们有VaR为：

19、第三节 投资组合的在险价值计算如果假定：投资组合的价值变化与市场标的变量的价值变化是线性相关的；并且市场标的变量的价值变化是正态分布的。则我们只要知道投资组合中所有资产的波动率和它们之间的相关系数，那么我们能为整个的投资组合计算VaR。 一、线性模型设投资组合由M个资产所组成。第i 个资产的价值为，波动率是，而第i 个资产和第 j 个资产之间的相关系数是(其中=1)。因此，该投资组合价值一天的变动为： (11.4)其中为第i个资产一天的价值变动率，而为常数。根据统计学的标准结论，投资组合的方差为：（11.5）投资组合的VaR是： （11.6）例11.2某一基金持有的投资组合由$100万美元投资

20、于X公司股票和$200万投资于Y公司股票构成。X公司股票的日波动率为3，而Y公司股票的日波动率为2，并且X公司股票与Y公司股票收益率之间的相关系数为0.5。计算该投资组合10天时间置信度为99的在险价值（VaR）。在这个例子中，而，。另外，N =10 和 X = 99。用公式（11.6）我们有（以百万美元表示）：所有该投资组合的VaR为$448,184。这样的VaR定义明显会受到人们的一些批评：现实世界中的收益率不是正态分布的；波动率和相关系数明显很难度量；而且它的线性要求不允许在投资组合中考虑衍生证券。二、 线性模型的适用范围线性模型显然只适用于那些投资组合的价值与构成该组合的市场变量呈线性

21、相关的情况，这些情况包括：1、 股票的投资组合；2、 债券的投资组合；3、 外汇的投资组合；4、 商品实物的投资组合；5、 外汇远期合约的投资组合；6、 利率互换和货币互换的投资组合；7、 由上述工具共同构成的投资组合。 在上面所列举的这些工具中，远期和互换虽然是金融衍生工具，但它们都可以分解成相应的各种零息票债券交易，因此，实质上远期和互换本身就是债券的投资组合，适用于组合价值与基本标的之间的线性关系的计算公式。现在让我们来详细说明如何在计算中纳入衍生证券，尤其是在投资组合中包括期权类衍生证券时，VaR应如何计算。 第四节 衍生工具的在险价值估计包含衍生证券在内的投资组合的VaR 关键在于，

22、即使基本标的证券价格的变动是正态的，衍生证券本质上的非线性就意味着衍生证券价格的变动可能同正态分布相去甚远。然而，如果我们所关心的是基本标的证券价格一个非常小的变化，举例来说，在一个很短的时间内，我们可能可以用期权的delta 来近似投资组合对基本标的证券价格变化的敏感度。对于较大的变动我们可能需要采用某种高阶近似。接下来我们将看到这些方法和其缺陷。 一、Delta近似暂时我们先考虑一个由单一的标的证券S的衍生证券组成的投资组合。期权或期权投资组合对标的证券的敏感度为Delta，用表示 由于本节用表示Delta, 因此变量X的微小变动用dX表示，以示区别。则有：其中f是期权的价值，S是基本标的

23、证券的价值。令近似地我们有如果基本标的证券价格变动分布的标准差是，那么期权价格变动分布的标准差为。对于存在着多个基本标的市场变量时，类似地有其中是第i种基本标的市场变量的价格，i 为该投资组合关于第 i 种基本标的市场变量的Delta值。与方程（11.4）对应的有：其中。因此，方程（11.5）可以用来计算的方差或标准差。下面的对包括期权在内的投资组合的VaR的估计式虽然只比原来的估计式前进了一小步，但显然使整个估计得到了改进: 这里是投资组合相对第 i 个资产的变动率。 二、Delta-Gamma近似对于基本标的证券价格的微小移动delta近似值是令人满意的。而对于较大的变动，更高阶的近似可以

