《多元函数微分》word版

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1、第八章 多元函数的微积分学上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。一、教学目标与基本要求(1) 理解多

2、元函数的概念。(2) 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。(3) 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。(4) 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。(5) 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。(6) 了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。(7) 理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。(8) 理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。(9) 熟练掌握利用直角坐标和极坐标

3、计算二重积分的方法。二、教学内容的重点及难点：重点：1 多元函数的极限与连续；2 偏导数的定义；全微分的定义3 多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4 多元函数的极值与最值的求法5 二重积分概念，二重积分的计算。难点：1 多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2 多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3 由方程组确定的隐函数的求导法则；4 条件极值的求法5 对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：1 多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2 多元复

4、合函数的求导法则的应用；3 由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4 利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5 将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念6 利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。7. 二重积分概念的深刻背景8. 二重积分的换元积分法9. 重积分的实际应用8.1多元函数的基本概念一、内容要点1 平面点集 维空间2 多元函数的概念3 多元函数的极限4 多元函数的连续性二、教学要求和注意点教学要求： 1理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。教学注意点：多元函数的极

5、限与一元函数极限的定义表面上看起来非常相似，但也有不同的地方，要特别提醒学生注意，一元函数的方向极限只有两个，即左极限和右极限，但多元函数的方向极限有无限多个，动点可以沿着直线的方向趋于定点，也可以沿着曲线的方向趋于定点，这意味着多元函数的极限较一元函数的极限复杂得多。说明1：把一元函数的概念推广到多元函数之前必须把多维空间的领域概念解释清楚，因为多元函数许多与一元函数不同的特殊性质是由多维空间中的领域性质决定的。往往学生自以为已经掌握了多元函数的概念，遇到实际问题还是理解不了。说明2：多元函数的极限是比较难理解的概念，要分清二重极限与二次极限的区别与两者的关系。说明3：在多元函数的范围内仍有

6、基本初等函数和初等函数的概念。一、 平面区域首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识：1、 邻域：给定平面内P0（x0，y0）点，和某数0，以P0点为圆心，为半径作圆，该圆内所有点的全体，即，称为P0点的邻域，记做：，简记；2、 内点：在平面点集，存在P0的一个邻域，使得，则称P0为的内点；3、 开集：平面点集内的所有点都是内点，则称点集为开集；4、 边界点：在平面上，存在某个点P，在P的任何邻域内，都含有点集的点，又含有不是点集的点，则称点P为点集的边界点。【注】：1、点P可以在点集内，也可以不在。2、点集中孤立在外的点，称为孤立点，规定，孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为边界

7、。5、 连通：如果点集内的任意两点都能用全属于的折线连接起来，则称为连通的。6、 区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。7、 有界无界区域：对于平面点集，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使，则称为有界区域，否则称为无界区域。8、 聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集的点，称P为点集的聚点。 【注】：平面点集中点的关系如图,其中： 二、 二元函数的极限和连续性1、 二元函数定义1：设有变量x，y和z，如果当变量x，y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x，y的二元函数，记作：，其中x，y称为自变量，z

8、称为因变量。自变量x，y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。【注】1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数（n1）； 2、定义1中，当x，y的值取定后，z的取值就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是唯一的，这时我们称为单值函数，但有时侯取值不是唯一的，这时我们称为多值函数。如：。一般情况，我们讨论的函数都是单值函数，如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。3、二元函数的定义域有两种。其一：我们规定的定义域，即中，x，y的取值范围。如：，其中的定义域就是。其二：我们给定的函数，使得z有确定取值的（x，y）的取值范围。如：，其定义域为：D=(x，y)| 。 4

9、、二元函数的图形由上一章的内容可知是一张曲面。 5、两二元函数相等，即定义域相等且起对应法则也必须相等。【例】求的定义域。 解：显然要使得上式有意义。必须满足。2、 二重极限 定义2：设P0(x0，y0)为函数定义域D的聚点，如果当定义域内任意一点P（P0除外），以任何方式趋近P0时，即：，都有，则称在的P0二重极限为A。语言表示：，当时，恒有：，记：。三、求极限的方法1、一元函数求极限的方法及运算法则（除L.hospital法则外）对多元函数依旧成立。如：两个重要极限，等价无穷小法则等等。 例（1）、 （2 ）、 解：（1）：=e （2）： 又 原极限=02、定义中提到任意方式趋近，我们可从

