全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛静力学专题学习教案

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1、会计学1全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛静全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛静力学专题力学专题第一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。材料力学基本部分专题部分理论力学基本部分专题部分第1页/共150页第二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第2页/共150页第三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第3页/共150页第四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第4页/共150页第五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第5页/共150页第六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。 公理公理1 力的平行四边形规则力的平行四边形规则 F1F2FRFROF1F2FR=F1+ F2 作用在物体上同一点的两个

2、力，可以合成为一个合力。合力的作用点作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。线确定。A第6页/共150页第七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是： 这这两个力的两个力的大小相等大小相等，方向相反方向相反，且在同一直线上且在同一直线上。F1F2 公理公理2 二力平衡条件二力平衡条件 AB注意：注意： 公理对于刚体的平衡是公理对于刚体的平衡是充要

3、充要条件，而对变形体仅为条件，而对变形体仅为 平衡的平衡的必要必要条件；条件；F1= F2第7页/共150页第八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。 公理公理3 加减平衡力系原理加减平衡力系原理 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用的作用 。 推理推理1 力的可传性力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。任意一点，并不改变该力对刚体的作用。AFABFF1 F2BAF2 作用于刚体上的力作用于刚体上的力

4、滑动矢量滑动矢量作用线取代作用点作用线取代作用点第8页/共150页第九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且一点，则此三力必在同一平面内，且 第三个力的作用线通过汇交点第三个力的作用线通过汇交点。CBOAF3F1F2F1F2F12第9页/共150页第十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。其平衡状态保持不变。第10页/共1

5、50页第十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程0)(00111niiOniyinixiMFFF平面任意力系平衡的解析条件：平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。零。 几点说明：几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）

6、投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程平衡方程第11页/共150页第十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。0)(, 0)(, 0)(FFFCBAMMM（A、B、C 三点不得共线）三点不得共线）（x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B 两点的连线）两点的连线）0)(, 0, 0F FAyxMFF0)(, 0)(, 0F FF FBAxMMF 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式FRBAx是否存在三投影式？是否存在三投影式？000321xxx

7、FFF第12页/共150页第十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。0223, 0)(0223, 0)(023, 0)(aPMFaMaPMFaMMFaMBCABCAF FF FF FaMFPaMFPaMFCBA33233323332解上述方程，得解上述方程，得解：解：取三角形板取三角形板ABC为研究对象为研究对象FDECBAaaaP求：求：三杆对三角三杆对三角平板平板ABC的约束反力。的约束反力。PACaaaB第13页/共150页第十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：求：D、E的

8、约束反力。的约束反力。解：解：(1)取取CDE为研究对象为研究对象) 3(0, 0)2(0500, 0) 1 (045002, 0)(ExDxxEyDyyDyEFFFFFFFMF F解上述方程，得解上述方程，得N500,N1000EyDyFF(2)取整体为研究对象取整体为研究对象0650025004, 0)(BAFMFN1000BF解得解得:第14页/共150页第十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。GEBExF EyF FGxFGyFB(3) 取取BEG为研究对象为研究对象0224, 0)(EyExBGFFFMF FN1500ExF解得解得:N1500DxF500N500NDCEFExFE

9、yFDxFDy500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB1000NN,500,N1000BEyDyFFF代入（代入（3）式得）式得:N1000N1500DyDxFFN500N1500EyExFF第15页/共150页第十六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象002, 0)(ByByCFaFM得F F(2) 取取DEF杆为研究对象杆为研究对象02, 0)(0, 0)( aPaFMaPaFMDxBDyEF FF F解得：解得：PFPFDxDy2,(3) 取取ADB杆为研究对象杆为研究对象0,

10、 00, 002, 0)(ByDyAyyBxDxAxxDxBxAFFFFFFFFaFaFMF F解得：解得：PFPFPFAyAxBx,aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEDxF DyF B求：求：A、D、B的约束反力的约束反力。第16页/共150页第十七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)第17页/共150页第十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCByF FAyPBxF FAxAB求：求：A、D的约束反力。

11、的约束反力。解：解：(1)取取BC杆为研究对象杆为研究对象) 3(0, 0)2(0, 0) 1 (02, 0)(CxBxxCyByyByCFFFPFFFaFPaMF F解得：解得：PFFCyBy5 . 0(2)取取AB杆为研究对象杆为研究对象0, 0022, 0)(0, 0BxAxxAyAxBByAyyFFFPaaFaFFMPFFF解得：解得：PFPFPFBxAyAx,5 . 1,代入（代入（3）式解得：）式解得：PFCx第18页/共150页第十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。CDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCPFPFFCxCyBy,5 . 0ByF FAyP