24、达到更好的效果，这就要将Gamma效应或凸性效应结合进去。我们用一个例子来证实这一点。假如我们的投资组合由一个股票的期权组成。基本标的证券价格的变动与期权价值变动之间的关系是 由于我们假定 其中取自一个标准正态分布。这样我们有 它还可重写作 (11.7) 对于一阶项，期权的随机价值只是基本标的证券价值的一种简单比例关系。对于二阶项，由于S的确定性漂移率和期权的Theta，存在一个确定性的漂移率。然而，更重要的是 Gamma 效应引入了一项使 的随机成分是非线性的。 在图 11.5 中显示了三种情景。首先，显示的是一条我们所假定的基本标的证券变动的分布的曲线。它是一个具有的标准差的正态分布，在图

25、中用粗线表示。第二条曲线，显示的是假定只用Delta近似得到的期权变动分布。它是一条具有标准差的正态分布曲线。最后一条曲线，显示的是假定用 Delta/Gamma 近似得到的期权变动分布曲线。 从这个图中我们可以看到用 Delta/Gamma 近似得到的分布远非是一个正态分布。事实上，由于表达式 (11.7) 是的一个二次方程，必须满足下列约束条件 或 在下面的情况下达到极端值： 因此，问题是我们是否对“尾部这个的临界值感兴趣？”如果不是，那么Delta 近似就已经是令人满意的，否则将不是令人满意的。如果我们无法使用一种近似方法，我们可能必须运用对定价公式模拟来求解。 图 11.3期权Delt

26、a近似分布、期权Delta/Gamma近似分布与标的证券分布的对照 一个明显的结论是正的 Gamma 对一个投资组合是好的，而负的 Gamma 是不好的。具有一个正的 Gamma 下侧是有限的，但是具有一个负的 Gamma 则是上侧是有限的。 三、 二次方程模型为了用Delta和Gamma将与联系起来，我们这里介绍一个二次方程模型，它是运用Cornish-Fisher展开式来估算包含期权的投资组合的VaR。先考虑一个基于单个资产的期权组合，设该资产价格为S，投资组合的Delta为，Gamma为。对投资组合价值变化运用Taylor展开式 通常在近似估算VaR时，将忽略时间流逝对投资组合的期望变化

27、的影响。因此，只对基本标的变量S做Taylor系列展开，而没有对时间t做Taylor系列展开。，我们有： （11.8）设公式（11.8）可表示成： 将上式扩展到包括M个市场变量的投资组合的情况，则公式变成： （11.9）其中是第i种市场变量的价值，和是第i种市场变量的Delta和Gamma值。设：则公式（11.9）可表示成一种更一般的形式： (11.10)利用公式（11.10）可以计算的高阶矩（moments）,运用这些高阶矩可以估算所要求的VaR值对应的概率分布的分位数。但是这种方法不像（11.4）线性模型那么好用，并且需假定是正态分布的。这个公式的实际应用意义在于它可以与模拟方法相结合，利

28、用模拟法来估计VaR。四、 估计模型的运用 对待有关非线性证券问题的有效办法是对基本标的证券价格的随机行为采用模拟方法，然后运用估价公式或算法来推导整个投资组合变动的分布。这是对这类问题的最终解决办法，但它具有的缺点是运算非常的慢。毕竟，我们可能需要进行数万次的模拟运算，但是如果每次我们必须要对一个多因子偏微分方程加以求解，那么我们将发现用这种方式计算 VaR 将耗费太多的时间。五、固定收益投资组合 当资产或投资组合依赖于利率时，则通常将每个工具的到期收益率视为是正态分布的变量。不同证券的到期收益率因此具有适当的相关关系。价格与到期收益率变动之间的关系通过久期（和高阶凸性）联系在一起的。所以，