10、中推断出：当我们能找到两条不同的路径L1，L2，使得，但是函数取得的极限却是不同的A，B时，则我们称其函数极限不存在。例讨论，在（0，0）处的极限。 解：取不同路径y=kx，当x趋近0时，y趋近0，但方式不同，显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以我们说函数在（0，0）的极限不存在。3、 二次极限与二重极限的关系称和为函数在点（x0,y0）的二次极限。【注】二次极限存在不一定二重极限存在，同理二重极限存在不一定二次极限存在。例（1）显然有：，但是二次极限不存在。 （2）、上面例题说明，在（0，0）处的二重极限不存在。但是其二次极限=0。四、 函数的连续性及性质定义3：设P0是函数定义域D上的

11、聚点，且，如果：，则称函数在点P0（x0,y0）连续，否则称该点为不连续点。【例】：任由上面例题可知，在（0，0）处是不连续的。【注】：1、等价定义：函数在点P0（x0,y0）连续（2）、利用多元函数的连续性来解决极限问题。例（1）、求极限 解： ，且 原极限=0性质1、（最大值和最小值）若函数在有界闭区域D上连续，则函数f在D上有界，并且能取得最大值与最小值。性质2、（介值定理）：设函数在有界闭区域D上连续，若P1（x1，y1），P2（x2，y2）D，且，则对任何满足不等式的实数k，总存在P0（x0，y0）点，使得。特别：取得函数可以取得最大值与最小值之间的一切值。8.2 偏导数一、内容要点

12、1 偏导数的定义及其计算法2 高阶偏导数二、教学要求和注意点教学要求：理解多元函数偏导数的概念，并会求具体多元函数的一阶偏导数和高阶偏导数，知道多元函数的连续性与偏导数之间的关系。教学注意点：在一元函数中，可导的要求比连续的要求更高，即可导必连续，但连续不一定可导。而对多元函数而元，偏导数存在时，多元函数却不一定连续，这是多元函数与一元函数的本质差别，应让学生举出反例，如说明1：多元函数的连续性要给出两种定义，补上精确的定义方式（即用“-”语言的定义方式，以便让学生能深刻理解多元函数连续的意义。说明2：闭区域上连续函数的性质与一元函数的情形几乎完全相同，不必多做解释。说明3：说明多元函数连续性

13、和偏导数存在没有直接关系，这一点与一元函数的情形是根本不同的，原因是偏导数只有一维的变化概念，极限至少是二维的变化概念。说明4：混合导数与次序无关的条件在初等函数的范围内是很容易满足的，不必过分强调它的条件。 说明5：在二元函数的情况，函数在某一点可微的几何意义就是曲面在这一点有切平面存在。说明6：函数在某一点可微可以保证函数在该点的连续性和偏导数存在，但不能保证偏导数在这一点连续，可以举出反例。说明7：在所有介绍的条件中，偏导数的连续性是最强的。函数的偏导数在某一点连续可以保证函数在这一点可微、连续和偏导数存在。一、偏导数概念 偏增量： 全增量： 定义1：设函数在P0（x0，y0）的某邻域内

14、有定义，。若存在，则称在P0（x0，y0）点关于x的偏导数存在，且其极限值为其在该点的偏导数。 记做：、或者、，即：=同理：=偏导(函)数：如果函数在D内的每一点（x，y）都有偏导数，则称、为的两个偏导(函)数。2、偏导数的计算【注】1、求对x的偏导数时，将y视为常数，对x求导数。求对y的偏导数时，将x视为常数，对y求导数。2、偏导数的符号、是一个整体，不像可以看成dy除以dx。【例】（1）、设，则求， 解：， 视y为常数，则； 又，视z为常数，则； 又，视x为常数，则。同时，由上面计算可知。尤其注意在不等号的左边表达式是错误的。（2）、设在点（1，2）处的偏导数。，解：；（3）、设，。求f在

