考研数学之矩阵的特征值与特征向量

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1、第五章 矩阵的特征值与特征向量内容提要一、基本概念1.是一个阶方阵,如果存在一个数和一个维非零列向量,使得成立,则称为矩阵的特征值，非零列向量称为矩阵的属于特征值的特征向量. 2.为阶方阵,为未知量,则矩阵 称为矩阵的特征矩阵;其行列式为的次多项式,称为矩阵的特征多项式;称为矩阵的特征方程. 3.阶方阵的主对角线上的元素的和称为的迹,记作,即. 4.对于阶方阵和,若存在阶可逆方阵,使成立,则称与相似,记为.满足: (1)自身性 即; (2)对称性 若,则; (3)传递性 若,则. 5.若矩阵与对角阵相似,则称可对角化. 6.实矩阵=,如果,称为非负矩阵;如果0,称为正矩阵.7.如果阶方阵=,可

2、以经过一系列相同的行和列互换,化为 ,其中,为子方阵(不一定同阶),则称为可分解矩阵,否则称为不可分解的矩阵. 8.若为阶方阵的特征值,则称 为的最大特征值(或为的谱半径). 二、几个结果 1.特征值和特征向量的基本性质 (1)阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值(但特征向量一般不同); (2)属于的不同特征值的特征向量必定线性无关(但属于相同特征值的特征向量不一定必相关);(3)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量; (4)设为阶方阵的特征值,则有 ,即的特征值的和等于矩阵的主对角线的元素的和; . 推论 若矩阵可逆矩阵的特征值全不为零. (5)若为矩阵的特征值,是的属

3、于的特征向量,则是的特征值(为任意常数);是的特征值(为正整数);当可逆时,是的特征值,是的特征值;是的特征值,其中为任一多项式.注意 仍是矩阵、对应于特征值、的特征向量. 若为实对称矩阵,则的所有特征值均为实数,且属于不同特征值的特征向量彼此正交. 2.相似矩阵的性质 若,则 (1),; (2),;(3),即相似矩阵有相同的特征多项式,因而也有相同的特征值,但特征向量不一定相同.3.矩阵可对角化的条件 (1)n阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量; (2)阶方阵有个不同的特征值,则一定可对角化;实对称矩阵必可对角化,且存在正交矩阵(),使.例题解析例1 设矩阵,则的对应于特征

4、值的特征向量为( ).()()()() 解 根据定义,只需验证选项中的向量是否满足,显然,零向量不是矩阵的特征向量,应排除(). 对于(),因为 ,所以,是的对应于的特征向量,应选(). 例2 设为阶矩阵,下述结论中正确的是( ). ()矩阵有个不同的特征根 ()矩阵与有相同的特征值和特征向量 ()矩阵的特征向量的线性组合仍是的特征向量 ()矩阵对应于不同特征值的特征向量线性无关 解 对于选项(),矩阵有个特征根(在复数范围内),但这些特征根中可能有重根,故()错. 对于选项(),与有相同的特征值,但是,对应的特征向量不一定相同,故()错. 对于选项(),未说明对应的特征值.如果是对应于的同一

5、特征值的特征向量,则当不全为零时,仍是的对应于特征值的特征向量;如果是对应于的不同特征值的特征向量,则不是的特征向量(为任意常数).关于这一结论的证明,见例8. 对于选项()是矩阵特征值、特征向量的性质.综上分析,应选(). 例3 如果阶矩阵任意一行的个元素之和都是,则有一个特征值( ). ()()()0() 解 在中,把第二列到第列都加到第一列上,则第一列有公因子,提出后可知是的因子,所以是的一个特征值.应选(). 例4 设矩阵,则下面各矩阵中非奇异矩阵是( ). ()()()() 解 矩阵的特征多项式为 ,故的特征值为,.因为 ,即选项()是奇异矩阵,而1不是的特征值,必有,应选().例5