29、固定收益资产可以视为到期收益率的一种衍生证券。因此，VaR 的估计显然将采用久期代替Delta（和凸性代替Gamma）的做法。 第五节 蒙特卡罗模拟在这本章中将介绍的二种模拟方法是基于产生正态分布随机数的蒙特卡罗模拟法和运用来自历史数据的实际资产价格变动的历史模拟法。在这两种模拟法中，存在着两种产生将来情景的方法，采用那一种方法取决于所关心的时间跨度和所采用的模型或数据的时间跨度。如果所感兴趣的是一年的时间跨度，而且拥有相同时间跨度的收益率模型或数据，那么则很容易用它来产生将来情景的一种分布。另一方面，如果模型或数据的时间跨度比我们感兴趣的时间跨度短，比如说是一个随机微分方程或每日数据，而我们

30、感兴趣的是一年的时间，那么就必须用模型产生资产的整个一年长度的路径来建立一个一年的分布。这种做法需要花费更多的时间，但是对于路径依赖型的合约，其采用的整个路径明显必须在建模中体现则是很重要的。 必须记住的是，模拟法中必须使用实际收益率而不是风险中性下的收益率。 蒙特卡罗模拟是使用随机数产生收益率和/或资产价格的一个分布。我们已经在第八章中详细介绍过蒙特卡罗模拟技术。该技术也可应用在VaR中: 使用取自正态分布的随机数来建立将来情景的一个分布。对于这些情景中的每一分布运用某种定价方法计算投资组合的价值（基本标的资产和其期权的价值），然后直接估计它的VaR。以前面的公式（11.10）为例，我们假定

31、投资组合价值变化与基本标的价格变化率之间存在（11.10）的关系。如果我们希望计算一天的VaR值，蒙特卡罗模拟的步骤为：1、 利用当天市场各变量现值计算投资组合的价值。2、 从的多变量正态概率分布中进行抽样。3、 用抽样得到的值模拟计算下一日各市场变量的价值。4、 利用这些模拟的市场变量价值，根据公式（11.10）就可计算得到的一个样本值。5、 不断重复第二步到第四步，就能得到的模拟概率分布。VaR值就是这个概率分布的一个合适的分位数。如果要计算的是一天时间置信度95的VaR，若模拟次数假定为10,000次，则是这10,000个样本值中按最好排序中的第9500位的，也就是按最糟糕排序的第500

32、位的。如果置信度为99，则是按最糟糕排序的第100位的值。知道了所确定置信度的一日VaR，就很容易计算任何N日VaR值。第六节 历史模拟另一种产生系列资产价格随机变动的方法是使用历史数据。同样，存在着两种产生将来情景的方法:一种是当你拥有一个收益率分布模型的期限超过了你要考察的时间期限的一步过程法；另一种是当你拥有的数据或模型的期限比你要考察的时间期限短的多步过程法。我们所采用的数据将由日收益率组成，比如是最近数年的所有基本标的资产的日收益率数据。日数据以向量形式记录，每个资产具有一条记录。假如我们要 N 个资产的实时系列数据，而且我们的日数据为最近四年的数据，结果每个资产报酬率的日数据约达

33、1000 条。我们将采用这些收益率数据进行模拟。做法如下。对每一日变动指派一个“数”。也就是说，我们将指派1000个数，每一个数对应一个收益率向量。为了更形象化的说明这点，想象在笔记本上的空白页记下所有 N 个资产的收益率。在第 1 页上我们记录了从 1998 年7月8日到 1998 年7月9日发生的资产价值变动。在第 2 页上我们做同样的工作，只不过所记录的是从1998年7月9日到1998年7月10日的变动。在第 3 页上记录7月10日到7月11日的变动.等等。如果我们有1000个数据组我们将填上1000 页。现在，从 1 到 1000中抽取一个数，它具有均匀的分布；假设这个数是 534 。