15、（0，0）处的偏导数。解：因为函数在整个定义域内表达形式不一样，所以在这里我们只能根据定义来求解。=3、求在P0（x0，y0）的偏导数的方法方法一：首先求出其偏导函数、，在代入该点的坐标值（x0，y0）。方法二：比如求时。通常我们先代入y=y0，得到，在对x求导数得，再代入x=x0。【例】：，求。解：，4、偏导数存在和函数连续的关系（1） 例题：，在（0，0）处的偏导数存在，但不连续。（2） 例题：，在（0，0）处连续，但是偏导数不存在。5、几何意义表示：曲面与平面y=y0相交的曲线Cx，在平面y=y0内在x=x0处的切线斜率。其中：，如图所示：一、高阶偏导数定义：设有函数，称，为函数的二阶纯

16、偏导数，而称，为函数的二阶混合偏导数。【注】，定理1：若函数的两个混合偏导数在区域D内连续，则两者相等。证明略【例】：设，求，。解：，。=；。三、综合习题【94-1】：在点（x0,y0）处的偏导数都存在，是在（x0,y0）连续的（ ）。（A）：充要条件 （B）充分非必要条件 （C）非充分非必要条件。解：由上面可知，答案是（C）【92-1】：，在（0，0）处（ ）。（A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在解：由上可知，答案是（C）【94-1】，求解：代入，得=。8.3 全微分一、内容要点1 全微分的定义；2 全微分在近似计算中的应用二、

17、教学要求和注意点教学要求：1 理解全微分的概念，2 会求全微分，3 了解全微分存在的必要条件和充分条件，4 了解全微分形式的不变性，5 了解全微分在近似计算中的应用。教学注意点：要求学生对全微分的原始定义有很好的理解。在一元函数中，可导与可微是等价的。但对多元函数而言，可微一定可导，可导却不一定可微。另外，还要让学生知道，但对多元函数而言，可微一定连续。判断全微分存在的充分条件是偏导数连续。说明：复合函数的求导是微分运算中的最基本的法则，务必熟练应用。一、 概念定义：设在P（x，y）的某邻域U内有定义，对，若：，其中，A，B为与，无关的常数，则称在P（x，y）点的全微分存在，或者称其在该点是可

18、全微分的，记其全微分为，且。同一元函数类似，在这里规定，即：。二、 概念的关系定理1：可微函数一定连续。（注：不连续的函数一定不可微。）证明：设在P（x，y）处可微分，则：在P（x，y）处连续。定理2：可微函数的偏导数一定存在，且证明：设在P（x，y）处可微分，则，对，因为A、B与、无关，所以令，上式依然成立。既 同理：令，得到：。 【注】（1）、讨论函数在P（x，y）处是否可微的方法：若：=0，则在P（x，y）处可微分。否则不可微分。【例】：讨论，在（0，0）处是否可微分。 解：由前面可知：=0 ，该极限不存在。 在（0，0）处不可微。（2）、证明函数不可微的一些特殊方法：1、 函数不连续一

19、定不可微；2、 如果一个偏导数不存在，则不可微。 上面例题的证明方法2：因为函数在（0，0）点不连续，所以肯定不可微。 定理3：若函数的偏导数连续，则函数可微分。 证明： ，由Lagrange中值定理： = =，其中 偏导数连续 ， 其中，代入：由于： 函数可微。综合：函数在（x，y）点的关系例题：1、，在（0，0）点可微，偏导数存在，但是偏导数不连续；2、在（0，0）点；3、，在（0，0）。【例】设，（1）求； （2）求 解： 【例】求的全微分解：， 显然这三个函数在空间中任意一点（x，y，z）点军连续，在每一点均可微，其全微分：。8.4 多元复合函数的求导法则一、内容要点 1复合函数的中间

20、变量均为一元函数的情形 设，则，且 2复合函数的中间变量均为多元函数的情形 设，则，且 3复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 设，则，且二、教学要求和注意点教学要求：1 会求复合函数的中间变量均为一元函数的情形2 理解并会求复合函数的中间变量均为多元函数的情形3 会求复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形教学注意点：多元复合函数的求导法则实际上是一元复合函数求导法则的推广，都是所谓的链锁法则，要求学生掌握其本质，重点要掌握和理解复合函数的中间变量均为多元函数的情形。在具体求导时，最好能画出变量之间关系的树形图。一、 全导数定理1：设，在点x处可导，在x对应的点（u，

