考研数学基础讲义之

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1、第一章 函数 极限 连续一.理解函数的概念,掌握函数的表示方法,会进行函数记号的运算.1.函数的定义: 设和是两个变量,D是一个给定的数集.如果对于每个数,变量按照一定法则,总有唯一确定的数值和它对应,则称是的函数,记为.注:1) 定义域D是给定的，对任一个值, 给定一个值,只有惟一的的值与之对应; 2）函数的两个要素：定义域和对应关系(预先给定的)3) 函数的表示方法（解析法）：显函数；隐函数；反函数；参数方程确定的函数；由变限积分确定的函数. 4）分段函数: 在定义域内不能用同一个式子表示的函数.2函数的几种特性：（1）有界性：设函数在数集X上有定义，若存在正数，使得对于每一个，都有成立，

2、称在上有界，否则，即这样的不存在，称在上无界。即对任何，总存在，使.（2）单调性：设函数在区间上有定义，若对于上任意两点与，且时，均有或，称函数在区间上单调增加（或单调减少）。如果其中的“”（或“”）改为“”（或“”），称函数在上单调不减（或单调不增）.（3）奇偶性：设函数的定义域为，其中，若对于任一都有，称为偶函数（其图像关于轴对称）；若对于任一都有，称为奇函数（其图像关于坐标原点对称）.（4）周期性：对函数，若存在常数，有，称函数为周期函数，称为的周期.3复合函数：4反函数：设函数的值域为，如果对于中任意一值，从关系式中可确定唯一的值，则此时按照函数的定义，也确定了是的函数，称此函数为的反

3、函数，记为。习惯上也称是的反函数.二.掌握基本初等函数的性质及其图形；了解初等函数的概念.1.基本初等函数，.2.初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合,并且在定义域内具有统一的解析表达式的函数称为初等函数.例1.设，求的表达式及其定义域.解：， 定义域.例2.设，求.解：.例3.设函数在上有定义,在区间上,若对任意的都满足，求在上的表达式.解：当时， 当时，所以 有.三.理解函数极限的概念和性质,理解函数左、右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系；1.函数极限的定义:定义1：设函数在的某个去心邻域内有定义,若对,当 时,恒有，则称在的极限为 ，记为.(直观地说：

4、当无限趋近时,函数无限趋近常数.)定义2：设函数在内有定义,若对,，使得当时,恒有，则称在的极限为 ，记为.（直观地说：当无限增大时,函数无限趋近常数a.）2左、右极限的定义：右极限,当时,恒有.左极限,当时,恒有.,当时,恒有.,当时,恒有.3极限存在的充要条件: .4.函数极限的性质:（1）有界性:若,则存在的去心邻域,使在此邻域内有界.（2）保号性:设,(a)若,则存在,当时,；(b)若,则存在,当时,.例4.四.掌握极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法.1极限四则运算法则:设，则 (1) (2) (3)（）注(1)（）(2)+.2复合函数的极限运

5、算法则:设,则.3.两个重要极限（1）; (2)或.例5 (1)= =. (2)=.（3） =. (4) =. (5) =.例6.(1) (2).解：=所以：.五.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.1.无穷小的定义:若，则称为时的无穷小. (,，当时,恒有).2.无穷小与极限存在之间的关系:其中.例7. 若，求.解法1.，.解法2. .练习：已知，求.解： ，.3.4.无穷小的比较:若, 且若，则称与是同阶无穷小；若，则称与是等价无穷小，记为；若，则称是的高阶无穷小，记为；若，则称是的低阶无穷小.常用等价无穷小：(a)当时，；;；;； （）（b）.(c),.

6、5. 利用等价无穷小求极限:等价无穷小因子可用等价无穷小代，但代数和不能用.设，则.例8.(1) . (2). (3). 方法1.原式 方法2.原式.例9.设，则当时,是的（ ）(A)低阶无穷小; (B)高阶无穷小; (C)等价无穷小; (D)同阶但不等价.解：根据的值进行判断. 答案.例10.设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，求正整数.解：.，.6无穷大的定义：当（或）时，无限增大，则称在（或）为无穷大，记为. 对任意，存在，当时，.注(1)无穷大是极限不存在的一种形式； (2)无穷大与无穷小之间的关系：在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则 必为无穷小；反之，若为无穷小，且，

7、则必为无穷大.(3)练习当时，是（ ）（A）无穷小；（B）无穷大量；（C）有界但不是无穷小；（D）无界但不是无穷大。答案（D）.注：当时，如何？六.利用洛必达法则求未定式极限的方法法则I():设函数满足条件:在的去心邻域内可导,且;存在(或), 则. 法则：设函数满足条件; 在的去心邻域内可导，且; 存在（或）， 则.例11.(1) （2）=.（3) =.其它未定式：，例12.(1) .（2）.（3）=. （4）.（5） .练习1.练习2.例13(1) . (2)设,求.解1先求出,可得不存在.解2不必先求出, 因此不存在.综述:求极限的问题,主要是求未定型的极限,而它们都可以化为型或型:用分