34、在笔记本中找到第 534 页。使所有资产的价值在今天具有该页向量所记录的收益率。现在随意在 1 和 1000 内再随机抽取另外一个数，然后重复该程序，直到达到必需的时间跨度。这是所有资产价格实现的一条路径。重复这样的模拟就能产生许许多多的可能实现的路径从而获得所有将来价格的精确分布。上述做法归结起来就是首先需要建立一个数年所有市场变量的日变动数据库。第一次模拟是假设每个市场变量的波动率与数据库覆盖时段的第一天的相应变量的波动率相同。第二次模拟则假设各市场变量的波动率与数据库覆盖时段的第二天相应变量的波动率相同，依此类推。每次模拟就可以计算出一个投资组合的样本值。通过这种方式，我们创造了一个基于

35、历史数据的将来可能情景的一个分布。注意我们如何使发生在同一日的所有资产价格变动保持一致。通过这种做法我们确保能够抓住任何资产之间可能有的相关关系。VaR值同样可以通过找到合适的的概率分布中的分位数来得到。当然，可以是通过重新计算投资组合的价值再与前一日的价值相减来获得，也可利用代入公式（11.10）来获得。 到目前为止，历史模拟法是非常简单可行的一种方法。这种方法的优点是它自然地将资产相互之间的任何相关关系以和资产价格变动的任何非正态性结合在其中，并精确地反映了市场的历史概率分布。它无法抓住数据中的任何自相关性，然而，基本形式的蒙特卡罗模拟也同样无法做到这点。这种方法的主要缺点是它需要大量的历

36、史数据，而这些数据对应的经济环境可能与目前的环境完全不同。第七节 压力测试和回溯测试什么是风险管理的目标？这个问题最重要的答案是防止机构遭受无法承受的损失。怎样才算是“无法承受的损失”？自然需要定义和量化。一种最简单的定义是，无法承受的损失就是使机构倒闭或极大地破坏其竞争地位的损失。VaR虽然作为一种风险度量，但它无法帮助机构规避无法承受的损失。VaR只是告诉我们有X的把握在N日内损失不会超过多少，但它并没有告诉我们 (1X)% 的小概率发生时实际损失将会是多少。一、压力测试到目前为止，仅使用VaR作为风险的度量方法是不够的，风险管理必须提供一种鉴别和量化机构投资组合极端价格变动效应的手段。处

37、理极端价格变动影响最适当的风险度量方法是一类称为压力测试的方法。压力测试的本质思想是获取大的价格变动或者综合价格变动的信息，并将其应用到投资组合中以确定在极端情况下可能导致的潜在收益和损失。人们通常采用过去10到20年历史数据中所发生的最糟糕的情况来对投资组合检验可能的效应。压力测试所选用的数据也许在现实中几乎不会出现，但谁也无法保证其永远不会出现。风险管理的首要目标之一是要防止破产。虽然它无法保证破产永远不发生，但它应该尽可能避免破产发生。存在着好几种方法可以用来获得价格变动的信息，因此也有几种不同的压力测试的方法：（一） 极端值理论VaR通常假设收益率是服从正态分布或对数正态分布的，从而忽

38、略了收益率系列的厚尾情况。极端值理论（Extreme value theory, EVT）是统计学的一个分支，它提供了获得极端事件概率的方法。极端值理论负责分析和解释极端事件，比如厚尾。并已经在工程学和保险业使用了相当长的时间，帮助估计建筑承受极端事件的能力以和保险极端赔付诉求的风险。应用在金融风险管理中还处在新的发展中。极端值理论在风险度量方面帮助量化了两个关键的度量：1、“X”年收益率大小。如果金融机构高级管理人员将损失风险的最大承受力定义为20年只会发生一次的事件所造成的损失，也就是20年期的收益率。基于对历史极端收益率的分析，极端值理论可以估计20 年期的收益率大小。2、给定VaR的超