21、v）处有连续的偏导数。则一元函数在点x处可导，称其为全导数。且或者公式（1）。称公式（1）为全导数公式。 证明：由于有连续的偏导数，则可微。 ，又u，v关于x可导。从而，。代入可得：。 【例】：（1）、，求。 解：， 且：， 二、 复合函数微分法定理2：设函数， ，在点（x，y）处有偏导数，函数在其对应的点处有连续的偏导数，则在点（x，y）处有对关于x和y的偏导数，且有下列公式：公式（2）记忆方法：如图注：连线相乘，分线相加。【例】，求解： 【注】在实际解题过程中，我们防止出现不便，所以一般习惯有以下记号：，其中1，2是根据题设中，u和v在函数中排在第个来决定，此点务必记清楚。定理3：设函数，

22、 ，在点（x，y）处有偏导数，函数，则：函数在点（x，y）处也有偏导数。且：其中：，等等。记忆方法：如图法则连线相乘，分线相加。【注】：1、是二元函数关于x的偏导数。而是四元函数关于x的偏导数。【例】：，其中有连续的导数或者偏导数。求 解：令，又因为，又：。注上题中的w函数是一元函数【例】设，求，。 解：同理：。【例】：连续偏导数， 解：令， ， 其中： 【例】：，求 解： = =三、 全微分不变性（形式）设有连续的偏导数，无论u,v是自变量还是中间变量，都有：证明：（1）、当u,v为自变量时：（由定理1显然成立）；（2）当u,v为中间变量时：。 ， 又， 【例89-1】：设函数，其中函数二阶

23、可导，具有二阶偏导数，求。 解：。【作业】：设，其中具有二阶偏导数，求。8.5 隐函数的微分法一、内容要点 1由一个方程确定的隐函数的导数；由一个方程确定的隐函数的偏导数， 2由方程组确定的隐函数的导数二、教学要求和注意点教学要求：1 会求由一个方程确定的隐函数的导数2会求由方程组确定的隐函数的导数教学注意点：在计算由方程组确定的隐函数的导数时，要注意区分哪些是自变量，哪些是因变量，一般来说，有多少个方程就可以确定多少个因变量，剩下的全是自变量。说明：隐函数的求导虽然没有很多难点，但产生错误的几率很大。主要的原因还是运算规则掌握得不好，最好能记住几个求导的公式。一 隐函数为一个方程的形式定理1

24、：设在（x0,y0）的某个邻域U内有连续的偏导数，且，则在U内，方程确定了唯一的具有连续的导数的函数，满足，且。证明：这里仅仅证明。对函数，两边关于x求导数得：。补充：如果的二阶偏导数都连续，则也存在，并且有：，其中，且因为的二阶偏导数都连续， 。代入，整理可得结果。【例】方程，求。 解：显然，且，在平面上任意一点都连续，且，因此依据定理1，确定了一个定义在实数域R上的连续可导函数，且有：。定理2：在U(P0)内有连续的偏导数，且，则由确定唯一的有连续偏导数的函数，并满足。且，。【例】：，求。 解：令 ， ，代入已求量，得。【例02-4】：设具有连续的二阶偏导数，且有方程：所确定。求解：令则则

25、代入：得。一、 两个方程的方程组定理3：设在P0(x0，y0，u0，v0)的某个邻域U内有连续的偏导数，其中，并且F，G的雅可比行列式：，则方程组：确定了两个连续的偏导数：，且，其中，（或者）可由对两边关于x（或y）求偏导数后，建立方程组，得出公式：课本P42。（证明略）。【例】：设，求。 解：由题目要求可知，u、v为x的函数。所以就题设两个方程对x求偏导数得： ，。注：从上面的解题过程我们发现，在学习本节内容时，不要求死记公式，一定要掌握本质内容，这样解题更加得心应手。【例99-1】：设由方程所确定，其中分别具有一阶的连续导数以及一阶连续的偏导数，求。解：两边关于x求导数：对两边关于x求偏导

26、数：对上面两个方程可以解出得：。8.6 偏导数的几何应用一、内容要点1 空间曲线的切线与法平面2 曲面的切平面与法线二、教学要求和注意点教学要求：2 会求空间曲线的切线与法平面2会求曲面的切平面与法线教学注意点：在计算空间曲线的切线与法平面时，关键是要求出其切向量；在计算空间曲面的切平面与法线时，关键是要求出其切平面的法向量。说明1：用位置向量（即向径）表示曲线虽然不属教学大纲的范围，但是运动学中常用的方法，对物理专业的学生特别重要，所以不但要讲而且要讲透。对位置向量的方向和大小要作出物理解释。说明2：在计算曲面法线和切平面的时候，一般都直接用偏导数来计算法向量，自然地认为切平面是存在的。这是

