《高中数列专题》word版

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1、江苏省海安高级中学高考数学二轮复习专题四数 列方法技巧1判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：若 =+（n-1）d=+（n-k）d ，则为等差数列；若 ，则为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列中,有关的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。注意事项1证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或

2、而得。2在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意与之间关系的转化。如：= ， =4解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题例1.数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。解：（）由可得，两式相减得又 故是首项为，公比为得等比数列 （）设的公

3、比为 由得，可得，可得故可设 又由题意可得 解得等差数列的各项为正， 例2.设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式？（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 当n2时, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn,而n是正整数,于是,n46. 从第46项起Tn509.【问题2】等差、等比数列的判定问题例3.已知有穷数列共有2项（整数2），首项2

4、设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k).（3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+

5、1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立. 例 4。已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1

6、，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用【问题3】函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分

7、析题目特征，探寻解题切入点. 例5已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5

8、 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）0 , anan1=5 (n2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3例13.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数（1）证明：是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得（III）证明：，得 即，得 即 是等差数列。例14.已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3.()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为

9、等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。解：（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知，将以上各式相加得： （III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，又当且仅当时，数列是等差数列.例15 （1）在0，3上作函数y=f(x)的图象 （2）求证： （3）设S(a) (a0)是由x轴、y=f(x)的图象以及直线x=a所围成的图形面积，当nN*时，试寻求与的关系解：（1）当n=1即0x1时，f(x)=x+f(0)=x 当n=2即1x2时，f(x)

10、=2(x1)+f(1)=2x2+1=2x1当n=3即20又 （3）由（1）图象中可知：S(n)S(n1)表示一个以f(n1)、f(n)为底，n(n1)=1为高的梯形面积（当n=1时表示三角形面积），根据（*）可得 S(n)S(n1)=又可得 S(n)S(n1)= 数列专题作业1已知数列满足：. （1）求数列的通项公式； （2）设，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切都有成立？说明你的理由； （3）求证：解：（1）由已知是公比为2的等比数列，又（2）若恒成立.，故存在常数A、B、C满足条件（3） 2已知函数对于任意（），都有式子成立（其中为常数）（）求函数的解析式； （）利用函数构造一个数列，

11、方法如下：对于给定的定义域中的，令， 在上述构造过程中，如果（=1，2，3，）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.（）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求的取值范围；（）是否存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为，都可用上述方法构造出一个无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（）当时，若，求数列的通项公式解：（）令（），则，而，故=， =（） （）（）根据题意，只需当时，方程有解， 亦即方程 有不等于的解 将代入方程左边，左边为1，与右边不相等故方程不可能有解由 =，得 或，即实数a的取值范围是 （）假设存在一个实数，使得取定义域

12、中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，那么根据题意可知，=在R中无解，亦即当时，方程无实数解由于不是方程的解，所以对于任意xR，方程无实数解，因此解得 即为所求的值 （）当时，所以，两边取倒数，得，即所以数列是首项为，公差的等差数列故，所以，即数列的通项公式为 3在各项均为正数的数列中，前n项和Sn满足。（I）证明是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；（II）在XOY平面上，设点列Mn（xn，yn）满足，且点列Mn在直线C上，Mn中最高点为Mk，若称直线C与x轴、直线所围成的图形的面积为直线C在区间a，b上的面积，试求直线C在区间x3，xk上的面积；（III）是

13、否存在圆心在直线C上的圆，使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由。解：（1）由已知得故 得结合，得 是等差数列 又时，解得或又，故（II）即得点设，消去n，得即直线C的方程为又是n的减函数M1为Mn中的最高点，且M1（1，1）又M3的坐标为（，）C与x轴、直线围成的图形为直角梯形从而直线C在，1上的面积为（III）由于直线C：上的点列Mn依次为M1（1，1），M2（，），M3（，），Mn（），而因此，点列Mn沿直线C无限接近于极限点M（，）又M1M的中点为（，）满足条件的圆存在事实上，圆心为（，），半径的圆，就能使得Mn中任何一个点都

14、在该圆的内部，其中半径最小的圆为4已知定义在R上的单调函数，存在实数，使得对于任意实数总有恒成立.（1）求x0的值.（2）若，且对任意正整数n，有，记，比较与Tn的大小关系，并给出证明；（3）若不等式对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围.解：（1）令，得 令，得 由，得 为单调函数，（2）由（1）得， 又又， ，（3）令，则当时， 即 解得或5在等差数列中，其中是数列的前项之和，曲线的方程是，直线的方程是。（1）求数列的通项公式；（2）当直线与曲线相交于不同的两点，时，令，求的最小值；（3）对于直线和直线外的一点P，用“上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线的距离与原有的点到直线距