39、额损失。即在收益率超出VaR的前提下可能遭受损失大小的估计。借助VaR，这一估计有依赖于极端值分布的置信区间，该置信区间可以非常大。换句话说，就是估计在超过VaR的条件下，超出给定VaR的那部分损失的期望值。（二） 情景分析压力测试下的情景分析是为了研究金融市场中的特定事件的影响，情景通常从过去的或者将来可能发生的经济、政治或自然现象中获得，如石油价格上涨50；美元兑欧元下跌20；美国利率提高2等等。情景分析选择什么样的情景加以压力测试，从而检验相应的风险是否能够被接受，目前并没有一种很科学的做法。相当一部分是依靠主观判断，公司主要关心和忧虑的事件，以和建立在简单的对历史收益系列和事件的观察基

40、础上。设定和使用可能的将来经济情景来测试它们对资产投资组合损益的影响。（三） 历史模拟历史模拟是把真实的历史事件运用到现在的资产投资组合上。计算VaR的历史模拟方法对这种类型的压力测试是再合适不过了。借助历史模拟能获得整个资产组合价值的大变动的信息，而不是单个资产价格的大变动信息。历史模拟让人们可以很容易找到最严重损失发生在什么情况下，并使识别究竟是什么样的价格变动导致了这个极端损失变得容易许多。金融机构可以估计自己的商业策略以和市场定位来讨论这些结果。历史模拟还能告诉我们那些资产在不利的市场情况下通常是一起波动的，和在这种市场条件下不同资产价格之间的相关关系。历史模拟另外一个很有用的价值就是

41、能够检验市场价格波动的不利趋势对资产投资组合的影响。理论上许多可交易证券可以在较短的时间内平衡大部分的头寸，但实际上当市场暴跌时，大部分的证券流动性锐减。市场危机通常不会持续很长时间，但流动性的降低则可能要持续一段时间。金融市场的一个特征是经济大波动几乎总是伴随着流动性危机。历史模拟测试能帮助机构确定和控制适当的持仓头寸和清算头寸。（四）VaR压力测试VaR压力测试是对影响VaR的那些参数施加“干扰”，也就是说，改变这些参数，然后考察这些变化对VaR计算结果变化产生什么样的影响。VaR压力测试所关注的是如果波动率或相关系数或它们的组合发生变化，金融机构所面临的风险水平将会如何变化。（五）系统压

42、力测试系统压力测试是创建一系列易于理解的情景，用其中的一个或一组来测试资产投资组合中的主要风险因素。前面我们已经讨论了用特定历史情景和潜在未来情景测试其影响的方法。但是还不够，不能保证让所有重要的风险因素都被用到，也不能保证使所有的有意义的组合都得到压力测试。因此，系统地对大量不同的资产价格变动进行一系列的压力测试是必要的。通过这种方法，可以鉴别将导致金融机构承受巨大损失的情景。对市场风险的系统压力测试应该包括的因素有：1、 非线性价格函数；2、 不对称性；3、 相关性分析；4、 不同类型资产组合的共同和单独压力测试；5、 适当幅度的波动压力测试。总之，压力测试的主要目标是确认会导致重大损失的

43、情景和限制导致这种损失的风险暴露。风险管理部门必须根据业务组合风险的种类来确定相应的压力测试方法。不同机构的风险偏好应该在参考VaR和极端市场条件下准备承受的最大损失后才加以设定。二、回溯测试在应用VaR进行风险管理中，我们可能要问这样的问题：出现超过99%置信度10天的 VaR 频度是多少? 也就是说需要测试 VaR 在过去表现的优劣情况如何。回溯测试的目的是通过对比市场数据和实际交易结果来检验市场风险度量的有效性，确认模型预测的准确性。国际清算银行巴塞尔委员会对银行监管也提出回溯测试的要求。在以市场为基础的资本要求下，一家银行必须对其内部模型进行回溯测试。内部模型若用于计算资本要求，则需要