27、因为一般曲面方程都是用初等函数来表示的，而初等函数在它们的定义域内都有连续的偏导数，因此一定可微，既切平面一定存在。一、空间曲线的切线及法平面。1， 参数方程形式：设曲线方程： ,且求在P0x(t0),y(t0),z(t0)的切线及法平面（与切线垂直切过P0的平面称为在P0 点的法平面）解：求割线 P0P的方程。P0(x0,y0,z0),设t对应的增量x,y,z.且P(x0+x,y0+y,z0+z)P0P的方程：=分子分别乘以t，则=令得：= 切线方程称 x(t0),y(t0),z(t0 ) 为在对应点的切向量。注：求出切向量即可由点向式方程求出切线方程，再由为法平面的法向量写出法平面方程（点

28、法式）的法平面：x(t0)(x-x)+y(t0)(y-y)+z(t0 )(z-z)=0【例】：求 在t=处的切线及法平面解：切点：P=(,),切向量=a,0,-c.切线方程：=法平面：a(x-)-c(z-)=0【例】 (92-I),曲线的所有切线中，与平面：x+2y+z=4平行的切线有（ ）（A）不存在 （B）只有一条 (C)只有二条 (D)三条解：切向量，-2t,3 / 1+2(-2t)+3=0 t=1或t=。 满足条件的为二条2、(一般曲线方程)，柱面交线：,求它在x对应点的切线及法平面。解：: 切向量 切线方程：法线方程：（x-x）+(y -y(x0)+ (z-z(x)=03、一般方程：

29、，J=。则：y=y(x), z=z(x)，则切向量：其中 可由方程两边对x求导，解出y（x）,z（x）即可。【例】:求在（1，1，1）处的切线及法平面方程。解：对方程两边求导得：代入：（1，1，1）得到：解之得：且可取切向量为：= 16,9,-1 切线方程： 法平面方程：16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0二、曲面的切平面及法线若曲面上过P点的所有切线都在同一个平面上，则称该平面为曲线在P点的切平面，切平面的法向量称为曲面在P0点的法向量，称垂直于切平面且过P0点线为曲面在P0点法线。1.一般方程：F（x,y,z）=0设F（x，y，z）=0在P0(x0,y0,z0)处有连续导数且，则曲

30、线=F(x，y，z)=0在P0的法向量为：=解：设：为过向量P0点且在上的任意一条曲线，则在P0点的法向量为：=(t0)，(t0)，(t0)。又因为在上。F（x(t)，y(t)，z(t)）=0两边对t求导有：(t)+ (t)+ (t)=0令t=t0得取= 任一曲线的切向量都垂直于固定向量，且在同一平面上。为在P0点法线 切平面方程：法线：=2.显函数的曲面：z=f(x，y)，(，连续且不同时为0)则法向量=-，-，1或，-1注：取=-，-，称为的方向余弦。且的方向向上。即【例】：(94-I)求曲面在点（1，2，0）的切平面方程。（00-I）求曲面x+2y+3z=21在点（1，-2，2）的法线方

31、程.解：令F（x，y，z）=，则=（2y，2x，）代入（1，2，0），=4，2，0切平面：4(x-1)+2(y-2)=0，即2x+y-4=0。令F（x，y，z）=，则=2，-8，12又可取n=1，-4，6得：法线：=【例】：(03-I)求曲面z=x+y与平行于x-y+2z=0的切平面方程解：令F（x，y，z）=，=2x0，2y0，-1=x0 =1，y0=2。 =2,4,-1，z0=5。P0(1，2，5) 切平面方程：2x+2y-z=08.7 多元函数极值一、内容要点1 多元函数的极值及最大值、最小值2 条件极值 乘数法 二、教学要求和注意点教学要求：1 理解多元函数极值和条件极值的概念，2 掌

32、握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。3 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学注意点： 实际问题一般总要受到多个因素的制约，因此有必要研究多元函数的极值与最值问题。最值点可能在区域的内部，也可能在区域的边界上，因此，求函数的最值时，要求出它在区域内部的所有极值以及在边界上的最值，再加以比较，从中找出函数在整个区域上的最值；研究条件极值的基本方法是将条件极值转化为无条件极值，即所谓的乘数法。说明1：多元函数的极值从定义的角度来比较与一元函数的情形没有区别，但在确定极值点的过程中，需要考虑得更