12、BxF FAxAB(3)取取CD杆为研究对象杆为研究对象022, 0)(0, 00, 0aFaFMFMFFFFFFCyCxDDCyDyyCxDxx解得：解得：PaMPFPFDDyDx5 . 0CxF CyF 第19页/共150页第二十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。BCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyFCxFCyFNBDxF DyF FDxFDyFNEH解：解：(1) 取取DE杆为研究对象杆为研究对象kN1100322, 0)(DXDxHFqFMMF F(2) 取取BDC杆为研究对象杆为研究对象kN3110031, 0)( NBNBDxCFFFMF F(

13、3) 取整体为研究对象取整体为研究对象0326, 0)(02, 00, 0qFMMMqFFFFFNBAAAyyNBAxxF F0,100kNkN,3110AAyAxMFF解得：解得：求：求： A、B的约束反力的约束反力。已知：已知：q=50kN/m, M=80kNm第20页/共150页第二十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。桁架桁架由二力杆铰接构成。由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：求平面静定桁架各杆内力的两种方法： 节点法：节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节

14、点其未知力的数目不宜多衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于于2个。个。 截面法截面法 ：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于于3。第21页/共150页第二十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。PEF2F3F4F5FAxFAyF1A2F F6解：解：(1) 取整体为研究对象取整体为研究对象03

15、, 0)(0, 00, 0aPaFMPFFFFFNBANBAyyAxxF3/, 3/2, 0PFPFFByAyAx解得解得：(2) 取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象aaaaaaP21ABECD05 . 0sin5 . 0cos5 . 0, 0)(22aFaFaPMEF(3)取节点取节点A为研究对象为研究对象0sin, 021FFFFAyy3/52PF PF1FAxFAyFNB求：求：桁架桁架1、2杆的力杆的力。 第22页/共150页第二十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。F1F212345678910111213123456789101112131415161718192021

16、222324求：求：图示桁架中受力图示桁架中受力为零的杆件。为零的杆件。 解：解：由节点法可知由节点法可知图中受力为零的图中受力为零的杆件有：杆件有：3、12、9。(b) 图中受力为零的图中受力为零的杆件有：杆件有：1、3、4、11、12、13、14、17、21。第23页/共150页第二十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。小结：小结： 其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：衡方程如下：力力 系系 名名 称称独立方程的数目独立方程的数目平平 衡衡 方方 程程0iF0iM00yixiFF0)(0iOiMF FF1122第24

17、页/共150页第二十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。平衡方程的快速练习平衡方程的快速练习第25页/共150页第二十六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第26页/共150页第二十七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第27页/共150页第二十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第28页/共150页第二十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第29页/共150页第三十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第30页/共150页第三十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第31页/共150页第三十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。如何截断？第32页/共150页第三十三页，编辑于星期一：十四

18、点 五十八分。第33页/共150页第三十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。3 空间力系空间力系1. 空间力的投影和分解空间力的投影和分解coscoscosFFFFFFzyxOxyFzF = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k第34页/共150页第三十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。yzOxFFxycossinsincossinFFFFFFzyxFFFFFFFFFFzyxzyx),cos(),cos(),cos(222kFjFiFF = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k第35页/共150页第三十六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。3-2 力对点的矩和力对

19、轴的矩力对点的矩和力对轴的矩1. 力对点的矩力对点的矩OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)空间的力对空间的力对O点之矩取决于：点之矩取决于：（1）力矩的）力矩的大小大小；（2）力矩的）力矩的转向转向；（3）力矩）力矩作用面方位作用面方位。 须用一矢量表征须用一矢量表征 MO(F) =Fh=2OAB )(FMO第36页/共150页第三十七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)(FMOkjiFkjirzyxFFFzyxMO(F)定位矢量定位矢量kjikjiFrFM)()()()(xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFFFFzyx第37页/共150

20、页第三十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。2. 力对轴的矩力对轴的矩BAFOxyzhFxybFz 力对轴的矩等于力在垂直力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。平面交点的矩。 力对轴之矩用来表征力对轴之矩用来表征力对刚体绕某轴的转动效应。力对刚体绕某轴的转动效应。 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。第38页/共150页第三十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxyxyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFxyy

21、OxOxyOzyFxFMMMM)()()()(FFFFkjiFFFFzyxzyxFFF第39页/共150页第四十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩与力对轴的矩的关系)()()()()()(FFFFFFzzOyyOxxOMMMMMM 力对点的矩矢在通过该力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。对该轴的矩。kjikjiFrFM)()()()(xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFFFFzyxxyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFF第40页/共150页第四十一页，编辑于星期一：十四点

22、 五十八分。Mz(F)(x,y,z)）FxyOABO 2)(FM OabOABcos)(cos)(FFMzOM)()(FFMzzOM)()()()()()(FFFFFFzzOyyOxxOMMMMMM第41页/共150页第四十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。求：求： MO(F) 已知：已知：F、 a、b、解：解：(1) 直接计算直接计算zyxOFFFzyxkjiFrFM)( )sinsin(cos sincoscos )OFbFaFbFaMFijksincoscossincos0FFFFFFzbyaxzyx第42页/共150页第四十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。( )( )( )(

23、 )sinsin(cos sincos cos )OxyzM FMMFbFaFbFaM FiF jF kijk(2) 利用力矩关系利用力矩关系()sin()sin()cossincos cosxzyzzxyMFbFbMF aFaMF bF aFbFa FFF第43页/共150页第四十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。zPOabcAxy222cos)()(cbaPabMOOAPMP已知：已知： P 、 a、b、c求：求： 力力P 对对OA轴之矩轴之矩MO(P)ikjiPrPMPbPbO0000)(解：解：（1）计算）计算 MO(P)（2）利用力矩关系）利用力矩关系力对点的矩矢在通过该点的某轴

24、的投力对点的矩矢在通过该点的某轴的投影，等于力对该轴的矩。影，等于力对该轴的矩。第44页/共150页第四十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。OABCFDkjikjiFrFM222222/2/002/)(FbFbFbFFbbBD已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：求：力力 F 对对OA 边的中点边的中点D之矩在之矩在AC方向的投影方向的投影。解：解：利用力矩关系利用力矩关系xyzjirkjFbbFFB22222第45页/共150页第四十六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。OABCFDkjiFM22222)(FbFbFbDxyzkin2121AC4)2121()2222

25、2()()(FbFbFbFbMACDACkikjinFMF第46页/共150页第四十七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。AB= A eBAeBB第47页/共150页第四十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。3-3 空间任意力系的简化空间任意力系的简化zABCF1F2F3OxyOyxzM22F M11F M33F xzyORF MOnnFF,FF,FF2211)()()(2211nOnOOFMM,FMM,FMMniiOOniiR11)(FMMFF主矢主矢FRMO主矩主矩第48页/共150页第四十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。xzyORF MOOzOOyOOxOzyxOMMMMMMMM

26、MM)(),cos()(),cos()(),cos()()()(222FkMFjMFiMF FF FF FRzRRyRRxRzyxRFFFFFFFFFF),cos(),cos(),cos()()()(222kFjFiF第49页/共150页第五十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。3-4 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析 niiOO1)(FMM 由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。矩与简化中心的位置无关。第50页/共150页第五十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。oRF Moo1FR

27、o1FRFRRF do 合力的作用线通过简化中心合力的作用线通过简化中心第51页/共150页第五十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。 ORF RF MoORF MoOORF 力螺旋力螺旋左螺旋左螺旋右螺旋右螺旋第52页/共150页第五十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。ORF MoMo OFRO1ModORF MosincosOOOOMMMM ROROdFMFM sin 一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋 原力系平衡原力系平衡第53页/共150页第五十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。总结：总结： 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程0

28、)(, 0)(, 0)(0, 0, 0FFFzyxzyxMMMFFF空间汇交力系空间汇交力系平面任意力平面任意力系系000zyxFFF 空间力偶系空间力偶系 空间平行力系空间平行力系0)(0)(0)(FFFzyxMMM0)(0)(0FFyxZMMF0)(00FzyxMFF第54页/共150页第五十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。OxyzF1F2FFF21ABCDEGH棱长为棱长为 a 的正方体上作用的力系如图示。的正方体上作用的力系如图示。则则（1）力系的主矢量；）力系的主矢量；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；方向投影的大小；（3）力系对）力系对AC轴之矩；轴之矩；（4）