15、离的概念是等价的，若曲线与直线不相交，试以类似的方式给出一条曲线与直线间“距离”的定义，并依照给出的定义，在中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线的“距离”。解：（1），又， ，。 （2），由题意，知，即，或，即或，即或时，直线与曲线相交于不同的两点。，时，的最小值为。 （3）若曲线与直线不相交，曲线与直线间“距离”是：曲线上的点到直线距离的最小值。 曲线与直线不相交时，即，即， 时，曲线为圆，时，曲线为椭圆。 选，椭圆方程为，设椭圆上任一点，它到直线的距离，椭圆到直线的距离为。 （椭圆到直线的距离为）6直线与x轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所围成区域内部（包括边界）的整点

16、个数为（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）（1）求和的值； （2）求及的表达式； （3）对个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为An，对个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小解：（1）时，直线上有个点，直线上有 ，直线上有，直线上有 （2）时， 时，当时， 当 时也满足， （3）； 当时， 当且时， 7我们把数列叫做数列的k方数列（其中an0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和。 （1）比较S（1，2）S（3，2）与S（2，2）2的大小； （2）若的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求的k方数列通项

17、公式。 （3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。解：（1）S（1，2）= S（1，2）S（3，2）S（2，2）2= = （2）设 则 得 2d2=0，d=p=0 （3）当an=n时，恒等式为S（1，n）2=S（3，n）证明：相减得： 相减得： 8设向量， (n为正整数)，函数在0，1上的最小值与最大值的和为，又数列满足： (1) 求证：(2) (2)求的表达式(3) 若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正

18、整数，都有成立？证明你的结论（注：与表示意义相同）解 (1)证：对称轴， 所以在0，1上为增函数 ， (2)由得 = 两式相减得(3)由(1)与（2）得设存在自然数，使对，恒成立当时，当时，当时，当时，当时， 所以存在正整数，使对任意正整数，均有 9已知函数.(1)数列满足: ,若对任意的恒成立,试求的取值范围;(2)数列满足: ,记,为数列的前项和, 为数列的前项积,求证.解:(1)因为,所以.于是, 为等比数列,所以,从而,有.故.(2)因为 ,所以, ,.即有.由,显然,知,即.因为,所以 .10设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为

19、f(n)(nN*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式； （2）设bn=2nf(n)，Sn为bn的前n项和，求Sn； （3）记，若对于一切正整数n，总有Tnm成立，求实数m的取值范围.解（1） f(1)=3 f(2)=6 当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个 f(n)=3n （2）由题意知:bn=3n2n Sn=321+622+923+3(n1)2n1+3n2n 2Sn=322+623+3(n1)2n+3n2n+1Sn=321+322+323+32n3n2n+1 =3（2+22+2n）3n2n+1 =3 =3(2n+12)3nn+1Sn=(33

20、n)2n+16Sn=6+(3n3)2n+1 （3） 11已知数列中，且点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）若函数求函数的最小值； （3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由解：（1）由点P在直线上，即，且，数列是以1为首项，1为公差的等差数列 ，同样满足，所以 （2） 所以是单调递增，故的最小值是 （3），可得， ，n2 故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立12.一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下

21、方写上这两数之和，得到下一行，依此类推记数表中第i行的第j个数为f(i,j)(1)若数表中第i (1in3)行的数依次成等差数列，求证： 第i+1行的数也依次成等差数列；(2)已知f(1,j)=4j，求f(i,1)关于i的表达式；(3)在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(ai1)，bi= ，试求一个函数g(x)，使得Sn=，m(,)，均存在实数，使得当n时，都有解：(1)数表中第行的数依次所组成数列的通项为，则由题意可得 (其中为第行数所组成的数列的公差) (2)第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差

22、数列. 设第行的数公差为,则，则 ，所以 (3)由，可得所以=令,则,所以 要使得，即，只要=，所以只要,即只要,所以可以令则当时，都有.所以适合题设的一个函数为 13已知函数，数列满足对于一切有，且数列满足，设（）求证：数列为等比数列，并指出公比；（）若，求数列的通项公式；（）若（为常数），求数列从第几项起，后面的项都满足解：（） 故数列为等比数列，公比为. （） 所以数列是以为首项,公差为 loga3的等差数列. 又 又=1+3,且 （） 假设第项后有 即第项后，于是原命题等价于 故数列从项起满足 14已知为实数，数列满足，当时， （）；（）证明：对于数列，一定存在，使； （）令，当时，求