6、 已知三阶方阵的三个特征值为1,-2,3,则 ,的特征值为 ,的特征值为 ,的特征值为 ,的特征值为 . 解 因为,由,知与有相同的特征值,故的特征值为,.若设为属于的一个特征向量,则有,于是有,从而推得的特征值为,的特征值为.矩阵多项式的特征值为,从而可写出各自具体内容.应填;.例6 设是三阶方阵,并且,则= . 解 由,可得的特征值分别为,所以 ,于是的特征值分别为,故 ,应填. 例7 设4阶方阵满足条件,其中是4阶单位阵,则方阵的伴随矩阵的一个特征值为_. 解 由,得的一个特征值.又由条件有 , .因为,所以,且知可逆. 设的属于特征值的特征向量为,则 ,又因为,所以,故,可知的特征值为

7、.应填.例8 设是阶矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,试证:(,任意常数)不是的特征向量. 证 反证法. 设为的对应于特征值的特征向量,于是 又由已知,有,.代入上式左边,得 ,因此 ,所以 . 因,所以向量线性无关,故 , ,其中是不等于零的任意常数.由此可得,即,与已知条件矛盾!所以不是的特征向量. 例9 求矩阵的特征值和特征向量. 解 的特征多项式 ,所以,的特征值为,. 对于,解齐次线性方程组,因 ,由此可得同解方程组 ,取为自由未知量,令,得方程组的基础解系. 于是的对应于特征值的全部特征向量为(,为任意常数). 对于,解齐次线性方程组,因 ,由此可得同解方程组 .取自由

8、未知量分别为,可得方程组的基础解系于是,的对应于的全部特征向量为(为不全为零的任意常数). 注 1.求特征值、特征向量的基本方法: (1)计算矩阵的特征多项式; (2)求出特征方程的全部根,即的全部特征值; (3)对每一个特征值,求出的一个基础解系,则的属于的全部特征向量为,其中为不全为零的常数.2.这类计算题中,方程组的系数矩阵常常出现零列(如此题中的第一列).应注意:凡是零列所对应的变量应取作自由未知量.例如,在本题中求的基础解系时,取为自由未知量.例10 ,(1)求的特征值;(2)求的特征值. 解 的特征多项式 .所以,的特征值为,.由特征值性质可知,的特征值为,于是的特征值为,. 例1

9、1 设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件. 解 的特征多项式为 ,所以,的特征值为 ,.只要有两个线性无关的特征向量即可,即矩阵的秩等于1. 因为 ,只要满足即可. 例12 设向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,试求常数的值.分析 用特征值、特征向量的定义讨论. 解 设是所属的特征值,则,.即 ,由此,得方程组 ,其解为,;,. 于是,当或1时,是的特征向量.例13 设矩阵,其行列式,又的伴随矩阵有一个特征值,属于的一个特征向量为,求和的值. 解 由题设知 ,.于是有 .即有 .得 .由此解得 ,.再代入得.例14 设为阶方阵,任一非零的维向量都是的特征向量,试证明: ,即为数量矩阵.证 设

10、是的第行、第列元素,因单位坐标向量也是的特征向量,设是对应的特征值,则有 即 , .故 , ().这样 .因为 (),也是的特征向量,设为对应的特征值,则由 , ,有 .因线性无关,故.于是可得.例15 设均为阶方阵,试证与有相同的特征值. 证 如果矩阵是不可逆的,则,所以 .由此可得 , .即与都有特征值0. 当不可逆,且为的任一非零特征值时,需证也是的特征值.实际上,设的对应于的特征向量为,则 .在上式两边左乘,得 .令,则有,只需证明.假设,于是.这与矛盾.因此.即是的一个特征值,对应的特征向量为. 由的任意性可知,的任一非零特征值都是的特征值.类似可证的任一非零特征值也是的特征值.当矩