29、力系最终可简化为力螺旋，其中力）力系最终可简化为力螺旋，其中力 偶矩大小。偶矩大小。.2245sin;2245cos;045cos45cos2121FFFFFFFFFRzRyRx解解: （1）力系的主矢量）力系的主矢量)(22kjFFR第55页/共150页第五十六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。OxyzF1F2FFF21ABCDEGH（2）主矢量在主矢量在 OE 方向投影的大小方向投影的大小)(22kjFFR)(33kjinOEFOEOER36nFFR（3）力系对）力系对 AC 轴之矩轴之矩2202200022220FFaFFaaAkjikjiM第56页/共150页第五十七页，编辑于星期一

30、：十四点 五十八分。OxyzF1F2FFF21ABCDEGHjMFaA22FaFaMACAAC21)(2222)(jijnMF)(22kjFFR（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小FaFaMA21)(2222kjj第57页/共150页第五十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。PPPabc作业题：作业题：1. 沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等的力的力P，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则a、b、c应满足关应满足关系：系： 。 作业题：作业题：2.

31、棱长为棱长为 a 的正方体上作用的力系的正方体上作用的力系如图示。则其简化的最后结果是：如图示。则其简化的最后结果是： 。oxyzF1F2F3FFFF2321oxyzF1F2F3F4FFFFFF2;4321第58页/共150页第五十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。4-1 滑动摩擦滑动摩擦FPFNFsPFN两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力对滑动的阻力滑动摩擦力滑动摩擦力FFFsx, 0 静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定静滑动摩擦力的大小必须由平衡方

32、程确定第59页/共150页第六十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。FPFNFs静静摩摩擦擦系系数数sNsfFfFmaxmax0FFs静摩擦定律：静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比正压力成正比3. 动滑动摩擦力动滑动摩擦力sNdffffFF且且动动摩摩擦擦系系数数, ,第60页/共150页第六十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。4-2 考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题 检验物体是否平衡；检验物体是否平衡； 临界平衡问题；临界平衡问题； 求平衡范围问题。求平衡范围问题。1. 平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知

33、平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知数增多。数增多。2. 除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 FsfsFN 。3. 除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程Fmax = fsFN 。第61页/共150页第六十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。PQFsFN解：解：取物块为研究对象，并假定其平衡。取物块为研究对象，并假定其平衡。030sin30cos, 0030sin30cos, 0QPFFFPQFNysx解得解得N1499,N6 .403NsFFN8 .299maxNsFfF 已知：

34、已知：Q=400N，P=1500N，fs=0.2，f = 0.18。问：问：物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。maxFFs因因为为物块不可能静止，而是向下滑动。物块不可能静止，而是向下滑动。N8 .269NdFfF此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向上，大小为此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向上，大小为第62页/共150页第六十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。PPPPFF1243FsFsPF1FsF12FN1P2解：解：（1）取整体为研究对象取整体为研究对象042, 0PFFsyFs=20NN80,2FFfFss（2）取书）

35、取书1为研究对象为研究对象N100, 01212FFPFFsyN100,112FFfFs（3）取书）取书2为研究对象为研究对象FN1F12FN2F23N00, 0232312FPFFFyN100minF 已知：已知： P=10N， fs1 =0.1， fs2 = 0.25。问：问：要提起这四本书需加的最小压力。要提起这四本书需加的最小压力。第63页/共150页第六十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。PQFmaxFN解：解：取物块为研究对象，先求其最大值。取物块为研究对象，先求其最大值。NsNyxFfFQPFFFPQFmaxmaxmaxmax0sincos, 00sincos, 0sinco

36、scossinmaxssffPQ解得解得：（2）求其最小值。）求其最小值。sincoscossinminssffPQ解得解得：求：求：平衡时水平力平衡时水平力 Q 的大小。的大小。已知：已知：P，fsPQFmaxFNNsNyxFfFQPFFFPQFmaxminmaxmin0sincos, 00sincos, 0sincoscossinsincoscossinssssffPQffP第64页/共150页第六十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。MeaABdbABOFNAFAD解：解：取推杆为研究对象取推杆为研究对象022, 0)(0, 00, 0dFdFbFFaFMFFFFFFFABNBDBAy

37、NBNAx考虑平衡的临界情况，可得补充方程考虑平衡的临界情况，可得补充方程NBsBNAsAFfFFfFsfba2极限已知：已知：fs，b 。求：求：a为多大，推杆才不致被卡。为多大，推杆才不致被卡。FNBFBF第65页/共150页第六十六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。ABCQ5cm10cm30BFBCPFBAFBAFNFmaxAOP解解: (1) 取销钉取销钉B为研究对象为研究对象030sin, 0QFFBAyFBA=2Q(2) 取物块取物块A为研究对象为研究对象 处于滑动的临界平衡状态时处于滑动的临界平衡状态时 NsBANyBAxFfFFPFFFFFmaxmax030sin, 0030