33、多一点，因为在这里自变量变化的范围是多维的。说明2：极值的充分条件可以通过下一节的泰勒公式来说明。说明3：关于条件极值只强调方法和计算过程。一、无条件极值1、在上学期已知：讨论一元函数极值时：极值点驻点极值点可能是导数为0的点或导数不存在的点，极值点驻点，驻点极值点，y=x3在x=0点为驻点但非极值点。2、二元函数极值（推广）：若对PU（Po）。都有f（P）f（Po）则称f（Po）为f的一个极小值。Po为极小值点，极小值和极大值统称为极值点。 定理1：（必要条件）设z=f（x，y）的偏导数存在，（x0，y0）为f（x，y）的极值点，则（x0，y0）=（x0，y0）=的点为f（x0，y0）的驻点

34、。 证明：不妨设（x0，y0）为极大值，即（x，y）U（Po）都有f（x，y）f（x0，y0），对于y=y0，xx0，则f（x，y0）0时（x0，y0）为极值点，且A0时为极小值点，A0时 （x0，y0）不是极值点【例】：，0x，y0，从而（/3，/6）为其极值点，又AO求该平面薄纯的质量M。如果P(x，y)为常数p那么该薄电的均匀薄电，质量为p*S。当p(x，y)不是常数时其求法同（1）相符。首先，把该薄电划分为n小块。当直径很小时，由于p(x，y)在上连续，可视每小块为均匀薄片。在上任意一点（），则每一块的质量近似的。进一步：用代替整个薄电的质量。且当时，有。由（1）、（2）知求由顶柱体的

35、体积，及平面薄片的质量总是通过：1、分割，2、近似求和，3、取极限这三个步骤得到的。这种方式我们在求由边梯形的面积时就遇到过，而现在所不同的是对象为定义在平面区域的二元函数，这就是二重积分的实际背景。定义：设D是：X0y平面上的有界闭区域，其边界由光滑的连续曲线（一般指D的可求面积），f（x，y）为定义在D上的函数，用光滑的曲线网把D分成n个小区域：以表示的面积，这些小区域构成D的一个分割T，以表示的直径，记T的细度为 T=Maxi，在每一个上任取一点（），作和式： 称之为函数f（x，y）在D上属于分割T的一个积分和。如果当T0时，该积分和的极限存在，就称此极限值为f（x，y）在区域D上的二重

36、积分，记作：即：其中f（x，y）称为被积函数，称为积分表达式，称为面积元素，x，y称为积分变量，D称为积分区域。【注】：1由定义知，若f（x，y）在D上可积，应对于任何分割T，及任意的点（）上面的极限都存在，为此，我们特别地选用平行于坐标轴的直线网来分割D，则每一个小区域的面积为，进而有，故：以后在讲重积分计算基本上都采用后一种形式。2、并非任一函数f（x，y）在区域D上的积分都存在，如，在0，1；0，1上的重积分不存在，但当f（x，y）连续时，其二重积分存在，故以面在不加说明的情况下，总认为f（x，y）在D上的重积分是存在的。3、如果f（x，y）0，在几何上就表示曲顶柱体的体积，当f（x，y

37、）=1，的值就等于积分区域D的面积。如果f（x，y）0，柱体就在X0y平面的下方，这时，二重积分的绝对值仍为柱体的体积但值为负的。如果f（x，y）在D上的某n个子区域上是正的，而在其它地方是负的，这时的二重积分的值是下面的性质3。二、二重积分的性质性质1、被积函数的常数因子可提到二重积分号的外面： （K为常数）性质2、函数的和（差）的二重积分等于各函数的二重积分的和（差）。性质3、若，那么性质4、当f（x，y）=1时，性质5、如果在D上，有f（x，y）g（x，y）则有性质6、性质7、若在D上有：mf（x，y）M，则有（为D的面积）特别地，当M，m分别为f（x，y）在D上的最大，小值时，上式亦成