44、至少有250天的过去数据。如果回溯测试的结果不令人满意，即在这250天中预测的VaR发生的错误太多（低估风险的日子出现太多），则监管者将施加一种惩罚性安排，由当地监管机构对银行提出更高的资本充足率要求。回溯测试是一个有用的评估市场风险测量和方法集合的有效工具。回溯测试包括对投资组合的事后检验、对单个市场模型的检验、对风险度量系统的检验以和测试风险和损益数据。其中最主要的是对风险度量和损益的对比分析，从而达到修正模型、改进方法、发现问题的目的。第八节 风险度量术(RiskMetrics)1994年10月美国的JP Morgan银行推出了RiskMetrics系统作为对VaR参数估计的一种服务。这

45、些服务某些是免费的，可链接到网站上(或从)获取数据集，但配套的风险管理软件不是免费的。计算VaR要求的典型数据是“基本标的”的参数和用这些基本标的来度量投资组合现期的风险暴露。参数包含资产的波动率和相关系数，以和对于较长时间期限的漂移率。投资组合的风险暴露由Delta度量，以和如果有必要由投资组合的Gamma(包括混合衍生证券)和Theta度量。投资组合的敏感性显然最好由投资组合所有者、银行或基金来计算。然而，资产参数可以由任何获得正确数据的人来估计。RiskMetrics数据集是极其庞大且全面的。它们通过互联网络发行。它们由三类数据构成：一类用于估计一天时间期限的风险，第二类具有一个月的时间

46、期限，而第三类被设计用来满足国际清算银行最近建议的运用估计市场风险的内部模型的要求。该数据集包括了大约400种金融工具的波动率和相关系数的估计，覆盖了外汇、债券、互换、商品以和股票指数。对于许多货币还提供了期限结构方面的信息。一、风险度量术对参数的计算这种方法估计金融参数的详细的技术说明可以在 J. P. Morgan 网站找到。在这里我们只对主要要点给出一个简要的概述。（一）估计波动率一个资产的波动率是按照其收益率的年标准差来度量的。获得这个度量的方法很多。最简单的方法是使用过去一个设定期间（比如三个月）的数据计算每天(或者你将再对冲的典型的时间段)的收益率以和计算这些数据的样本标准差。这将

47、形成一个三个月波动率的时间系列。这种方法对所有的前三个月观察值给予相同权重。对第i天的波动率估计被计算为其中为时间段(典型的情况为一天)，M为估计的天数(3个月近似等于63天)，Rj为第j天的收益率，为在前M天期间的平均收益率。如果很小，则实际上我们可以忽略。这个波动率的度量有两个主要缺点。首先，不清楚我们应该使用的是多少天的数据；3个月以前发生了什么可能跟现在没有关系。如果在这段期间波动率确实没有改变，则我们拥有的数据越多，抽样的误差将越小。其次，在一天期间巨大的正收益率或负收益率将在接下来的三个月的这些历史波动率中被感觉到。 它可能具有也可能不具有三个月隐含波动率的任何相似之处。在这个期末

48、显然波动率将突然下降，然而市场条件并没有发生基本改变；这种下降将完全是欺骗性的。因此，用这种方法度量的波动率将体现为高台式的。图11.4显示了具有高台式的一个典型的三十天波动率曲线。图11.4 三十天波动率在RiskMetrics中波动率是用方差的平方根来度量的，而方差是采用价格收益率平方的一种指数移动平均值。这样做是为了确保任何单个收益率对估计的波动率具有逐步递减的影响，而且高台式的曲线不会出现。这种波动率是按如下公式估计的： 其中代表附加在过去波动率上的权重。通过下式，这种权重上的差异更容易被看到： 对于一天期限的波动率， JP Morgan 选择的参数为是 0.94， 而对于一个月期限的