38、cos, 0N03.4293max1PffQss已知：已知： P=1000N， fs =0.52求：求：不致破坏系统平衡时的不致破坏系统平衡时的Qmax第66页/共150页第六十七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。FBAFNFmaxAOPN03.4293max1PffQss 处于翻倒的临界平衡状态时处于翻倒的临界平衡状态时0530cos5 . 230sin5 . 20)(BABAOFFPFMN83.405)5 . 03(2max2PQN83.405maxQ第67页/共150页第六十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。已知：已知：d=5cm, h=20cm, fs =0.5，水平接触面均光滑

39、。水平接触面均光滑。求：求：当当F=2nP 时，能保持平衡时，能保持平衡n的最大值。的最大值。如图（如图（a），有），有 2n 块相同的均块相同的均质砖块在作用于物块质砖块在作用于物块H上的水平上的水平力力F 的作用下保持平衡。的作用下保持平衡。解解: 取右半部分的取右半部分的 n 块砖为为研究对象，临块砖为为研究对象，临界平衡时，受力如图（界平衡时，受力如图（b）。）。nPnPffFFnPFnPFFssNsssy20, 0临临界界平平衡衡时时有有hFndnPMN2, 016maxn第68页/共150页第六十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。ACBFBPFoACBFBDFAxFAyFNCF

40、CoDFPFDFNDFCFNC解解: (1) 取取AB杆为研究对象杆为研究对象02, 0)(lFlFFMBNCA设设 C 处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：NCCCCFfFFmax解得：解得：FNC=100N， FC=40N(2) 取轮为研究对象取轮为研究对象060sin60cos0060cos60sin, 00, 0)( NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFrFrFMF已知：已知： P=100N，FB=50N ，fc =0.4， 求：求：(1) 若若fD =0.3， 轮心轮心O的水平推力的水平推力Fmin =60，AC = CB = l /2， r。 (2) 若若fD

41、=0.15， 轮心轮心O的水平推力的水平推力Fmin第69页/共150页第七十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。ACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFCFNC设设 C 处达到临界状态，则有：处达到临界状态，则有：NCCCCFfFFmax解得：解得：FNC=100N， FC=40N(2) 取轮为研究对象取轮为研究对象060sin60cos, 0060cos60sin,0, 0)(NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFFrFrFMF解得：解得：FD=40N ，F = 26.6N，FND=184.6NN39.556 .1843 . 0maxNDDDFfF由于由于 FDFDm

42、ax，D处无滑动，上述假定正确处无滑动，上述假定正确N6 .26minF第70页/共150页第七十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。oDFPFDFNDFCFNC(3) 当当 fD =0.15 时时N7 .276 .18415. 0maxNDDDFfF因因 FDFdmax 故应设故应设 D 处达到临界状态处达到临界状态060sin60cos, 0060cos60sin, 00, 0)(NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFrFrFMF补充方程补充方程：NDDDDFfFFmax解得：解得：FD= FC =25.86N ，F = 47.81NN40N86.25maxNCCCCFfFF而

43、而此此时时故上述假定正确故上述假定正确N81.47minFACBFBFAxFAyFNCFC第71页/共150页第七十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。解：解：梯子梯子 AB 靠在墙上，与水平面成靠在墙上，与水平面成角。梯子长角。梯子长 AB = l，重量可略去，如图所示。已知梯子与地面、墙面间的静重量可略去，如图所示。已知梯子与地面、墙面间的静摩擦因素为摩擦因素为 fsA，fsB。重量为。重量为 P 的人沿梯上登，他在梯上的人沿梯上登，他在梯上的位置的位置 C 不能过高，即距离不能过高，即距离 AC = s，如超过一定限度，如超过一定限度，则梯子即将滑倒。试求则梯子即将滑倒。试求 s 的范

44、围。的范围。梯子梯子AB 研究对象研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax:0yiF:0 xiF0maxANBFF(1)(2)0maxPFFBNA:0AiM0cossincosmaxmaxlFlFPsBNB(3)临界平衡时有临界平衡时有：NAsAAFfFmax(4)NBsABFfFmax(5)第72页/共150页第七十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。解：解：梯子梯子AB 研究对象研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax:0yiF:0 xiF0maxANBFF(1)(2)0maxPFFBNA:0AiM0cossincosmaxmaxlFlFPsBNB(3)临界平