23、证：20解:解：（）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而= =. （）证明：若,则题意成立若,此时数列的前若干项满足,即.设,则当时,.从而此时命题成立若,由题意得,则由的结论知此时命题也成立.综上所述,原命题成立（）当时，因为, 所以=因为0,所以只要证明当时不等式成立即可.而当时,当时,由于0,所以综上所述,原不等式成立15已知数列，中，且是函数的一个极值点.（1）求数列的通项公式；（2）若点的坐标为（1，）（，过函数图像上的点 的切线始终与平行（O 为原点），求证：当 时，不等式对任意都成立.解：（1）由是首项为，公比

24、为的等比数列当时， 所以 （2）由得： (作差证明) 综上所述当 时，不等式对任意都成立.16已知数列中，.（I）求证数列是等差数列;（II）试比较与的大小;（III）求正整数，使得对于任意的正整数，恒成立.解：（I），又，即数列是以0为首项，1为公差的等差数列且，（）（II） ， 17如果正数数列满足：对任意的正数M，都存在正整数，使得，则称数列是一个无界正数列（）若， 分别判断数列、是否为无界正数列，并说明理由； （）若，是否存在正整数，使得对于一切，有成立；（）若数列是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数，使得解：（）不是无界正数列理由如下：取M = 5，显然，不存在正整数满足；是无界

25、正数列理由如下：对任意的正数M，取为大于2M的一个偶数，有，所以是无界正数列 （）存在满足题意的正整数.理由如下：当时，因为，即取，对于一切，有成立.注：k为大于或等于3的整数即可.（）证明：因为数列是单调递增的正数列，所以.即.因为是无界正数列，取，由定义知存在正整数，使.所以.由定义可知是无穷数列，考察数列，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数，使得.重复上述操作，直到确定相应的正整数.则 . 即存在正整数，使得成立. 18已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、构成以为顶点的等腰三角形。（1）证明:数列是等差数列；（2）求证:对任意的，是常

26、数，并求数列的通项公式；（3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。解: (1)依题意有,于是.所以数列是等差数列. (2)由题意得,即 , () 所以又有. 由得：,由都是等差数列. ，那么得 ,. ( 故 (3) 提出问题：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数 提出问题：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数解：问题 当为奇数时,所以当为偶数时,所以 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：. 当为奇数时,有,即 ， 当, 不合题意. 当为偶数时,有 ，,同理可求得 当时,不合题意.综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或解：

27、问题 当为奇数时,所以当为偶数时,所以 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：. 当为奇数时,有,即 ， 当时，. 不合题意当为偶数时,有 ，,同理可求得 .；当时，不合题意 综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为；19已知数列与数列（,1)满足：0;当2时，与满足如下条件：当0时，； 当0时，。求：（1）用表示； （2）当时，用表示 （3）当是满足的最大整数时，用表示满足的条件。 解：（1） 所以无论哪种情况，都有 因此，数列 （2）由 由可知，不成立， 所以 于是 由（1）可得，(3)由 20已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足：， （）求数列的通项公式； （）通

28、过公式构造一个新的数列若也是等差数列，求非零常数；（）求（）的最大值解：（）数列是等差数列， 又， ，或 公差， ， （）， 数列是等差数列， 去分母，比较系数，得 （） 当且仅当，即时，取得最大值 21已知二次函数f (x)=x2+ax（）（1）若函数y = f (sinx +cosx) (）的最大值为，求的最小值；（2）当a = 2时,设nN*, S= , 求证: S 2时, 求证：f (sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x) 1 a , 其中xR, x kp且x kp(kZ)解：令t = sinx +cosx=2sin(x + ),2t2,y = t2 + at =

29、 (t + )2 ,当a =0 ;S(n )在时单调递增，S = S(n )S(1) = 又，S .综上有: S 2成立. (3) ）xR, x kp且x kp(kZ), sin2x, cos2x (0,1),又sin2x+cos2x =1, 故设t = sin2x, 则有cos2x= 1 t ,设f (t) = t log2t + (1 t ) log2 (1 t ) (其中t(0,1)f(t ) = log2t + log2e log2 (1 t ) log2e = .令f(t ) = 0, 得t =,当0 t 时, f(t ) 0, 所以f (t )在(0, )单调递减,当 t 0, 所