49、为 0.97。另一种可能是选择使得历史波动率的平方和隐含波动率的平方之间差异最小的。（二）相关关系相关关系的估计类似于波动率的估计。我们可以取最后M天两个资产的相同权重的收益率来计算资产1和资产2之间的协方差： 这个度量由于所有的收益率具有相同的权重而存在欺骗性的暴涨和暴跌。另外，我们可以使用一种指数加权估计 由于资产变动和度量的不同步性，使得协方差估计存在着问题。两个资产可能是完全相关的，但由于它们的度量是不同的时间可能表现为是完全不相关的。在应用来自不同的时区的数据时这将是一个问题。此外，不能担保指数加权协方差产生一个正定矩阵。二、资产流映射在计算VaR时对于不同到期日的利率都要收集其有关

50、市场数据显然是不现实的。例如，RiskMetrics的数据集仅提供1个月、3个月、6个月、1年、2年、5年、7年、10年、30年这样的标准到期期限的债券价格数据。要计算一个实际附息票债券的VaR值，就需要将这个债券的本金和利息转换成上面的标准债券的形式，这种转换就称为映射（mapping）。假设 5 年期的利率为 6% 而7 年期的利率是 7% ，而我们将在 6.5 年时将收到 $10,000 的现金流。5 年期和7年期债券的日波动率分别是 0.50% 和 0.58% 。我们在 5 年期的 6% 利率与 7 年期的7% 利率之间运用插值法得到 6.5 年期的利率为 6.75% 。6.5年期的

51、$10,000 现金流的现值是：我们在5 年期债券价格的波动率0.5% 与7 年期债券价格的波动率 0.58% 之间运用插值法得到6.5 年期债券价格的波动率是 0.56% 。我们将现值中的 a 分配给 5年期的债券并将(1- a)的现值分配给 7 年期的债券。假如 5 年期的债券价格变动与 7 年期的债券价格变动之间的相关系数是 0.6。的选择必须使方差相匹配：这确定了 a = 0.074。6.5 年期的$10,000 现金流被替代成：的5年期的债券和的7年期的债券。这样的现金流映射确保了其价值和方差保持不变。映射实际上是一种风险线性分割方法。它不但适用于现货资产，也同样可应用于衍生资产。所

52、有的映射过程可概括为：第一步计算需映射资产的现值；第二步将计算出现值的风险敞口映射到基础资产上，映射时要确保资产的现值和波动率保持不变。RiskMetrics数据库提供了三种固定收益资产的波动率：货币市场、互换、政府债券。货币市场给出期限为1年的波动率，利率互换给出期限从2到10年的波动率，而政府债券则给出期限从2年到30年的波动率数据。小结1. 在险价值度量的风险是“在未来N天内我们的损失不会超过标准货币金额有X%的把握”。是VaR，X%是置信度，T是时间段。2. 单一资产的VaR计算公式为：。S是资产的标准价值，为标准正态分布的累计函数的逆函数。3当投资组合价值变化与市场变量变化率是线性相

53、关的，并且市场变量变化率是正态分布的时，投资组合满足线性方程，这种情况下投资组合的在险价值（VaR）的计算公式为：。其中是第i个市场变量的价值，是第i个市场变量的波动率，是第i个市场变量收益率与第j个市场变量收益率之间的相关系数。4当投资组合满足线性方程时，投资组合的在险价值（VaR）也满足：5当投资组合中包含期权时，投资组合价值变化与市场变量变化率不是线性相关的。投资组合在险价值的Delta近似公式为：与线性方程不同的是，这时的，是投资组合第i个证券对其基本标的资产的Delta值，是基本标的资产的市场价值。6在包含期权的投资组合中，运用Delta/Gamma可以得到投资组合价值变化与市场变量

54、变化率之间的一个二次方程。计算的高阶矩结合Cornish-Fisher展开式可以计算投资组合的VaR。7蒙特卡罗模拟是计算包括期权的投资组合VaR的一种有效办法。蒙特卡罗模拟假定基本标的变量价值变化率服从正态分布。8另一种获得包括期权在内的投资组合VaR的模拟技术是历史模拟法。历史模拟法假定未来的基本标的变量价值变动率服从历史数据集的实际分布。9压力测试是VaR风险度量技术应用的有力补充。它检验在极端市场变化情况下投资组合可能出现的收益状况。回溯测试是检验VaR模型和应用的准确性和可靠性。10风险度量术（RiskMetrics）是JP Morgan推出的一整套完整的利用市场变量数据集估计VaR