45、衡时有临界平衡时有：NAsAAFfFmax(4)NBsABFfFmax(5)解上述方程，得解上述方程，得lffffssBsAsBsA1)(tanmax(6)所求所求 s 值为值为lffffssBsAsBsA1)(tan0(7)设设= 60, fsA= 0.4 , fsB= 0.2则：则：smax = 0.7156 l。第73页/共150页第七十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。讨论：讨论：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmaxlffffssBsAsBsA1)(tanmax(6)（1）当 时，)90tan(cot1tanfAfAsAf即：即： ，此时有此时有fA90lsmax（2）当

46、当 fsB = 0，即墙面为光滑时，由式（即墙面为光滑时，由式（6）得）得lfssA)tan(max但当但当 fsA = 0，即地面为光滑时，由式（即地面为光滑时，由式（6）得）得0maxs此时此时 , 人无法登上梯子。人无法登上梯子。第74页/共150页第七十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。思考题思考题2：均质杆重均质杆重P，长，长l，置于粗，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为数为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的。现在杆的一端施加与杆垂直的力力F，试求使杆处于平衡时的，试求使杆处于平衡时的设设杆的高度忽略不计。杆的高度忽略不计。F思考题思考题3：重量

47、均为重量均为的小球的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为系数为 ，一水平力一水平力作用于作用于A球球，系统平衡时，系统平衡时 30ABF思考题思考题1：有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加一压力有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加一压力225N。如每本书的质量为。如每本书的质量为0.95kg，手与书间的摩擦系数为，手与书间的摩擦系数为0.45，书与，书与书间的摩擦系数为书间的摩擦系数为0.40。求可能执书的最大数目。求可能执书的最大数目。第75页/共150页第七十六页，编辑于星期一：十四

48、点 五十八分。思考题：思考题：均质杆质量为均质杆质量为m，长，长l，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为擦系数为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的力。现在杆的一端施加与杆垂直的力F，试求使杆处于平衡，试求使杆处于平衡时的时的。设杆的高度忽略不计。设杆的高度忽略不计。xOFABl解：解：取杆取杆 AB 为研究对象为研究对象220,()0()( )0,022ssyssOmgfmgfFFxlxllmgf xmgf lxMFF xllsmgfFlx) 12(22max第76页/共150页第七十七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。思考题：思考题：重量均为重量均为 的

49、小球的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置在用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为 ，一水平力一水平力作用于作用于A球，球，系统平衡时系统平衡时 30ABFAFAFSAFSAFSBFmax解：解：（1）取取小球小球 A 为研究对象为研究对象sSAPfF（2）取取小球小球 B 为研究对象为研究对象sSBPfFsSBSAPfFFF330cos)(max第77页/共150页第七十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。4-3 摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象1. 摩擦角摩擦角FRAFNFsAFRA=FN+FS全约束反力全约束反力 摩擦角摩擦角全约束

50、反力与法线间夹角的最大值全约束反力与法线间夹角的最大值 fffFRAAFNsNNsNffFFfFFmaxtan摩擦角的正切等于静摩擦系数摩擦角的正切等于静摩擦系数AfFmaxFNFRA第78页/共150页第七十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。2. 自锁现象自锁现象物块平衡时，物块平衡时，0 F Fmax , 因此因此 0 f 如果作用于物块的全部主动力的合力如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必保持平衡。样大，物块必保持平衡。fAFRAFR第79页/共150页第八十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。（2）非自

51、锁现象）非自锁现象 如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。会滑动。fAFRFRA第80页/共150页第八十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。PF30问题问题1 已知摩擦角已知摩擦角 f= 20，F=P，问物块问物块动不动？为什么？动不动？为什么？问题问题2 已知摩擦角均为已知摩擦角均为 f ，问欲使楔子打问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况下的入后不致滑出，在两种情况下的 ，物角应物角应为若干？为若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBf2第81页/共15

52、0页第八十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。PQmaxFR fPQminFRfFRPQmaxf+)tan(maxfPQ)tan(minfPQ)tan()tan(ffPQP用几何法求解例用几何法求解例3PQminFRf -第82页/共150页第八十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。极限aCFABObad解解: 由图示几何关系得由图示几何关系得bdadafftan)2(tan)2(极限极限sffbba2tan2极极限限用几何法求解例用几何法求解例4ff第83页/共150页第八十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。F1F2RF1F2dtnF+dFFdFNdFSdF=dFSdFN=FddFS