11、阵可逆时,的任一特征值不等于零.类似于上面的证明可得与有相同的特征值.例16 设为阶矩阵,且与相似,为阶单位矩阵,则( ). () ()与有相同的特征值和特征向量 ()与都相似于一个对角阵 ()对任意常数,与相似 解 由与相似,则存在可逆阵,使得 ,从而 ,即与相似.应选().例17 设矩阵,则下述矩阵中与相似的矩阵是( ). ()()()()解 因矩阵已是对角形矩阵,而各选项中矩阵与有相同的特征值,故只需判断各选项中的矩阵可否对角化. 对于选项(),特征多项式,其特征值为,. 考察方程组,其系数矩阵 ,于是.方程组的基础解系中仅含1个向量,而是二重特征值,故矩阵不能对角化,即不与相似.对于选

12、项()与(),用类似方法可判断矩阵不可对角化,故不与相似.对于选项(),矩阵的特征多项式,其特征值为,.考虑方程组,其系数矩阵 ,故,方程组的基础解系中恰恰含两个向量,故可对角化.应选(). 注 矩阵对角化的步骤: (1)求出的特征值:,对于每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系,若基础解系中所含向量的个数等于的重数,则可对角化,否则不可对角化;(2)以的个线性无关的特征向量:为列构造可逆矩阵,则有对角阵=diag()=.注意顺序:为属于的特征向量.例18 三阶矩阵的特征值为,矩阵,求: (1)的特征值; (2)是否可对角化,若可以,试写出其相似对角形矩阵; (3)行列式的值. 解 设

13、为的任一特征值,对应的一个特征向量为,则 , .所以 , ,即,对应于的一个特征值,对应的特征值为.由此可知当的特征值为,时,的特征值为,.因为有三个不同的特征值,所以可与一对角阵相似,其相似对角形矩阵为 .于是 ,.又因为,所以. 例19 设,求. 分析 直接求计算量过大,可设法利用对角矩阵进行计算. 解 的特征多项式,故的特征值为,. 当时,可求出一个基础解系:. 当时,可求出一个基础解系:.令,则,此时 , 即有 因此 .例20 若三阶方阵的特征值为,其相应的特征向量为,求矩阵,. 解 因为可逆矩阵 ,则 .故 =.因,故,即有 . 例21 若三阶实对称矩阵的特征值为,且对于和的特征向量

14、分别为,求矩阵,. 解 设的特征向量为,由于实对称矩阵的特征向量是相互正交的,故有,即 ,解之可得 ,. 令,即有,.故.取.则.由于,所以.此时由,故.因此 . 例22 设矩阵 . (1)已知的一个特征值为3,试求; (2)求矩阵,使为对角阵.解 (1)由,代入特征方程,得 .所以. (2)由,问题转化为的对角化问题.由于 ,只要将对角化即可,由 ,得,.求得相应特征向量为 , .单位化 , .即 使 . 注 由正交矩阵P将实对称矩阵化为对角阵的步骤:(1)求出实对称阵的全部特征值:,;(2)对于每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系;(3)利用施密特正交化法将基础解系正交化、单位化

15、,求出属于的一个标准正交组;(4)将所有正交化、单位化后的个特征向量作为列向量构成矩阵,则为所求正交矩阵,并可得对角阵=. 例23 设阶方阵有个互不相同的特征值,证明:的特征向量也是的特征向量的充分必要条件是可交换. 证 必要性 因为有个互不相同的特征值,故可对角化.即存在可逆阵,使.由于的特征向量也是的特征向量,故对同样的,有.于是 , .而,所以,. 充分性设,.两边左乘,利用,有 .若,由上式可知也是的属于特征值的特征向量.由于的特征值两两不同,故属于特征值的线性无关的特征向量只有一个,因此与应成比例,即,即为的特征向量;若,则,故仍为的特征向量.总之,的特征向量也是的特征向量. 例24 已知矩阵与相似,矩阵与相似,证明分块矩阵 与相似.证 由条件知,存在可逆矩阵使得 , .取,则可逆,且.这时 ,即与相似. 例25 设 矩阵为二阶实矩阵,且,证明可与一对角矩阵相似. 证 因的特征多项式 ,其判别式 所以必有两个不同的特征值,故必可与一对角阵相似.