38、立。性质8、（二重积分的中值定理）若f（x，y）在不可少闭区域D上连续，则存在D，使得：，（的D的面积）8.9 二重积分的计算法一、内容要点利用直角坐标计算二重积分1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分：若D为X型区域： 则若D为Y型区域： 则若D既非X型，又非Y型区域，则将D划分为若干子区域，使每一个子区域为X型或Y型。2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。例3关于利用对称性计算二重积分的例子。例4被积函数为绝对值函数、符号

39、函数，取最大值或最小值等函数的例子。利用极坐标计算二重积分1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。3、确定积分上下限的办法。例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分例2利用二重积分计算概率积分 例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分例4利用极坐标计算二重积分二、教学要求和注意点1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。3、

40、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。一、二重积分的计算（X型区域，Y型区域）定理1：设f（x，y）在矩形区域a，b；c，d上可积，且对xa，b，积分：存在，且累次积分：也存在，且有： 本定理1这里就不证了，可从几何意义来说明：（1）体积、（2）质量。定理2：设f（x，y）在矩形区域a，b；c，d上可积，且对gc，d，积分都存在，也存在。且有：特别地，当f（x，y）在a，b；c，d上连续，则有这时，也记为。例1：计算，其中D=0，1；0，1。解：同理也可用来计算。然而，中的区域D一般来讲不是矩形区域，但是，对于一般的区域，通常可分解为下两类区域来计算：若D可表示为D=（

41、x，y）；y，axb则称之为X一型区域。若D可表示为D=（x，y），（y）x（y），cyd则称之为Y一型区域。X一型区域的特点是：垂直于X轴的直线X=X0（axb与D的边界至多只有两个交点，Y一型区域也有类似的特点。许多常见的区域都可分解为有限个除边界外无公共内点的X一型区域可y型区域，如果解决了X一型区域与Y一型区域上的二重积分的计算法，那么一般区域上的二重积分也就可以计算了。定理3：若在X一型区域D=（x，y）y，axb上连续，其中,在a，b上连续则：定理4：若在Y型区域连续其中，在c，d上连续，则：【注】：定理3-4可从定理1，2，也可从几何意义来说明。2例计算其中D为y=x与y=x2所

42、围区域解：D可表示为X一型区域：D=（x，y），0x1，x2yx解法2，D可表示为Y一型区域：例3求曲线y=x，y=x2与x2+y2=1在第一象限所围区域的面积。解：y=x与x2+y2=1在第一象限里的交点为y=x2与x2+y2=1在第一象限里的交点为二、如何选取积分公式（1）、当先对x或y积分难易程度相当时，原则：根据积分区域D图形来选择。【例】： D： 1、2、 解：1、；2、=。（2）、当先x积分与先对y积分难易差别较大，尤其是对某个变量积分无法积分时，选择先积分简单的公式。【例】： D：x=0,y=1以及y=1围成。解：本题显然先y后x积分无法得出结果。所以先对x后对y积分。最后一步采

43、用分部积分，将一个y提到d后面。令（3）、交换积分次序【例】：交换积分次序。解：其实在本题中原题给出的积分是无法求得的。 所以要交换积分次序，这在以后的习题和应用中也同样会有这样的问题。画图可知区域可由积分上下限决定：，所以= 利用极坐标计算二重积分当积分区域是园域或为园域的总部分，或者被积函数的形式为在区域D上连续，现在以原点O为极点，X轴正向为极轴正向构成极坐标系，这样，在极坐标系中为，其r为极半径，为极角，现在我们用r=常数的一族同心园，和=常数的一族过极点的射线来分割区域D（如图）将D分为n小块（）且的面积为n小块：（）,且的面积为：除去一个更高级的无量小量不计，有由此，我们长话短说，面积元素，（其详细证明可参见课要P99或其它参考书，当然证明的方法是多种多样的）称为极坐标系中的面积元素，从而：其中，为xoy平面上的区域D在极坐标变换下的平面上的区域，有时也写成若不考虑的实际意义，右端的积分也可视为横轴为r轴，纵横为=轴，眼下的问题是，如何用来表达，如果可表示为：一型区域则有：若可表示为： r一型区域则有注：对于一型区域，致虑两种特殊情况：（1）如果D是曲边扇形，则有（2）如果包含了极点，且边界方程为 同前面的一样，一般的区域都可分解为若干个一型及r一型区域，这些我们从例题中反映出来。例1求积分 ，其中D为园域x2+y2=a2解：D经过极坐标变