53、=fsdFNdF=Ffsd012,dfFdFdfFdFsFFssfseFFfFF2121,ln为维持皮带平衡，应有为维持皮带平衡，应有sfeFF21例例10 皮带（或绳索）绕在半径为皮带（或绳索）绕在半径为R的圆柱上，其包角为的圆柱上，其包角为 ，摩擦系数摩擦系数为为fs，其两端的拉力为，其两端的拉力为F1及及F2 ，求平衡时求平衡时F1与与F2的关系。的关系。第84页/共150页第八十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。F1F2接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，且接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，且知知F2 =1kN，求绳平衡时，求绳平衡时F1的范围，的范围，绳与圆柱间的摩擦系数为绳与圆柱间的

54、摩擦系数为fs =0.5。解解: 将数据代入将数据代入 上题公式上题公式F2 =1kN, fs =0.5, =4kN5 .535145 . 021eeFFsf如果允许如果允许 F1 F2 ，将数据代入，将数据代入 kN002. 0/1,45 . 0112eFeFFsf故故：kN2 .535kN002. 01F第85页/共150页第八十六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。4-3 滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念FPFNFsOAFPOAPFOAFRMPFFNFsOAM滚滚动动摩摩阻阻系系数数NFMmaxmax0MM FPOAFsFNdNFMdmaxd第86页/共150页第八十七页，编辑于星期一：十四

55、点 五十八分。PFFNFsOAMPfFfFFFFFsNsssx0, 0PRRFRMFFRMFMNA0, 0)(保证滚子不滑动：保证滚子不滑动：保证滚子不滚动：保证滚子不滚动：sfR通通常常PRF第87页/共150页第八十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。ACO1FSAFNAMAMCFSCFNCBDO2FSBFNBMBMDFSDFNDNCCNAASCSACAONANCySCSAxFMFMrFrFMMFMFFFFFF121,0, 0)(0, 00, 0rFFFNASCSA2)(21rFFFNBSDSB2)(21PFABCDO1O2r解解: （1）取滚子）取滚子A为研究对象为研究对象（2）取滚子

56、）取滚子B为研究对象，同理可得为研究对象，同理可得已知：已知：P，r ，1 ， 2求：求：系统保持平衡时系统保持平衡时Fmax第88页/共150页第八十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。PFmaxMAFNAFSAMBFNBFSBABPrrFFFFFNBNASBSA22)(2121max0, 00, 0maxPFFFFFFFNBNAySBSAx（3）取平板为研究对象）取平板为研究对象若已知若已知：P =10kN, r =7.5cm, 1 =0.2cm, 2 =0.05cm。代入上式解得代入上式解得Fmax=0.167kNrFFFNASCSA2)(21rFFFNBSDSB2)(21第89页/共

57、150页第九十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。结论与讨论结论与讨论1. 摩擦现象分为摩擦现象分为滑动摩擦滑动摩擦和和滚动摩阻滚动摩阻两类。两类。2. 滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前者自然称为静滑动摩擦力，后者有相对滑动时出现的切向阻力。前者自然称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。称为动滑动摩擦力。 （1）静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，它的大小应静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，它的大小应根据平衡方程确定。当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到

58、最大值，根据平衡方程确定。当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，因此静摩擦力随主动力变化的范围在零与最大值之间，即因此静摩擦力随主动力变化的范围在零与最大值之间，即max0FFs第90页/共150页第九十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。静静摩摩擦擦系系数数sNsfFfFmax静摩擦定律：静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比 （2）动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，它的大小为它的大小为动动摩摩擦擦系系数数fFfFN3. 摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，

59、且有摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有sfftan当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生自锁现象自锁现象。4. 物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动阻力偶作用。物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动阻力偶作用。max0MM NFMmax第91页/共150页第九十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。静力学练习题静力学练习题第92页/共150页第九十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第93页/共150页第九十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第94页/共150页第九十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。静力学专题静力学专题第95页/共150页第九十六页

60、，编辑于星期一：十四点 五十八分。第96页/共150页第九十七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第97页/共150页第九十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第98页/共150页第九十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第99页/共150页第一百页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第100页/共150页第一百零一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第101页/共150页第一百零二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第102页/共150页第一百零三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第103页/共150页第一百零四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第104页/共150页第一百零五页，编辑