55、参数的技术方法。习题1 某市场变量的年波动率为20，计算此变量相应的日变化率。2 某项资产的年波动率为35，该资产目前的市场价值40万美元，计算该资产99置信度一星期时间的VaR美元值。3 目前资产A和资产B的日波动率分别为1.5%和1.8，这两种资产收益率之间的相关系数的估计值是0.3，一个由30万美元的资产A和50万美元的资产B组成的投资组合，其99置信度10天的VaR是多少美元？4 一家金融机构持有10万德国马克现汇，目前的即期汇率为1德国马克0.6250美元，汇率的日波动率是0.7%。计算10天期95置信度的VaR美元值。5 考虑某一由单一资产的期权组成的投资组合，如果期权的标的资产价

56、值是20亿美元，日波动率为3，该投资组合的Delta值是0.5，估算该投资组合99置信度1天的VaR的美元值。6 一家公司持有价值4000万美元的债券头寸。该有价证券组合的修正久期为3.7年。假设收益率曲线只会出现平行移动，收益变动率（以日变动大小的标准差度量）是0.09%。估算该有价证券组合90%/20天期的VaR。7 一家金融公司的有价证券组合由美元对英镑的汇率期权构成。该有价证券组合的Delta值是56.0。现在汇率是1.5000。有价证券组合价值的变动和汇率的波动率间的关系近似为线性关系。若汇率的日波动率是0.7%，估计99/10天期的VaR值。8 若一家公司的有价证券组合由股票、债券

57、头寸、外汇和实物商品构成。假设其中没有衍生工具。解释（a）用线性模型（b）用历史数据模型计算VaR时的假设条件。9 解释为什么当有价证券组合中包含期权时线性模型只能对VaR值进行近似估计？10 解释为了计算VaR值，利率互换如何映射成标准期限的零息票债券组合。习题答案： 1由于该市场变量的年波动率为：，因此其日波动率是： 2根据波动率的关系式：。又资产价值。所以一星期99 置信度的在险价值为2.33 X 0.0485 X 400,000 = $45,202。 3该投资组合价值日变动率的方差为：该资产组合价值日变动率的标准差是。10天99置信度的在险价值为：。 410万德国马克的美元现值为，。所

58、以该外汇头寸10天期95置信度的在现价值为：5. 该投资组合的VaR为： 。6. 根据久期模型我们知道： 其中是一天债券组合的价值变动，是其收益率一天平行移动的变动，而为修正的久期。所以，而的标准差是。根据，有。由于，所以，该有价证券组合90%/20天期的VaR是： 7. 有价证券组合价值的日变动量与汇率的日变动量的近似关系为： 汇率的日变化率等于。于是有： 即 的标准差等于汇率日波动率，即0.7%。因此的标准差为： 。所以，有价证券组合99%/10天期的VaR是： 8. 线性模型假设每种市场变量的日变化率都服从正态概率分布。历史数据模型假设以前观测到的市场变量的日变化率的概率分布在将来仍然适用。 9. 期权价值变动与基本标的变量变动不是线性相关的。当基本标的变量值的变动是正态分布的时，期权价值的变动却不是正态分布的。而线性模型则是假定期权价值的变动是正态的，因此，线性模型只能是一种近似估计。 10. 对于浮动利率方，其浮动利息等效于在下一支付日到期的零息票债券。对于固定利率方实际是有息票债券，其等效于零息票债券的有价证券组合。因此，利率互换可以映射成对应不同利息支付日为到期日的零息票债券的有价证券组合。然后，可以再将每个零息票债券映射成其相邻的标准到期期限零息票债券的相应头寸。