30、以f (t )在(,1)单调递增,t = 时f (t)取最小值等于f() = log2+log2= log2= 1.即有sin2x log2sin2x+cos2x log2cos2x 1 .当a 2时, f(x) = x2+ax的对称轴x= 1,f (x)在( 1,+)上单调递增,f(sin2x log2sin2x+cos2x log2cos2x) f (1 ) = 1 a . 22（）已知函数：求函数的最小值;（）证明:；（）定理:若 均为正数,则有 成立(其中请你构造一个函数，证明：当均为正数时，解：（）令得 当时， 故在上递减当 故在上递增所以，当时，的最小值为 （）由，有即故（）证明:

31、要证： 只要证： 设则令得当时，故上递减，类似地可证递增所以的最小值为而=由定理知: 故故 即: .23在直角坐标平面上有一点列 对一切正整数n，点Pn在函数的图象上，且Pn的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数列xn. （1）求点Pn的坐标； （2）设抛物线列C1，C2，C3，Cn，中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线Cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，）.记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn，求 （3）设等差数列的任一项，其中是中的最大数，求数列的通项公式.解：（1）（2）的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，设的方程为把，的方程为=（3）S中最大数a1=17.设公差为d，则a10=由

32、此得又 24已知二次函数同时满足：不等式0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立,设数列的前项和.（1）求函数的表达式；(2) 求数列的通项公式；（3）设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的变号数，令（）,求数列的变号数.解（）不等式0的解集有且只有一个元素解得或当时函数在递增，不满足条件当时函数在（，）上递减，满足条件综上得，即 （）由（）知, 当时，当时 （）由题设可得 ，都满足 当时，即当时，数列递增，由，可知满足 数列的变号数为. 25在平面上有一系列点对每个自然数,点位于函数的图象上以点为圆心的与轴都相切，且与又彼此外切若,且 （1）求证：数列是等

33、差数列；（2）设的面积为，, 求证： PnPn+1解：（1）依题意，的半径，与彼此外切， 两边平方，化简得 , 即 , ， ， 数列是等差数列 (2) 由题设，即， ， 26已知向量，其中，把其中x，y所满足的关系式记为y=f(x)，若f(x)为奇函数。（1）求函数f(x)的表达式；（2）已知数列an的各项都是正数，Sn为数列an的前n项和，且对于任意nN*，都有f(an)的前n项和等于Sn2，求数列an的通项公式。（3）若数列bn满足bn=4n-a2 an+1（aR），求数列bn的最小值解：（1），因为函数f(x)为奇函数。所以c=1，（2）由题意可知，f(a1)+ f(a2)+ f(an)

34、=时 由可得：an为正数数列由可得：且由可得a1-a2=1an为公差为1的等差数列，an=n(nN*) （3）an=n(nN*)，bn=4n-a2 n+1=(2 n-a) 2-a2(nN*)令2 n=t（t2），bn= （1）当时，数列bn的最小值为：当n=1时，b1=4-4a （2）当a2时若N*）时，数列bn的最小值为当n=k+1时，bk+1=-a2。若（kN*），数列bn的最小值为当n=k或n=k+1时，若（kN*），数列bn的最小值为当n=k时，bk=(2k-a)2-a2若（kN*），数列bn的最小值为当n=k+1时，27已知函数且任意的、都有 （1）若数列 （2）求的值.解：（1）

35、而 （2）由题设，有又得上为奇函数. 由得 于是故28已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为 （1）求数列的通项公式 （2）若，求数列的前项和 （3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式.解：（1）点都在函数的图像上，,当时，当1时，满足上式，所以数列的通项公式为 （2）由求导可得过点的切线的斜率为，.由4，得-得： （3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为 29已知公差大于零的等差数列的前n项和为Sn，且满足：，（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求

36、非零常数c；（3）若(2)中的的前n项和为，求证：解：（1）为等差数列，又， ，是方程的两个根又公差， （2）由(1)知，是等差数列，（舍去） （3）由(2)得： ，时取等号，时取等号，(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以30已知函数是定义在R上的不恒为零的函数, 且对于任意的, 都满足.若，（），求.数列的通项公式；.数列的前项和为，问是否存在正整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，则说明理由.（1）解法一：“归纳猜想证明”法对于任意的, 都满足猜想 （）现在用数学归纳法证明：.显然时，左边，右边时，命题显然成立.设（）时有当时时，命题成立.由可知，对任意都有（）成立.又故数列的通项公式解法二：构造函数法 当时，有令，则即为: 即，即余下的过程同解法一.证法三: 转化为特殊数列求解对于任意的, 都满足，即新数列是公差为2，首项为的等差数列，即故数列的通项公式.（2）假设存在正整数，使得对任意的都有成立，则由（1）问可知，所以恒成立，即故存在正整数，使得对任意的都有成立，此时的最小值为7.