61、于星期一：十四点 五十八分。第105页/共150页第一百零六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第106页/共150页第一百零七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第107页/共150页第一百零八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第108页/共150页第一百零九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第109页/共150页第一百一十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第110页/共150页第一百一十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第111页/共150页第一百一十二页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第112页/共150页第一百一十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第113页/共150页

62、第一百一十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第114页/共150页第一百一十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第115页/共150页第一百一十六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第116页/共150页第一百一十七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第117页/共150页第一百一十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第118页/共150页第一百一十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第119页/共150页第一百二十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第120页/共150页第一百二十一页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第121页/共150页第一百二十二页，编辑于星期一：十四点 五十

63、八分。第122页/共150页第一百二十三页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第123页/共150页第一百二十四页，编辑于星期一：十四点 五十八分。第124页/共150页第一百二十五页，编辑于星期一：十四点 五十八分。部分竞赛题部分竞赛题第125页/共150页第一百二十六页，编辑于星期一：十四点 五十八分。一、在图示机构中，已知：悬挂着的一、在图示机构中，已知：悬挂着的三脚架的重量是三脚架的重量是P，轮轴重，轮轴重P1, ,尺寸尺寸l1、 l2、 l3、 r1、 r2如图所示，如图所示，C、D处的静摩擦系数均为处的静摩擦系数均为f, ,且且l1 l2 ，滚动摩阻略去不计。试求机构平衡滚动摩阻略去

64、不计。试求机构平衡时水平拉力时水平拉力Q的最大值。的最大值。(20分分)20112011陕西省大学生力学竞陕西省大学生力学竞赛理论力学题赛理论力学题第126页/共150页第一百二十七页，编辑于星期一：十四点 五十八分。解：（解：（1）假设）假设C处先滑处先滑1）对三脚架）对三脚架00213lFlNPlMCCACCfNF 312()CfPlFlfl2）对轮）对轮2120()20DaCMQ rrFrCCFF )(2211232fllrrPflrQa（2）假设）假设D处先滑处先滑0AM0)2()(222121113rlFrrlQlNlPPlDbDDDfNF1）对整体）对整体2）对轮）对轮02)(02

65、21rFrrQMDbCmin)()()(22122111132babQQQfllrfllrlPPlfrQ，第127页/共150页第一百二十八页，编辑于星期一：十四点 五十八分。 这幅浮雕（约公元前这幅浮雕（约公元前1900年）反映了奴隶们搬运一个石雕巨像的年）反映了奴隶们搬运一个石雕巨像的情景。仔细观察可以发现：巨像放在滑板上，由情景。仔细观察可以发现：巨像放在滑板上，由172个奴隶拉着，有个奴隶拉着，有一个人在指挥，有一人在滑板上将液体倒在地面上进行润滑。资一个人在指挥，有一人在滑板上将液体倒在地面上进行润滑。资料中所给的巨像重量约为料中所给的巨像重量约为60t。 二、二、 根据记载，古埃及

66、人在四千年前就已懂得了摩擦学的根据记载，古埃及人在四千年前就已懂得了摩擦学的原理，他们曾用滚子和滑板来搬运重物。原理，他们曾用滚子和滑板来搬运重物。第128页/共150页第一百二十九页，编辑于星期一：十四点 五十八分。看了这幅图后，可以有几个疑问：看了这幅图后，可以有几个疑问： （1）为什么雕刻中有）为什么雕刻中有172个奴隶在拉石像？这个数个奴隶在拉石像？这个数目是随意的还是有道理的？目是随意的还是有道理的？（2）资料中所说石像有）资料中所说石像有60t，是否合理？，是否合理？（3）从力学角度看，这些人是否能拉动石像？）从力学角度看，这些人是否能拉动石像？第129页/共150页第一百三十页，编辑于星期一：十四点 五十八分。 首先估计巨像重量约为首先估计巨像重量约为60t是否可靠。是否可靠。 假设浮雕的画面是按一定比例雕刻的，可测出巨假设浮雕的画面是按一定比例雕刻的，可测出巨像中的法老身高约为奴隶身高的像中的法老身高约为奴隶身高的5倍，则体积应为倍，则体积应为5的的3次方即次方即125倍。设奴隶体重倍。设奴隶体重60kg，密度约为，密度约为1g/cm3，石块密，石块密度一般在度一般在3