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1、亳州二中2020学年高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，且，则实数的值为（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】，3,得，则，a=，故选：C【点睛】本题主要考查复数模的运算、虚数i的周期，属于基础题2.已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；由 ，可得到，则、两个推理依次是A. 类比推理、归纳推理B. 类比推理、演绎推理C. 归纳推理、
2、类比推理D. 归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论详解：由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；由特殊到一般，故推理为归纳推理故选：A点睛：本题考查的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，熟练掌握三种推理方式的定义及特征是解答本题的关键3.设复数满足,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法则化简即可.【详解】由得，所以= ，故选A【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考
3、查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.复数=(i是虚数单位),则复数的虚部为（ ）A. iB. -iC. 1D. -1【答案】C【解析】故答案为C5.函数的导数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将f（x）sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可【详解】将ysin2x写成，yu2，usinx的形式对外函数求导为y2u，对内函数求导为ucosx，故可以得到ysin2x的导数为y2ucosx2sinxcosxsin2x故选：D【点睛】本题考查复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键
4、,是基础题6.函数=的极值点为( )A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】=，函数 在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，故选B.【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.7.定积分 ()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】时， 时， 故选D8.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如图所示，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“
5、进步之星”,期中考试之后一周“进步之星”人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋”,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”,小谭说:“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则“进步之星”是( )A. 小马、小谭B. 小马、小宋C. 小赵、小谭D. 小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星”是小赵和小谭【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；
6、小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星”小赵和小谭故选：C【点睛】本题考查了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是基础题目10.已知函数,直线过点且与曲线相切,则切点的横坐标为( )A. B. 1C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点（0，e）代入，利用函数零点的判定求得切点横坐标【详解】由f（x）e2x1，得f（x）2e2
7、x1，设切点为（），则f（x0），曲线yf（x）在切点处的切线方程为y（x）把点（0，e）代入，得e，即，两边取对数，得（）+ln（）10令g（x）（2x1）+ln（2x1）1，显然函数g（x）为（，+）上的增函数，又g（1）0，x1，即1故选：B【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定及应用，是中档题11.已知函数f(x)的导函数f (x)的图象如图所示,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),则不等式g(x)3x-3的解集是( )A. -1,12,+)B. (-,-11,2C. (-,-12,+)D. -1,2【答案】A【解析】【分析】根据
8、图象得到函数f（x）的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集【详解】由题意得：f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，解不等式g（x）3x3，即解不等式（x1）f（x）3（x1），x10时，上式可化为：f（x）3f（2），解得：x2，x10时，不等式可化为：f（x）3f（1），解得：1x1，综上：不等式的解集是1，12，+），故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题12.设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，设
9、，则，为奇函数，又，在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，解得考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，则，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数为纯虚数，则实数的值等于_【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，则，解得或，当时，（舍去），所以.考点：复数的概念.14.设，则_（填入“”或“”）【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，则比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，
10、即，即.点睛：本题主要考查了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.15. 【答案】【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以考点：定积分16.已知函数，若对任意实数都有，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数（i为虚数单位）（1）当时，求复数值；（2）若复数在复平面内对应的
11、点位于第二象限，求的取值范围【答案】（）（）【解析】【分析】（）将代入，利用复数运算公式计算即可。（）由复数z在复平面内对应的点位于第二象限列不等式组求解即可。【详解】（）当时，,.（）复数在复平面内对应的点位于第二象限,解得，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数对应的点知识，考查计算能力，属于基础题。18.一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为（1）求出，的值；（2）利用归纳推理，归纳出与的关系式；并猜想的表达式，不需要证明。【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据前4个图
12、形进行归纳，求出f（2），f（3），f（4）；（2）利用（1）的结果，归纳推理，通过相邻两个函数值的关系，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，即可猜想f（n）的表达式.【详解】（1）由题图可得，（2），归纳可得：，猜想【点睛】本题考查归纳推理，着重考查了等差数列的通项与求和，及简单归纳推理等知识，属于中档题19.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知，且，求证：和中至少有一个小于【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先验证当时成立，假设时等式成立，再证明当时成立即可；（2）假设，由不等式运算及性质推出矛盾即可【详解】（1）当时，左边，右边，左边右边假设时等式成立，即，那么当时，
13、 ，即当时，等式成立综上，（2）假设，因为，所以，所以，故，这与矛盾，所以原假设不成立，故和中至少有一个小于【点睛】本题考查数学归纳法及反证法证明，熟记证明步骤，准确推理是关键，是基础题20.已知函数.（1）求函数在点M处的切线方程；（2）若求函数的最值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）求得，将x=0代入和，求得斜率及M坐标，即可得切线方程；（2）利用分析得到函数的单调性，再比较与，从而得到最值.【详解】（1），所以，故：，又，所以函数在点处的切线方程为：；（2）因，由得：，当时，；当时，；函数在单调递增，在单调递减；又，故时，.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究
14、函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，综合考查了学生的计算能力，属于有难度的题目21.已知函数，（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）讨论函数的零点个数【答案】（1）2；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由题意可得，即可得，注意检验；（2）由条件可得，在区间上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范围，即可得到的范围；（3）令，则，求出导数，结合图象对讨论，即可判断零点个数.【详解】（1）因为函数在处取得极值，所以，即，解得，经检验，当时，函数在处取得极小值所以实数的值为（2）由（1）知，因为函数在区
15、间上单调递增，所以在区间上恒成立即在区间上恒成立易得当时，所以故实数的取值范围为（3）因为，所以，令得，令，则当时，在上单调递增；当时，在上单调递减画出函数的草图，易得，并且图象无限靠近于原点，且当时，故当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点【点睛】该题考查的是有关导数的应用的综合题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的极值，根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，应用导数研究函数的零点的个数，属于较难题目.22.已知函数f(x)=ln x+ax2-2x,（aR,a0）(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线与x轴平行,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)ax在
16、x,+)上恒成立,求a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(0,+),无单调递减区间.（2）-4-4ln 2a0.【解析】【分析】(1) f (x)=+2ax-2由f (1)=1+2a-2=0,解得a=,得f (x)=0恒成立，则单调区间可求；(2) f(x)ax转化为ln x+ax2-2x-ax0,构造函数g(x)=ln x+ax2-2x-ax,x,+),求导求其最大值即可求解【详解】(1)函数f(x)=ln x+ax2-2x,定义域(0,+),f (x)=+2ax-2.由已知f (1)=1+2a-2=0,解得a=,于是f (x)=0恒成立,从而f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间.(2) f(x)ax转化为ln x+ax2-2x-ax0,设g(x)=ln x+ax2-2x-ax,x,+),则g(x)=+2ax-2-a=.当a0时,g(x)在,+)上单调递减,因而g()=ln+a-1-a0,故-4-4ln 2a0;当0a2时,g(x),上单调递减,在(,+)上单调递增,因而g(x)g(),+),不符合题意;当a2时,g(x)在,+)上单调递增,因而g(x)g(),+),不符合题意.综上,-4-4ln 2a0.【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，考查函数的单调性，不等式恒成立问题，分类讨论思想，转化化归能力，是中档题
安徽省亳州市第二中学高二数学下学期第二次月考试题理含解析