8、子(或分母)同除无穷小或无穷大使分母极限存在且非零,再用四则运算;用洛必达法则(没有办法),在用之前一定要先化简(代数变形、等价无穷小、代换)使得分子分母求导容易.例14.(1),求的值. 解： 或 验证这二组数据都符合条件.(2)，求的值. 解 , .(3)设当时,是比高阶的无穷小,求的值; 解 . （4）当时，与是等价无穷小，则（A） （B）（C） （D） 解：由于与为等价无穷小，则有故有, 所以。 得.七理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质；数列极限的定义:一个正整数N,当时,恒有.(直观地说,即当n无限增大时,对应的无限接近于某个确定的常数a).性质:数列极限的唯一性; 收敛数列的有

9、界性; 收敛数列与其子列间的关系.八. 掌握极限存在的两个准则，会利用极限存在的两个准则求极限：1.夹逼定理（数列）若存在N，当时，且,则2.夹逼定理（函数）当有成立，且,，则.3.单调有界数列必有极限.练习1.（其中） 解：, .2. 解： .例15（1）设, ,证明数列的极限存在,并求此极限. 证（a）由题设知，均为正数，故. 设当时，则，由数学归纳法知，对任意正整数，均有即有界. （b） 单调，根据单调有界数列必有极限，存在记为. ， .（2）设，求.解(a)先要用数学归纳法证明:. (b),单调减少. 所以即有界. 根据单调有界数列必有极限存在记为. .4.利用求函数极限的方法来求数列

10、极限例16. 求（为自然数） 解: =.练习：设数列满足， （1）证明：存在，并求极限;（2）计算.5.用定积分定义求极限：设在0，1上连续，将0，1等分，分点记作,则.例17(1) (2).九理解函数连续性的概念（含左右连续），会判断函数间断点的类型.1函数连续性的定义:设函数在的某邻域内有定义,若，则称在点连续.左连续：; 右连续：;在点连续在既左连续又右连续.2.在上连续:在内每一点都连续且在处右连续在处左连续.3连续函数保持运算不变即和差积商（分母不为零）;复合仍是连续函数; 一切初等函数在其定义的区间内是连续.4间断点的定义:设函数在的某去心邻域内有定义,在此前提下如果函数有下列三种

11、情形之一(1)在点没有定义;(2)虽在点有定义但不存在;(3)虽在点有定义且存在但,则称为函数的间断点.5间断点的类型:(1)若存在且是间断点，则称是的可去间断点.(2)若,都存在,但不相等,则称是的跳跃间断点.(3)若或,则称是的无穷间断点.(4) 若不存在,且当时函数值在摆动, 则称是的振荡间断点.上述间断点中,(1)(2)两类称为第一类间断点,(3)(4)两类称为第二类间断点.例18.求下列函数的不连续点且判断类型：(1);解：的间断点为 , ，为第二类间断点 ，为第一类间断点. (2)； 解： 在为初等函数，是可能的间断点.当 , . 是跳跃间断点（第一类） 当时 ,， 所以是连续点.

12、练习1:设函数，问函数在点是否连续？若不连续，修改函数在处的定义，使之连续. 解：所以是的不连续点. 修改定义就可以使处连续.练习2:设 ,试补充定义使在上连续. 解：在上是初等函数它是连续， 要使在上连续. 只要.例19(1)问是函数的（ ） （A）无穷间断点；（B）跳跃间断点；（C）可去间断点；（D）连续点解：当时，故，有； 当时，故，有.所以是函数的跳跃间断点. 选（B）（2）函数的可去间断点的个数为 （A） 1 （B）2 （C）3 （D）无穷多 . 解：要求可去间断点必须使分子为零，有， ， 所以只有三个可去间断点.例20.(1)讨论函数的间断点.解.可以求得,此函数在处是连续的，处为

13、第一类间断点.(2)求函数的间断点并指出其类型.解间断点为. 当,第二类间断点 当时 第一类间断点.练习: 设，求（a）;（b）。解（a） .(b) .十理解闭区间上连续函数的性质（有界性,最值,介值定理,零点定理,）会应用这些性质.性质1.设函数在上连续，则在上有界.性质2. 设函数在上连续，则在上取得最大值与最小值，即使得，.性质3. 设函数在上连续，是介于最大值与最小值之间的任一实数，则 使得.性质4.（零点定理）设函数在上连续，且与异号（即）,那么至少存在一点，使得. (若在上是单调只有一个根)例21若在上连续，则存在，使.例22.(1)证明方程在内至少有一个根.证：令 在0，1上连续。又. 使 .(2)已知函数在上连续，且，证明：存在，使得.证：令，所以在上连续. 又, .(3)设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一正实根.证：令, 在内单调， 在内最多只有一个零点. 又， 所以使. 即存在唯一正实根.例23函数在下列哪个区间内是有界（ ）（A）；（B）；（C）；（D）；解 在内连续，若和都存在，则在内有界； 若和至少有一个是无穷大，则在内无界.本题应选（A）.